Kısıtlı Optimizasyon (KKT) için Lagrange Çarpanı
Bu makale, kısıtlı optimizasyon problemlerini tartışmaktadır Kısıtlamalar, biri eşitlik kısıtlamaları, diğeri eşitsizlik kısıtlamaları olmak üzere iki türe ayrılmıştır. Eşitlik kısıtlamalı ilk optimizasyon problemi türü için, en uygun çözümü elde etmek için doğrudan Lagrangian çarpanı yöntemini kullanabilir; eşitsizlikle sınırlı optimizasyon problemi için, bunu Karush Kuhn Tucker koşullarına (KKT koşulu) dönüştürebilir ve uygulayabilirsiniz. Granger çarpanı yöntemi ile çözüldü. Başka bir deyişle, hepsi Lagrangian çarpan yöntemi kullanılarak çözülür.
1. Lagrange çarpanı yöntemi
Lagrangian çarpanı yöntemi, esas olarak optimizasyon problemlerini çözmek için kullanılan bir optimizasyon algoritmasıdır. Temel fikri, Lagrangian çarpanlarını kullanarak m değişkenleri ve l kısıtlamaları içeren kısıtlı bir optimizasyon problemini (M + l) değişkenlerle kısıtsız bir optimizasyon problemi.
2. Yoğunlaştırılmış kısıtlama biçimi
Üç, farklı kısıtlamalara sahip sorunları çözmenin en iyi yolu
(1) Denklem koşulunda en uygun çözümü bulun:
Aslında lisedeyken denklem koşul mekanizması ile en uygun çözümü bulma sorunuyla karşı karşıya kaldım ve herkes bilir ki en uygun çözümü bulmak için Lagrange çarpanı yönteminin kullanılabileceğini bilir. Önce bir Lagrange çarpanı oluşturun:
L (x, y, ) 'yı oluşturduktan sonra, onu orijinal problemle karşılaştırın.Yapılan Lagrange çarpanı, orijinal eşit koşul kısıtlamasını üç parametreli (x, y, ) koşulsuz bir uç problemine dönüştürür. Son olarak, uygulanabilir çözüm x, türevi alıp uç değeri sıfır yaparak elde edilebilir.
(Lagrangian çarpanı tarafından aranan çözüm mutlaka en uygun çözüm değildir, ancak aslında burada uygulanabilir çözüm olarak adlandırılan yerel bir optimal çözümdür ve en uygun çözüm yalnızca dışbükey bir fonksiyonda garanti edilebilir) Orijinal denklem koşullarının neden olabileceğine gelince Uç değer problemi, uç değer problemi olan L (x, y, )? Aşağıdaki iki boyutlu diyagramı inceleyebilirsiniz:
Mavi kesik çizgi, f (x, y) amaç fonksiyonunun kontur çizgisidir ve yeşil gerçekleşme g (x, y) = c kısıtlama koşuludur. Şekilde, üç amaç işlevi ve koşullu işlev durumu vardır:
1. Ayırma
Ayrılık durumunda, daha önce iki işlevin kesişmesinin, iki işlevin çözümü olduğu anlamına geldiğini, dolayısıyla ayrımın açıkça iyi olmadığını öğrendik.
2. Kesişim
İki fonksiyonun çözümü, iki fonksiyonun kesişimidir, ancak kesişme optimal değer olmamalıdır, çünkü kesişim, kontur çizgisinin içinde veya dışında başka kontur çizgilerinin olması gerektiği anlamına gelir ve yenisini eşit yapar. Yüksek çizginin ve amaç fonksiyonunun kesişme noktasının değeri daha büyük veya daha küçüktür.
3. Teğetlik
Şekilde, kontur çizgisi koşul fonksiyonuna teğet olduğunda, uygulanabilir bir çözüm olan tek bir kesişme noktası vardır.
Kontur çizgisi, uygun çözümde koşul fonksiyonunun gradyanına paralel olduğunda (teğet olduğunda), aşağıdaki formül verilir:
Yukarıdaki formülün terimini değiştirdikten sonra şunları elde edebilirsiniz:
Bu formül, Lagrange çarpanının türevini sıfıra ayarlayan formülle tamamen aynıdır.
Biraz kestane ver:
Yukarıdaki formüle göre, tipik bir kısıtlı optimizasyon problemi olduğu görülebilir.Kısıtlama koşulu bir denklemdir ve Lagrange çarpanları kullanılabilir.
Orijinal koşullu kısıt problemi, kısıtlanmamış bir denklem sistemi problemine dönüştürülür.
(2) Eşitsizlik koşulları altında en uygun çözümü arayın
Yukarıdakiler eşitlik kısıtlamaları olan optimizasyon problemleridir, ancak aslında çoğu durumda eşitlik kısıtlamalarının gösterdiğimiz problemleri kapsaması zordur.Maliyeti hesaplarken, genellikle fon miktarı ve zamanın aşılamayacağı söylenir. , Genellikle daha fazla eşitsizlik kısıtlamasıyla karşı karşıya kalır.Bu durumda, eşitsizlik kısıtlamalarının optimizasyon problemini KKT koşullarını ekledikten sonra Lagrangian çarpanları ile çözebilirsiniz.
Amaç işlevi ve tüm kısıtlamalar bir formül olarak yazılabilir:
İki eşitsizlik durumu vardır: çözüm g (x) ile çözülebilir. < 0 veya g (x) = 0 bölgede elde edilir (aşağıda gösterildiği gibi)
Transfer adresi: https://zhuanlan.zhihu.com/p/55532322
