Garip sayılar modern cebiri doğurdu
19. yüzyılda keşfedilen "kuaterniyon" matematikçilere, fizik ve matematiği değiştirecek uzay rotasyonunu tanımlayan yeni bir yöntem sağladı. Saat ibresi 3'ten 12'ye döner. Matematikçiler bu dönüşü basit bir çarpma ile nasıl tanımlayacaklarını zaten biliyorlar: Saat ibresinin düzlemdeki başlangıç konumunu başka bir sabitle çarpın. 19. yüzyılın en üretken matematikçilerinden William Hamilton'un üç boyutlu dönüşü açıklamak için matematiksel bir yöntem bulması on yıldan fazla sürdü. Bu beklenmedik çözüm, dört arasında üçüncü sayı sistemini bulmasına izin verdi. Bu dört sistem standart aritmetiğe benzer ve modern cebirin geliştirilmesine yardımcı olur.
Şeritli dönen bir küp ancak iki tam dönüşten sonra orijinal durumuna geri döner; bir kuaterniyonun dört boyutlu sayısı, elektronlar ve kuarklar gibi madde parçacıklarına çok benzer şekilde davranır. Resim: Jason Hise
Brocade Park-Bilim Popülerleştirme: Reel sayılar ilk sayı sistemini oluşturur. Gerçek sayılar, -3, 7, 5, -42 gibi öğrendiğimiz tüm tanıdık sayıları içerir. Rönesans sırasında, cebirciler ikinci tip sayı sistemine rastladılar ve belirli denklemleri çözerken, eklenebilen, çıkarılabilen, çarpılabilen ve bölünebilen yeni bir i sayısının tanıtılması gerektiğini fark ettiler; böylece ileri adım attılar. İlk adım, "karmaşık düzleme" girmek ve ardından "kurgusal" sayıları gerçek sayılarla birleştirmektir. Bu düzlem dünyasında, "karmaşık sayılar" okları temsil eder. Okları kaydırmak için toplama ve çıkarmayı kullanabilirsiniz ve çarpma ve bölme döndürülebilir. Ve oku uzatın.
Hamilton, İrlandalı bir matematikçidir, klasik ve kuantum mekaniğindeki "Hamilton operatörünün" soyadıyla aynıdır. Hayali bir j ekseni ekleyerek karmaşık düzlemden çıkmayı umuyor. Milton Bradley, "Battleship" i "Array" e çevirmiş gibi. Ancak üç boyutlu uzaydaki bir şey, Hamilton'un düşünebileceği tüm yöntemleri bozdu. Karmaşık bir düzlemde çarpma, dönüş üretir. Hamilton çarpmayı tanımlamak için 3-B'yi nasıl kullanırsa kullansın, anlamlı bir cevap almak için yine de zıt bir bölme bulamıyor. 3-D dönüşü neyin bu kadar zorlaştırdığını bilmek için direksiyon simidini küreyle karşılaştırabilirsiniz.
Direksiyon simidindeki tüm noktalar aynı şekilde hareket eder, bu nedenle her nokta aynı karmaşık sayı ile çarpılmış gibidir. Ancak yeryüzündeki tüm noktaların hareket hızı ekvatordan iki seviyeye düşer Ekvatordaki noktalar en hızlı hareket eder ve kutuplar hiç değişmez. Baez açıkladı: 3D döndürme, 2D döndürmeyle aynıysa, o zaman her nokta hareket eder. 16 Ekim 1843'te Hamilton, Dublin'deki Bloom Köprüsü'ne ünlü sembolü oydu: üç hayali eksen i, j ve k, artı gerçek eksen a. Hamilton tarafından tanımlanan yeni sayılar 4 boyutlu uzaydaki oklara benzer. Onlara "kuaterniyon sayıları" adını verdi. 3 boyutlu bir vektörün döndürülmesi, dönüşün yönü ve derecesi hakkında bilgi içeren tam bir 4-D kuaterniyon çifti ile çarpıldığı anlamına gelir.
Gerçek ve karmaşık sayılar, uyumsuz bir problem dışında her şeyi çözebilir - kuaterniyon çarpımının sırası. Örneğin, telefonunuzun önünü düz bir yüzeye koyun, 90 derece sola çevirin ve ardından kameranın hangi yöne baktığına dikkat ederek telefonu ters çevirin. Başlangıç konumuna geri dönün, önce telefonu ters çevirin, ardından sola çevirin ve kameranın sağı nasıl gösterdiğini gözlemleyin. Bu korkutucu özelliğe değişmeme adı verilir ve kuaterniyonlar ve gerçeklik tarafından paylaşılan bir özelliktir. Ancak yeni dijital sistemde bir boşluk da var. Telefon veya ok 360 derece döndüğünde, bu 360 derecelik dönüşü açıklayan kuaterniyon, dört boyutlu uzayda yalnızca 180 derece yükselir.
Bu nedenle, cep telefonunun veya okun ilgili kuaterniyonu başlangıç durumuna döndürmek için yalnızca iki tam dönüşe ihtiyacı vardır. Ters oklar yanlış negatif sinyaller üretebilir ve bu da fiziğe ciddi zararlar verebilir. Bu nedenle, Hamilton Köprüsü'nün yıkılmasından yaklaşık 40 yıl sonra, fizikçiler kuaterniyon sisteminin standart olmasını önlemek için birbirleriyle savaştılar. Yale Üniversitesi profesörü Josiah Gibbs modern vektörü tanımladığında düşmanlık patladı.
Gibbs, dördüncü boyutun çok fazla sorun olduğuna karar verdi, bu yüzden Hamilton tamamen kesilmiş bir terim yarattı: Gibbs'in kuaterniyon bölümü, i, j ve k sembollerini korudu, ancak kuaterniyon çarpımının beceriksiz kuralı ayrıştırıldı. İşlemleri çarpma vektörlerine, nokta çarpımlara ve çapraz ürünlere ayırın. Hamiltonın öğrencileri bu yeni sistemden "canavar" olarak bahsederken, vektör hayranları dördü "mantıksız sorunlara" ve "saf kötülüğe" indirgedi. Bu tartışma dergilerde ve broşürlerde yıllarca şiddetlendi ve kolaylık vektörü sonunda kazandı. Kuaterniyon sayıları, kuantum mekaniği 1920'lerde gerçek kimliklerini ortaya çıkarana kadar vektörlerin gölgesinde yavaş yavaş azaldı.
Normal bir 360 derece, fotonları ve diğer kuvvet parçacıklarını tamamen döndürmek için yeterlidir, elektronlar ve diğer tüm madde parçacıklarının orijinal durumlarına geri dönmeleri için iki dönüşe ihtiyacı vardır. Hamilton'un sayı sistemi bu keşfedilmemiş varlıkları tanımlıyor ve şimdi "spinors" olarak adlandırılıyor. Bununla birlikte, fizikçiler günlük hesaplamalarında hiçbir zaman kuaterniyon kullanmamışlardır çünkü spinörlerle matrisler temelinde başa çıkmanın başka bir yolunu bulmuşlardır. Sadece son on yıllarda dördüncül sistem bir rönesans yaşadı. Bilgisayar grafiklerinde dönüşü hesaplamak için etkili bir araç olmanın yanı sıra, yüksek boyutlu yüzeylerin geometrisinde kuaterniyonlar da mevcuttur.
Yüksek kahler manifoldu, vektör grubunun ve spinor grubunun, vektör-cebirsel düşman partileri birleştiren ileri geri dönüştürülmesine izin verir. Vektörler kuvvet parçacıklarını ve dönen akımlar madde parçacıklarını tanımladığından, fizikçiler bu özelliğe çok ilgi duyuyorlar, madde ve kuvvet arasında süpersimetri olup olmadığını ve bu simetrinin doğada var olup olmadığını bilmek istiyorlar. Durum böyleyse, evrendeki simetri ciddi şekilde yok edilecektir. Aynı zamanda matematikçiler için kuaterniyonlar ışıklarını asla gerçekten kaybetmemişlerdir. Hamilton kuaterniyonu icat ettiğinde, herkes ve kardeşleri kendi sayı sistemlerini kurmaya karar verdiler.Çoğu sistem tamamen işe yaramazdı, ama sonunda modern cebiri yarattılar.
Bugün soyut cebirciler, çeşitli boyutlarda ve çeşitli tekil özelliklerde çok sayıda dijital sistem üzerinde çalışıyorlar. Hamilton'un arkadaşı John Graves, çarpma simülasyonuna ve ilgili bölme işlemlerine izin veren dördüncülerden sonra dördüncü ve son dijital sistemi keşfetti.Bu yapı işe yaramaz değil. Bazı fizikçiler, bu özel sekiz boyutlu "oktonyonların" temel fizikte hayati bir rol oynayabileceğinden şüpheleniyorlar. Oxford Üniversitesi'nden bir geometri uzmanı olan Nigel Hitchin şöyle dedi: Kuaterniyon tabanlı geometride keşfedilecek daha çok şey olduğunu düşünüyorum.Yeni bir sınır istiyorsanız, sekizliktir.
Brocade Park-Bilim Popülerleştirme Metin: Charlie Wood / Quanta dergisi / Quanta Haber Bülteni
Brocade Park - Evren Biliminin Güzelliğini Sunuyor
