Yerçekimi ile ilgilenmek için dünyaya ne kadar yakın olmanız gerekir
"Bir cisim V hızındaki bir mesafeden dünyaya (M kütlesi) yaklaşırken, dünyanın yerçekimi alanından ne kadar yakından etkilenmesi gerekir?"
Bu çok ilginç bir soru.
Şüphelerinize cevap vermenin birkaç yolu vardır, en kolayı "hiperbolik kaçış" dediğimiz hipotezi kullanmaktır. Bir nesnenin dünyaya o kadar yakın olduğunu ve yüzey çekiminin etkisinin güneşinkini aştığını varsayalım. Bir asteroid dünyaya sonsuzda V sonsuz denen bir hızda yaklaşıyor ve bu nesne kısıtlanmamış veya büyük bir enerjiye sahip ve yörüngesi, odak noktası dünyanın merkezi olan bir hiperbola yakın. (Nesne kısıtlanmışsa veya yapay bir uydu gibi az miktarda enerjiye sahipse, nesne dünyanın yer çekiminden kaçacak kadar enerjiye sahipse, bu bir parabol gibidir.
Elips, mükemmel daire, parabol ve hiperbol, konik eğriler olarak adlandırılır çünkü bir koniden kesilmiş bir düzlem olarak görülebilirler). İster bir elips, ister parabol veya hiperbol olsun, herhangi bir yörünge, uzayda altı parametreyi tanımlamalıdır (aslında, üç boyutlu uzayda bir nesneniz varsa, altı sabit, üç ifade pozisyonu, üç İfade hızı). Hedefimize ulaşmak için, bunlardan sadece ikisini, eksantriklik ve yarı-ana eksenini tanıtmamız gerekiyor. Eksantriklik, konik bölümün nasıl "açıldığını" söyleyen bir parametredir: sıfıra eşit mükemmel bir çemberdir, 1'den küçük bir elipstir ve 1'den büyük bir hiperboldir. Eksantriklik ne kadar büyükse, hiperbolün açıklığı o kadar büyük olur. Yarı eksen uzunluğu size parçanın uzunluğunu söyler.
Kusursuz bir daire için, yarıçapa karşılık gelir, bir elips için, daha uzun eksenin uzunluğu olacaktır. Bir hiperbol için, dışarıya doğru açılan bir yol olduğu için hayal etmek daha zordur.Matematik olarak, odak noktaları adı verilen iki sabit nokta arasındaki mesafeye sahip hiperbol üzerindeki herhangi bir nokta olarak tanımlanır. Fark 2 * a'ya eşittir (bir elips için mesafelerin toplamı olacaktır.).
En kısa mesafeyi q olarak adlandırırsak, herhangi bir konik bölge için geçerli olabilir.
(1) q = (1-e) * bir
Çünkü e > 1 ve q pozitif olmalıdır (bu bir mesafedir ...), bu nedenle a gök mekaniğinde genellikle negatif bir değerdir. Beklediğiniz şey q'nun değeridir. Fakat bunu hesaplamak için, önce sonsuz hakkında bildiğimiz V sonsuzluğuna, çarpma parametrelerine (verilere bakın) ve dünyanın kütlesine bağlı olarak a ve e ifadelerini belirlememiz gerekir.
Bu (büyük) varsayıma göre, güneşin etkisi ihmal edilebilir, hareket düzdür ve açısal momentum veya parçacığın konum zamanının ve hızının vektör çarpımı korunur. Bu nedenle, başlangıç değeri uçuş sırasında sabit olacaktır. Çarpışma parametresini D olarak ayarlarsak, t = 0'daki açısal momentum h tanımlanacaktır:
(2) h = V sonsuz D
Ve z eksenine gelin.
Herhangi bir konik yörünge için (örneğin, bir elips, bir hiperbol veya bir parabol için, 1998 Danby "Gök Mekaniğinin Temel Prensipleri" ne bakın. Örneğin, sayfa 78-82) kanıtlanabilir.
Wiman Bell) h tanımlanır:
(3) h = sqrt {M * a * (1-e²)}
M, yerçekimi sabiti ile dünyanın m2 kütlesinin çarpımıdır.
Bilinen m2, V sonsuzluk, D ve bilinmeyen a ve e'den oluşan ilişkisel bir formül oluşturmak için formül 2'ye eşit olan formül 2'yi birleştirin:
(4) sqrt {M * a * (1-e²)} = V sonsuz D
Başka bir denkleme ihtiyacımız var ve bu, enerjinin korunumu yasasıyla verilir. Kütlesi 1 olan bir asteroidi düşünürsek, o zaman herhangi bir zamanda enerjisi şu şekilde tanımlanır:
(5) E = - / r + V² / 2
Diğer bir deyişle, kinetik enerji ve potansiyel enerjinin ortak toplamı, t = 0, V = V sonsuz olduğunda ve r merkezden uzak olduğunda, ilk terim göz ardı edilemeyecek kadar büyüktür. Herhangi bir yörünge için enerjisi şu şekilde de tanımlanabilir (Danby, sayfalar 63-65):
(6) E = - / 2a
Yapmamız gereken son şey: 5 ve 6 türü birleştirin:
(7) a = - / V² sonsuz
(Hiperbol negatif olmalıdır) Biraz cebirden sonra 7'yi 4'e koymak:
(8) e² = 1 + V sonsuz ^ 4 * D² / ²
Böylece q nihayet tanımlanır:
(9) q = -Gm2 / V sonsuz (1-sqrt {1 + V infinity4 * p² / ²})
İstediğiniz bu, dünyanın kütlesi, sonsuz hız ve çarpışma parametrelerinden oluşan bir formül.
Ancak bu ifadeyi türetirken güneşin etkisini görmezden geldik. Daha gerçekçi olmak istiyorsak, güneşin etkisini de düşünmeliyiz. Gök mekaniğinde "üç-cisim" problemi dediğimiz şey budur Ne yazık ki, bu problemin kesin bir analitik çözümü yoktur (ancak matematiksel becerilere yoğunlaşarak yaklaşık yöntemler bulunabilir).
Yöntemlerden biri, semplektik entegratörleri kullanmak olabilir Bu programlar, merkezi bir nesnenin ve birkaç rahatsız edici nesnenin yerçekimi etkisi altında bir nesnenin yörünge elemanlarının evrimini sayısal olarak hesaplayabilir. Bununla birlikte, sorununuz çok zordur, çünkü asteroid güneşin yerçekimsel etkisinden Dünya'nın yerçekimi etkisinin baskın olduğu bölgeye kaymaktadır. Kısa bir süre önce, bu sorunu çözmek için yeni semplektik entegratörler yazılmıştır (Levison ve Duncans Symba, J · Chambers Mercury), bu da büyük asteroitler ve asteroid aile üyeleri arasındaki ilişki gibi birkaç ilginç sorunun incelenmesine olanak tanır. Yakın karşılaşmaların uzun vadeli etkileri (~ 500 Myr).
İlgili herhangi bir içerik ihlali varsa, silmek için lütfen 30 gün içinde yazarla iletişime geçin
Lütfen yeniden basım için yetki alın ve bütünlüğü korumaya ve kaynağı belirtmeye dikkat edin
