Çözülemeyen görünen bir denklemi çözdüler
10 yıllık bir araştırmanın ardından, Münster Üniversitesi Matematik Enstitüsü'nden Profesör Raimar Wulkenhaar ve Oxford Üniversitesi'nden Dr. Erik Panzer çözülemeyen bir matematik denklemi çözdüler. Bu denklem kullanılır Temel parçacık fiziğinin ortaya attığı soruları yanıtlayın . Bu yazıda, çözüm bulma sürecinde karşılaşılan zorlukları ve sürprizleri gözden geçirmek için Profesör Wulkenhaar'ı takip edeceğiz.
Görünüşte çözülemeyen bir denklem. | Resim kaynağı: WWU / Raimar Wulkenhaar
Bu bir kapsama İki değişken nın-nin Doğrusal olmayan integral denklem . Bu tür denklemler çok karmaşıktır ve soruna çözüm olacak herhangi bir formül olacağına inanmak zordur. Tek başına iki değişken kendi başına bir sorundur.Dahası, matematikçilerin doğrusal olmayan integral denklemlere çözüm bulmak için net bir yolu yoktur.
Bununla birlikte, son on yılda, umut ışığı tekrar tekrar parladı ve sonunda Wulkenhaar ve arkadaşları tüm zorlukların üstesinden geldiler ve sonunda soruna net bir çözüm bulmanın (bilinen bir işlevle ifade edilen) gerçekten mümkün olduğuna ikna oldular.
Denklem doğruyu ifade eder Kuantum alan teorisi Matematiksel anlayış fizik alanına aittir ve CERN tarafından yürütülen parçacık çarpışma deneyi gibi büyük ölçekli deneylere uygulanabilir. Amaç, temel parçacıkları matematiksel olarak tanımlamaktır. Bununla birlikte, sorun o kadar karmaşıktır ki, işlerin tersine çevrilmesi gerekir, yani tasarlanan parçacığın gerçek parçacığın belirli özelliklerine sahip matematiksel açıklaması. Umarım bir gün gerçek parçacıklar bu şekilde oluşturulan yöntemler kullanılarak tanımlanabilir.
Mayıs sonunda, Wulkenhaar, doktora öğrencisi Alexander Hock'tan ilham alan yeni bir fikir denedi. Bir öncekinden daha basit olan yeni bir denklem çözdü ve ardından katman katman çözmeye başladı. Bu, adım adım, bir döngüde yineleme ve önceki adımda hesaplanan denklemin sol tarafını bir sonraki adımda denklemin sağ tarafına yerleştirme anlamına gelir.
Dördüncü döngü yinelemesinde, 46 integralin toplamının hesaplanması gerekir. Çoklu logaritmik fonksiyon (Çok logaritma). Bu çoklu logaritmik fonksiyonlar, her döngüde daha karmaşık hale gelir. Neyse ki, son toplamda, hemen hemen tüm parçalar birbirini götürür ve geriye kalan, sıradan logaritmik fonksiyonun üslerinin toplamıdır. İçinde bir hazine olduğunu hemen anladı.
Çoklu logaritmik fonksiyon, kendi integrali olarak da ifade edilebilen ve yinelemeli bir yapı oluşturan özel bir kuvvet serisidir. Kuantum mekaniğinde, çoklu logaritmik fonksiyonlar, Fermi-Dirac dağılımının ve Bose-Einstein dağılımının integralinin kapalı formu olarak ifade edilir. Şekil, karmaşık düzlemde birkaç farklı çoklu logaritmik işlevi göstermektedir. | Resim kaynağı: Wikipedia.
Beşinci seviye döngü yinelemesini çözmek o kadar kolay değil, ancak bu sefer şans hala onunla. Fransız Alplerindeki bir yaz okulunda Wulkenhaar, Oxford Üniversitesi'nden Erik Panzer'in de bulunduğu bu denklemleri inceleyen uzmanlarla konuşma fırsatı buldu. Sembolik matematik hakkında yazmıştır Süper logaritma (Hyperlogarithm) bilgisayar programı ile destek sağlar.
Program bir gecede yedinci döngüye ulaştı. Bilgisayar programı, Wulkenhaar'ın dördüncü döngüye yönelik çözümünün sonucunu doğrular, bundan sonra mucize devam eder ve her şey sıradan logaritmik fonksiyonlara ayrıştırılır. Bir desen belirdi !
Okul günlerinizde iki terimli katsayı olarak öğrendiğiniz Pascal Üçgenini hatırlıyor musunuz? Pascal üçgeninde her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır.
Paskal üçgeni, aynı zamanda Yang Hui üçgeni olarak da bilinir, genellikle binom katsayılarını ifade etmek için kullanılır. Üçgendeki her sayı, yukarıdaki iki sayının toplamıdır. | Resim kaynağı: Wikipedia
Wulkenhaar'ın döngüde bulduğu şey tam olarak böyle üçgen bir yapıdır, belki de Pascal'ın üçgeninden biraz daha karmaşıktır.
9 Haziran'da döngünün 8. ve 9. katmanları tamamlandı. Sonra en önemli an geldi. Erik Panzer sözde bir Özyinelemeli formül , Üçgenin önceki satırından sonraki satırdaki sayıları üretebilir, böylece bilinmeyeni bilinenden çıkarabilir.
Bu sırada Wulkenhaar, bu sorunu çözeceklerini fark etti. Minnettarlıkla: "Kimse bu kadar şanslı değil." Dedi.
Ertesi gün, Wulkenhaar denklemin bir bölümünü başarılı bir şekilde basit bir türev serisine indirdi. Başlangıçta, sorunların geri kalanı zor görünüyordu. Gece geç saatte aniden kullanmayı düşündü Cauchy formülü Sorunu çözmek için (Cauchy formülü) Bu girişimin doğru olduğu kanıtlandı Bir sonraki adımda, sık sık gördüğü bir formül kullandı. Kullanılabileceğini fark etti Lambertian W işlevi (Lambert W fonksiyonu) çözmek için.
Cauchy integral formülü, matematikçi Cauchy'nin (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) adını taşıyan karmaşık analizin önemli bir sonucudur. Cauchy integral formülü, kapalı bir bölgedeki herhangi bir holomorfik fonksiyon için, bölge içindeki integral değerin tamamen bölgenin sınırındaki değere bağlı olduğunu gösterir.
Birkaç dakika sonra Erik Panzer'in e-postası geldi: Lambert işlevini de düşündü, ancak tamamen farklı bir yoldan. Sonuç olarak, 10 yıllık görünüşte çözülemeyen bir problemi çözdüler - kuantum alan teorisini tanımlayan integral denklemin bir çözümü. Wulkenhaar, "Bu inanılmaz!" Diye bağırdı.
Lambertian W işlevi.
Lambert işlevi, İsviçreli matematikçi Johann Heinrich Lambert'in (1728-1777) adını almıştır. Bu denklem, Fermi-Dirac dağılımı, Bose-Einstein dağılımı gibi birçok farklı problemde ortaya çıkar. Lambert'in temel çalışmasının anlaşılmaması nedeniyle, Lambert işlevi tarihte defalarca "icat edildi". Lambert işlevi bir standart olarak 1993 yılına kadar tesis edilmedi.
Denklemin çözümü, Lambertian fonksiyonu W ve Nielsen fonksiyonu N içerir. | Resim kaynağı: WWU / Raimar Wulkenhaa
Wulkenhaar, çözüm sürecinde 18. yüzyılda geliştirdiği birçok yöntemi kullanmış ve bunlar tarihin tozunda adeta tamamen unutulmuştur. Ona yardımcı olan bu eski formüllerdi.
Wulkenhaar ayrıca Lagrange-Boulman formülü (Lagrange-Bürmann formülü), Lambert fonksiyonu ve Cauchy formülü ile birlikte bir integral problemi çözer. Genel olarak matematik alanı seleflerine büyük saygı göstermiştir. Formülde Euler, Lambert, Lagrange, Cauchy, Gauss ve Hilbert isimleri hatırlanıyor ve başarılarının en yüksek takdirini ifade ediyor.
Ancak, Wulkenhaar'a çok yardımcı olan iki modern araç var: Wikipedia ve Bilgisayar . Matematiksel yapılar ve denklemler hakkında iyi bilinen veya az bilinen bilgileri Wikipedia aracılığıyla elde edebilir. Bilgisayar, herhangi bir hata yapmadan el hesaplamaları ile kıyaslanamaz bir hızda denklemleri çözebilir.
Nielsen işlevi de denklem çözümünün bir parçasıdır. Raimar Wulkenhaar ve Erik Panzer, çalışmalarında bu yeni işlevi tanımladılar. | Resim kaynağı: WWU / Raimar Wulkenhaar
Denklemin çözümünde adı verilen yeni bir fonksiyon ortaya çıktı Nielsen işlevi (Nielsen işlevi). Nielsen işlevinin diğer işlevlerle nasıl ilişkili olduğu gibi her şey daha iyi anlaşıldığında, kendi araştırma sonuçlarını sunacaklardır. Bundan sonra Wulkenhaar, 2002'den beri üzerinde çalışılan bir soruya devam edecek. Bu soru aynı zamanda kuantum alan teorisiyle de ilgili.
Yazan: Christina Heimken
Orijinal bağlantı:
https://phys.org/news/2018-08-mathematician-discusses-seemingly-unsolvable-equation.html
