3 fizik profesyoneli matematiğin sağduyusunu alt üst etti, matematik dehası Tao Zhexuan: Buna hiç inanmadım
Aufei Tapınağı'ndan On Üç Balık ve Koyun Qubit Raporu | Genel Hesap QbitAI
Ağustos ayında bir sabah erken saatlerde, matematik dehası ve Fields Madalyası sahibi Tao Zhexuan Üç garip fizikçiden gelen bir e-postaya tıklandı.
E-postada üçü açıklanmıştır:
Bir formülle karşılaştık, eğer bu formül doğruysa, doğrusal cebirdeki en temel ve önemli nesnelerin bazıları arasında beklenmedik bir ilişki kuracaktır.
Ancak Tao Zhexuan'ın ilk tepkisi şuydu:
Bu kadar kısa ve basit şeyler uzun zaman önce ders kitaplarında yer almalıydı. Bu doğru olamaz.
Aslında, Tao Zhexuan bu şekilde kendisine danışılmaktan hiç hoşlanmadı ve hatta ana sayfasına bir uyarı yazdı: Yazınızla beni rahatsız etmeyin.
Ama üç fizikçiyi şaşırtacak şekilde, sadece 2 saat Ondan sonra, Tao Zhexuan'ın cevabını aldılar.
Daha da beklenmedik olan ise, bir buçuk hafta sonra, birlikte bu formülün ispat sürecini açıklayan bir makale yayınlamalarıdır.
Tao Zhexuan tarafından ne tür bir formül bu kadar tercih edilir?
Özvektörler için çözün.
Doğru, bu en yaygın temel matematiksel çözüm formülüdür.
Geleneksel çözüme göre:
Karakteristik polinomları hesaplayın özdeğerleri çözün özvektörleri elde etmek için homojen doğrusal denklemleri çözün.
"Nötrinolar" üzerinde çalışma sürecinde, bu üç fizikçi beklenmedik bir şekilde başka bir harika çözüm keşfetti:
Özdeğerini bilerek, sadece basit bir denklem formüle etmeniz gerekir ve özvektör kolayca çözülebilir.
Üç fizikçi. Soldan sağa: Zhang Xining, Peter Denton ve Stephen Parke.
Tao Zhexuan'ın dediği gibi:
Bu formül gerçek olamayacak kadar iyi görünüyor.
Alt matrisin özdeğerlerinin, orijinal matrisin özvektörlerinin gizli bilgilerini kodladığını hiç düşünmemiştim.
Yale Üniversitesi matematikçisi Van Vu, bu keşfi tanımlamak için "şaşırtıcı" ve "ilginç" sözcüklerini kullandı.
Bir Hacker News netizeni, bu formülün teorik değerinin Cramer Kanunu Yukarıda.
Not: Cramer yasası, n-ary doğrusal denklemlerin çözümünü hesaplamak için determinantı kullanan doğrusal cebirdeki temel teoremdir.
Yeni yöntem nasıl ortaya çıktı?
Şimdi bildiklerimizi gözden geçirelim Özellik vektörü ile Özdeğerler .
Bir matrisi bir vektörle çarpmak, doğrusal bir dönüşüm yapmaya eşdeğerdir. Ancak bu vektörün yönü sıklıkla değişecektir.
Ancak bir A matrisi varsa, bu v vektörünün yönü doğrusal dönüşümden sonra değişmeden kalır, ancak belirli bir kat ile uzatılır veya sıkıştırılır, yani: Av = v .
Daha sonra, bu v vektörü özvektördür ve özdeğerdir.
Nötrino salınım olasılığını hesaplarken, üç fizikçi keşfetti:
Özvektörlerin ve özdeğerlerin geometrik doğası aslında Uzay vektörünün döndürülmesi ve ölçeklenmesi . Ve nötrinoların üç çeşidi (elektron, müon ve tau) uzaydaki üç vektör arasındaki dönüşüme eşdeğer değil mi?
Nötrino salınımı, kuantum mekaniksel bir fenomendir. Deneyler, elektron nötrino, müon nötrino ve tau nötrinodan oluşan üç nötrinonun birbirine dönüştürülebileceğini buldu ve bu, nötrino salınımı fenomeni.
Kaynak: Quantamagazine
Fizikçiler, özvektörler ve özdeğerler arasında daha genel kurallar olabileceğini fark ederler. Böylece yeni formülün perdesi kalktı.
Orijinal matrisin satırlarını ve sütunlarını silerek bir alt matris oluşturun.
Orijinal matrisin özvektörlerini hesaplamak için alt matrisin ve orijinal matrisin özdeğerleri birleştirilir.
Kısacası, özdeğerler verildiğinde, özvektörü elde etmek için bir denklem kullanılabilir.
Kaynak: Quantamagazine
Bu yeni formül ne kadar harika?
Bir matematik dehası ve Fields Madalyası sahibi olan Tao Zhexuan şunları söyledi:
Yeni formülle ilgili olağanüstü olan şey, her durumda Matristeki herhangi bir öğeyi bilmenize gerek yok , İstediğiniz her şeyi hesaplayabilirsiniz.
kanıtlama süreci
Tao Zexuan'ın cevabında, bu yeni formül için üç kanıt yöntemi ekledi ve daha sonra üç fizikçi Peter Denton, Stephen Parke ve Zhang Xining ile makaleler yayınladı.
İlk önce A'yı bir özvektör i (A) ve normlu bir özvektör vi olan bir n x n Hermitesel matris olarak tanımlayın.
Hermitian Matrix kutusu Özellik vektörünü gerçek sayıya dönüştür , Gerçek dünyadaki sorunları çözmek için daha uygun.
Özellik vektöründeki her öğe vi, j olarak işaretlenir.
J. satırı ve j. Sütunu silerek, A'nın alt matrisi Mj elde edilebilir, boyut (n-1) x (n-1) ve öz değeri k (Mj) 'dir.
Her şeyden önce, bir Cauchy-Binet formülü ispatla elde edilebilir.
Lemma 1. A'nın karakteristik bir değeri 0 olsun, genelliği kaybetmeden, n (A) = 0 olsun. O zaman herhangi bir n x (n-1) boyutundaki bir B matrisi için şunu elde edebiliriz:
Ardından yeni formülün türetimini girebilirsiniz.
Lemma 2. Özvektörün her bir elemanının norm karesi, özdeğerleri ve alt matris özdeğerleri ile ilgilidir.
O zaman ispatlanabilir: j = 1 ve i = n olsun. A'yı n (A) In'e dönüştürün, böylece n (A) = 0; bu aynı zamanda A ve Mj'deki kalan tüm özdeğerleri de dönüştürür, böylece formül 2 şöyle olur:
Denklem 3'ün sağ tarafının det (M1) olduğuna dikkat edin.
Sonra, B = (0, In-1) 'e Lemma 1'i uygulayın. Formül 1'in sol tarafının
Denklem 1'in sağ tarafı det (M1) 'dir.
İspat: A'nın özdeğeri olmayan herhangi bir için,
Çünkü j has,
Daha da basitleştirin ve i (A) limitini alın,
Denklem 7'nin sağ tarafındaki köşegen eleman, Denklem 2'nin sol yarısını sağlar. Eşlenik tanımı yoluyla, Denklem 7'nin sol tarafındaki köşegen eleman i (A) In-A'nın alt matrisini belirler.
Lemma 2'yi uygulayın, Kaçınılmaz sonuç Yani, özvektördeki bir eleman kaybolursa ve vi, j = 0 ise, o zaman A matrisinin özvektör denklemi, alt matrisi Mj'nin bir özvektör denklemine indirgenecektir.
Bu keşfin etkisi
Kısacası, fizikçilerin bu son başarısı, insanların yalnızca özdeğer bilgilerini kullanarak özvektörleri hesaplamalarını sağlayacak.
Başka bir deyişle, bu sonuç temel matematikte yeni gerçekleri ortaya çıkarmaktadır.
Daha da önemlisi, matematikte, fizikte veya mühendislikte olsun, gerçek dünyada birçok problem özvektörlerin ve özdeğerlerin hesaplanmasını içerir.
Örneğin, nötrino salınım olasılığının hesaplanması.
Örneğin, makine öğrenimi alanında, veri boyutluluğunu azaltma ve yüz tanıma, matris özdeğer / özvektör teorisinin pratik uygulamasını içerir.
Ohio Eyalet Üniversitesi'nde parçacık fizikçisi olan John Beacom, bu teorinin geniş uygulama beklentilerine sahip olduğuna ve hatta yeni bir dünyanın kapısını açacağına işaret etti.
Fizikçiler ve matematik dehalarının işbirliği
Üç fizikçi tarafından davet edilen ve yeni formülü kanıtlayan matematikçi, tanınmış matematik dehası Tao Zhexuan'dır (Terence Tao).
Tao Zhexuan
7 yaşında liseye gitti, 9 yaşında üniversiteye gitti, 13 yaşında Uluslararası Olimpiyat Matematik Yarışması'nda altın madalya kazandı ve IMO'nun en genç altın, gümüş ve bronz madalya rekorunu elinde tutuyor.
24 yaşında UCLA Matematik Bölümü'nde kadrolu profesör oldu ve 31 yaşında "Matematikte Nobel Ödülü" olarak bilinen Fields Madalyası'nı kazandı ve bu onuru alan ikinci Çinli matematikçi oldu.
Üç fizikçi, biri Amerika Birleşik Devletleri Brookhaven Ulusal Laboratuvarı'nda fizikçi asistanı olan Peter B. Denton. 2016 yılında Vanderbilt Üniversitesi Fizik Bölümü'nden doktora derecesi ile mezun oldu.
Diğeri ise Yeni Zelandalı fizikçi Stephen Parke (Stephen J. Parke). Nötrino fiziği ve en iyi kuark fiziğine odaklanan olağanüstü bir bilim adamı ve Fermi Ulusal Hızlandırıcı Laboratuvarı'nda Teorik Fizik Bölümü başkanıdır.
Son yazar Xining Zhang aynı zamanda Çinli bir yüz, Chicago Üniversitesi'nde okudu, teorik parçacık fiziği araştırmalarıyla uğraştı ve Stephen Parker'ın bir öğrencisiydi.
Portal
Kağıt adresi: https://arxiv.org/abs/1908.03795 https://arxiv.org/abs/1907.02534
Blog Adresi: https://www.quantamagazine.org/neutrinos-lead-to-unexpected-discovery-in-basic-math-20191113/
- Bitiş -
Qubit QbitAI · Toutiao İmzalı
Bize dikkat edin ve en son teknolojideki en son gelişmeleri alın
