Büyük problemler | matematikte çözülmemiş problemler
Yazar: Wu Zhiyou
Modern bilimin temeli olarak matematik, hayatın her kesiminde daha derin veya daha sığ bir şekilde yaygın olarak kullanılmaktadır ve sıradan insanlar temel matematiksel yöntemleri az çok anlar. ancak Modern matematik Ancak çoğu insanın cesaretini kıran bir yer. İnsanların temel problemlerini ve temel yöntemlerini anlaması diğer bilimlerden çok daha düşük. Langlands (Langlands) "" Kriyojenik Elektron Mikroskobu "veya" Sicim Teorisi "ni duyan çok daha az insan var. Bu makale, özellikle modern matematiği tanıtacak Aritmetik Geometri Bir dizi varsayım, hepsi birlikte son derece muhteşem bir plan oluşturur, bu da bilim adamlarının nesiller boyu hayalidir.
Modern matematiğin çoğu parçası, günlük deneyimden uzaklaşan ve uzaklaşan soyut sistem katmanları üzerine inşa edilmiştir. Leoparlara sis tüpünden sadece bakmak da eşik katmanları tarafından engellenecektir. Çok sığ olmaktan kaçınmak için, bu makale kaçınılmaz olarak kullanacaktır. Seri terimler. Yine de, kısalık adına, hemen hemen tüm ifadelerin belirli bir belirsizliği ve hatta bazen kasıtlı hataları vardır.Kesin ifade, daha modern teorilerin ve ince düzeltmelerin girişini gerektirir.
Hikaye Euler ile başlıyor, Euler işlevi şöyle değerlendirdi:
Ve değerini s = 2'de kanıtlayın:
Daha sonra Riemann, ünlü makalesinde bu işlevin karşıladığını öne sürdü:
İfadeye sahiptir:
1-s ve s değerleri simetriktir ve belirli fonksiyonel denklemleri karşılar;
Önemsiz olmayan sıfır noktaları, Re (s) = 1/2 düz çizgisine dağıtılır.
ile Temel yöntemlerle ispatlanması kolaydır, Ünlü Riemann hipotezi Matematikteki en zorlu problemlerden biri olarak. Bu işlev artık yaygın olarak adlandırılmaktadır Riemann zeta işlevi (Riemann zeta fonksiyonu) aslında belirli bir fonksiyon tipinin özel bir durumudur, biz ona L işlevi Sanırım hepsinin benzerleri var , ile Aynı zamanda, özel noktalardaki değerleri benzer Euler ifadelerine sahiptir. Bu belirsiz ifade basit görünebilir, ancak doğası gereği derindir. ABD'deki Clay Enstitüsü'nün 21. yüzyılın başlarında ortaya çıkardığı yedi binyıl milyonluk sorundan üçünü içerir Beh ve Swinnerton-Dyer Varsayımı (BSD), Hodge Varsayımı (Hodge varsayımı) ve Riemann varsayımı (Riemann Hipotezi) ve diğer birçok eşit derecede ünlü varsayım. Bu ifadenin arkasında, sorunun anlamını açıklığa kavuşturmamıza ve anlamamıza yardımcı olan ve aynı zamanda güçlü çözme araçları sağlayan bir dizi muhteşem matematiksel yapı vardır.Birçok insan için, problemin kendisinden daha büyüleyici.
Genel olarak konuşursak, iki farklı kökenimiz var L işlevi Biz ona diyoruz Motive L işlevi ile Otomorfik L işlevi .
Önce açıklayalım Motive L işlevi , Menşeli Sayı teorisi ile Cebirsel geometri . Cebirsel sayı teorisinin temel bir problemi, tamsayı katsayılarını çözmektir. Tek değişkenli polinom denklemi Her asal sayı p için, modulo p'yi düşünebilir ve sonlu alan üzerinde tek değişkenli bir polinom denklemi elde edebiliriz Prensipte bunu kolayca çözebiliriz.Modulo p çözümünün tamsayı çözümüyle nasıl ilişkili olduğu, sayı teorisinde önemli bir konudur. Gauss ve Euler tarafından keşfedilen ünlü İkinci dereceden karşılıklılık (Kuadratik Karşılıklılık Yasası), tek değişkenli kuadratik polinomların özel durumunda bu problemin çözümüdür.
20. yüzyılın başlarında önemli bir keşif ... Kategori teorisi (Sınıf alan teorisi), bu sorunu çözmek için daha büyük bir tek değişkenli polinom denklem sınıfı için. Bu tür bir denklem polinomun derecesi ile sınırlı değildir, ancak denkleme bağlıdır İçsel simetri , Daha doğrusu, Galois Grubu (Galois grubu). Galoisin 19. yüzyılın başlarındaki devrimci çalışması ilk kez tanıtıldı Grup teorisi , Ve bunu polinomların simetrisini doğru bir şekilde ölçmek için kullanın.İlk defa, sıkıcı hesaplamaları atlayabilir ve yüzeydeki daha somut problemlerle başa çıkmak için daha derin soyut özellikleri kullanabiliriz. Modern cebirin başlangıcı oldu . Tekli polinomun karmaşıklığı Galois grubunun karmaşıklığında yatarken, kategori teorisi değişmeli Galois gruplarının durumuyla ilgilenir. Değişmeli olmayan durum çok daha karmaşıktır. Bu moderndir. Langlands Programı (Langlands programı) önemli bir hedef.
Her bir değişkenli polinom için tanımlayabiliriz L işlevi , Genellikle denir Dedekin Zeta Fonksiyonu (Dedekind zeta fonksiyonu), Riemann işlevi Tek boyutlu bir polinomun özel bir durumudur. Memnun olduklarını kanıtlayabilirler ile . Doğal bir terfi dikkate almaktır Çok değişkenli polinom Burada cebirsel geometri alanına giriyoruz. Polinomun sıfır noktası, geometrik bir nesneyi tanımlar. Cebirsel Çeşitlilik (Cebirsel çeşitlilik), araştırmaları için genellikle Cebirsel geometri .
Eski bir disiplin olarak cebirsel geometri, 20. yüzyılda muhteşem bir gelişme yaşadı. İtalyan Okulu, 20. yüzyılın başlarında cebirsel yüzeylerin incelenmesinde büyük ilerleme kaydetti. Ancak, gevşek temeli Oscar Zariski'yi harekete geçirdi. ) Ve André Weil tüm cebirsel geometrinin temelini yeniden inşa etti ve Weil şunu belirtti: Cebirsel geometri ile sayı teorisi ve topoloji arasındaki şaşırtıcı bağlantı Daha sonra, Weil'in varsayımını anlamak için, Alexander Grothendieck, cebirsel geometrinin temelini daha soyut ve gerekli bir yöntemle yeniden inşa etti ve bir dizi güçlü araç, özellikle de onun Kohomoloji teorisi (kohomoloji), sonunda Pierre Delignein tam kanıtına yol açtı. Weil Varsayımı Ve bu nedenle Fields Ödülü'nü kazandı.
Grothendieckin kök salmış kohomoloji teorisine odaklanmak istiyoruz. Cebirsel topoloji Aynı zamanda, Grothendieck bir dizi kohomoloji teorisi inşa etti. Çok benzer özelliklere sahipler, ancak çok farklı yapılardan ortaya çıktılar. Grothendieck ortak özlerini bulmaya çalıştı ve önerdi Güdü teorisi . Grothendieck'in standart varsayım olarak adlandırdığı bir dizi varsayıma dayandığı için bu teori tamamlanmış değildir. Standart varsayım kanıtlanırsa, tüm kohomolojiyi türeten çok güzel bir teori elde edebiliriz ve yüzeysel olarak ilgisiz bir dizi problemi kanıtlayabiliriz. Meşhur milyon problemlerinden biri Hodge Varsayımı Önemi, türetilebilmesidir Standart varsayım .
Her Motive L işlevi Tümü Güdü Verilen bu işlevler için, Doğrulaması kolay, ancak Genel durumu henüz kanıtlayamadık. Bilinen bir örnek, rasyonel sayılar üzerindeki eliptik eğriler durumudur. Andrew Wiles ' Fermat'ın Son Teoremi Kanıtın bir çıkarımı (Taniyama-Shimura varsayımı, tam durum 2001'de Wiles'ın birkaç öğrencisi tarafından kanıtlandı). Neredeyse herkes için L işlevi Bilinmeyen, tek istisna Güdü Sonlu alanlar durumunda, , Deligne tarafından kanıtlanmış Weil varsayımıdır.
için Motive L işlevi Özel değerler sorunu, ihtiyacımız var Güdü Bir promosyon dediğimiz karışık güdü , Bu daha büyük ama daha uzak bir rüya ve onu nasıl inşa edeceğimiz konusunda hiçbir fikrimiz yok. Varlığı bir dizi güzel denklemi türetebilir ve Euler'in ünlü Riemann formülünü destekleyebilir. Bellingson varsayımı (Beilinson varsayımı), BSD, milyonlarca sorundan biri vb. Bu kategoriye aittir. İnşa edemememize rağmen karışık güdü , Ama onun zayıflatılmış bir deformasyonunu inşa edebilir, ki buna Türetilmiş kategori Vladimir Voevodsky (Vladimir Voevodsky) böyle bir yapı verdi ve 2002 Fields Madalyası'nı kazandı.
Güdü L işlevinden daha önemlidir , Ancak bunu doğrudan hesaplamak bizim için zor. Alternatifi, Güdü Farklı ifadeler. Her Güdü Galois gruplarının ve Hodge yapısının karmaşık geometride bir dizi temsilini verebilir, tamamen belirlerler L işlevi Bu yüzden onları düşünmek daha temel bir konudur. Kategori teorisinin Galois gruplarını değiştirme durumunu çözdüğünü gördük. Basit ama temel bir fikir, grubun temsilinin grubun kendisinden daha temel olduğudur. Bu nedenle, dikkate almamız gereken şey Galois grubunun kendisi değil, onun Gösterim, böylece tüm değişmeli Galois grupları tek boyutlu Galois temsillerine eşdeğerdir ve değişmeli olmayanlar yüksek boyutlu temsillere eşdeğerdir. Onları anlayabilmek için içsel simetrilerini göz önünde bulundurmalıyız. Şaşırtıcı bir şekilde, bu simetriler büyük ölçüde tamamen farklı bir matematiksel nesneden türetilmiştir ----- Otomorfik form .
Otomorfik formun kökeni 19. yüzyıla kadar uzanmaktadır.Klein ve Henri Poincaré bu yönde öncülerdir. Ancak ileriye bakarsak, Riemannın zeta işlevinin doğasını dikkatlice okuyun Gerçekten çok özel bir otomatik simetri formunu kullandığını kanıtlamak için, şimdi buna Modüler ağırlık formu 1/2 . Aslında neredeyse tüm bilinen özellikler (Genel etki alanındaki L işlevi) kanıtlarının tümü, otomatik biçimli formu kullanıyor, tahmin ediyoruz motive edici L işlevi Belli bir tür otomorfik formdan inşa edilebilir. Bu cesur tahmin, Shimura Goro ve Taniyama'nın eliptik eğrisinin özel durumundan kaynaklanmıştır ve daha sonra Langlands tarafından modern matematikte gök gürültüsü olan genel duruma genelleştirilmiştir. Langlands Programı .
Shimura Goro'nun yöntemi büyük ölçüde cebirsel geometriden türetilmiştir.Özel hesaplamalardan bazı mükemmel özel yapılar görmüş. Yöntemi, genel durumlara doğrudan genelleştirilemeyecek kadar özeldir. Langlands'ın anlayışı, bu yapıların ardındaki temsil teorisinin özünü görmekti. Sistematik olarak cebirsel grupların sonsuz boyutlu temsilini sayı teorisine tanıttı ve çok genel bir küresel program buldu. Son elli yılda, sayısız Olağanüstü bilim adamı.
genellikle düşün Langlands Programı İki bölümden oluşur, ilk bölüm adı verilir Karşılıklı varsayım Sayı teorisi ile temsil teorisi arasındaki yazışmayı tanımlayan en genel tahmin, Güdü Otomorfik formun önemli bir kısmına eşdeğerdir. Özellikle, Galois temsilinin cebirsel grupların temsiline eşdeğer olması gerektiğine işaret eder. motive edici L işlevi Eşittir Otomorfik L işlevi . İkinci bölüm denir Functor varsayımı , Farklı gruplar arasındaki temsillerin bağlantısını açıklar. Bu program geniş kapsamlı bir öneme sahiptir. En genel olanlar için yararlı olabilir. L işlevi kanıtlamak Ve bir dizi zor varsayım türetmek Ating varsayımı .
On yıllarca süren sıkı çalışmanın ardından, bu programla ilgili anlayışımız büyük ilerleme kaydetti. Olağanüstü temsili akademisyenler arasında Fields Madalyası kazananları Vladimir Drinfeld, Laurent La Laurent Lafforgue ve Wu Baozhu, ancak yine de tam programdan çok uzaktalar. Langlands Programının kapsamının hala genişlediğini belirtmek gerekir.Klasik programa benzeterek, geliştirdik Geometri Langlands , p-adic Langlands , Fiziksel olarak bile Edward Witten (Edward Witten) benzer bir öneride bulundu. Langlands Duality Çok farklı alanları içerirler ve çok farklı yöntemler kullanırlar, ancak hepsi derin bir benzerlik gösterir ve programın kendisini farklı bakış açılarından zenginleştirir. Yerel sayı alanını kanıtlamak için geliştirdiği p-adik geometrik analoji fonksiyon alanını kullanan Peter Scholze'nin devam eden çalışmasından bahsetmeye değer yeni bir gelişme geliyor.
Modern matematikteki bazı önemli konuları, özellikle aritmetik ve geometri alanındaki bazı önemli konuları çok kabaca gözden geçirdik. Şu andan itibaren, yukarıda bahsedilen varsayımların neredeyse tamamı hala çok uzaktadır (belki BSD bir istisnadır) ve her biri bir tanesini tüketmek için yeterli olabilir. İnsanların ömür boyu süren enerjisi, ancak sayısız insanı çeken zorluk ve derinliktir. Bir dereceye kadar, matematikçiler ve kaşifler aynı tür insanlardır.
