Çocuk Bayramı Hediyesi: Çocuğa Fourier dönüşümünün ne olduğunu açıklayın
Bugün Çocuk Bayramı. Tüm ebeveynlerin bebekleri için Çocuk Bayramı hediyeleri satın aldığına inanıyorum. Aslında maddi hediyelere ek olarak çocuklarına manevi hediyeler de verebiliyorlar. Örneğin, çocuklar birçok bilim ve mühendislik öğrencisinin bile anlamadığını anlasın. Evet, ama Fourier dönüşümü oldukça önemli, bu daha iyi bir hediye olmalı!
Çocuklara açıklayabilmek için, daha az matematiksel formül kullanmalı veya hiç kullanmamalısınız ve örneklemek için daha gerçek hayattan örnekler kullanmalısınız. Bu alanda daha önce aşağıdaki iki gibi bazı makaleler yayınlamıştık:
-
Fourier dönüşümünü herhangi bir matematik formüle bakmadan açıklayın
-
Fourier dönüşümü sezgisel, canlı ve ilginç bir şekilde nasıl tanıtılabilir?
Bugün yine herkese bir makale öneriyoruz, halktan bu makale No .: araştırma köpeği, Yazar: Li Jianhui
Makalede bazı matematiksel formüller görünse de, bu sadece anlayışı artırmak içindir ve çocuklara anlatılırken tamamen atlanabilir. Anlamıyorsan önemli değil, çocuklarına Fourier'in hayatını ve büyük katkılarını da anlatabilirsin.
Metin:
Fourier dönüşümü, şimdiye kadar yapılmış en büyük ve en derin matematiksel keşiflerden biridir. Ama ne yazık ki, onu ilk gören formül anlamını anlamak zor görünüyordu. Örneğin, Dirichlet'in koşulunu sağlayan periyodik bir sinyal üzerinde Fourier dönüşümü gerçekleştirilerek bir dizi Fourier serisi elde edilebilir, bu şu şekilde ifade edilebilir:
Emmmmm ...
Matematikteki sözde "dönüşüm" aslında sorunun kendisini değiştirmeden, problemin bakış açısını değiştiriyor Detaylar için bakınız: Laplace dönüşümünde S'nin hayaleti nedir? .
Kestane ver
"Dönüşüm" kavramını daha iyi anlamak için, şimdi "dönüşüm" hakkında basit bir benzetme veriyor:
Adında bir içecek varsa: Portakallı Muzlu Sütlü Smoothie .
Gerçekten içmek istiyorsunuz, ancak şimdi piyasada satılanların çok pahalı olduğunu görüyorsunuz, bir kadehi vergisiz 10 dolara mal oluyor.
Ancak bazen yoksulluk iyi bir şeydir çünkü yoksulluk sizi saçınızı kestirmek gibi birçok yaşam becerisi öğrenmeye zorlar.
.
Açıkçası, yapmamız gereken bir sonraki şey Ev yapımı Portakallı Muzlu Sütlü Smoothie Yukarı!
Bununla birlikte, tavada kızartmada olduğu gibi, aynı malzemeler kullanılsa bile, farklı insanlar için tavada kızartılmış yemeklerin tadı büyük ölçüde değişir. Piyasadaki ile aynı tada sahip bir smoothie yapmak istiyorsanız en önemli şey hammaddelerin çeşitlerini ve oranlarını bilmektir. Daha sonra, bir bardak turuncu muzlu sütlü smoothie'den ham maddeler ve oranlar elde etme süreci, Fourier dönüşüm sürecine benzer olabilir. Buna "Portakal Muzlu Sütlü Smoothie'nin Fourier Dönüşümü" diyelim.
Düşünmeyi netleştirmek için önce aşağıdaki soruları yanıtlayın:
1. "Portakal Muzlu Sütlü Smoothie'nin Fourier Dönüşümü" nedir?
Cevap: Bir bardak meyve smoothiesi aldıktan sonra, çeşitli malzemeleri ve özelliklerini öğrenin.
2. Nasıl yapılır?
Cevap: Her bir malzemeyi çıkarmak için smoothie'nin bir çeşit "filtreden" geçmesine izin verin.
3. Bunu neden yapıyorsunuz?
Cevap: Her bir bileşenin analiz edilmesi, karşılaştırılması ve değiştirilmesi, smoothie'nin kendisinden daha kolaydır.
4. Portakallı muzlu sütlü smoothie nasıl yapılır?
Cevap: Filtrasyon ile elde edilen bileşenleri analizle elde edilen orana göre karıştırın.
(Resim kaynağı: daha iyi açıklanmış)
Yukarıdaki şemada olduğu gibi 9 ölçü meyveli smoothie koyarsanız.
Muz süzgecinden sonra 1 ölçü muz elde edilir;
"Portakal filtre" den sonra 2 birim portakal elde edilir;
"Süt filtresinden" sonra 3 birim süt elde edilir;
"Pürüzsüz filtre" den sonra 3 ölçü smoothie elde edilir.
Böylelikle smoothie yapmak için "tarif" elde ettik.Sadece filtreleme ile elde edilen oranlarda malzemeleri karıştırın ve piyasadaki ile aynı turuncu muzlu sütlü smoothie'yi elde edin!
Tüketicinin bakış açısından gördükleri, "muz", "portakal", "süt" ve "smoothie" içeren meyveli smoothie'ler; smoothie üreticileri açısından ise smoothie yapmakla ilgileniyorlar. Formül, yani içerikler ve oranlar!
"Portakallı muzlu sütlü smoothie'nin Fourier dönüşümü" bakış açımızı tüketicilerden üreticilere kaydırıyor: "Meyveli smoothie'lerim var" dan "Meyveli smoothie nasıl yapılır?" Bunlar iki farklı açıdır ve bu iki açı arasındaki geçiş yukarıdaki şekildeki "filtre" dir (yani "dönüşüm").
"Filtreleme" (dönüştürme) sürecinde, bileşenler ve oranlar değişmedi. Bu nedenle, bu dönüşümü kullanarak Formülü tersine geri yükle Bu, "filtre" nin (dönüşüm) anlamıdır.
Fourier'e Giriş
Tamam, "dönüşüm" ün anlamını anladıktan sonra, şimdi ciddi Fourier dönüşümüne bakın. Öncelikle ünlü Fourier'i tanıtın.
Jean-Baptiste Joseph Fourier
21 Mart 1768-16 Mayıs 1830
(Resim kaynağı: Wikipedia)
Fourier'in hayatı efsanedir, ailesi gençken birbiri ardına vefat etmiş, mezun olduktan sonra yirmili yaşlarında matematik öğretmeni olmuş ve daha sonra Ecole Polytechnique de Paris'te profesör olarak işe alınmıştır. Ama o barış adamı değil. 20 yaşındaki adam o sıralarda Fransız Devrimi ile aynı zamana denk gelmişti. Bazı siyasi eylemleri onu neredeyse iki kez giyotine çevirmişti ama Napolyon'un saygısını da kazandı.
30 yaşında, Fourier, Doğu Seferlerinde Napolyon'u takip etti ve Aşağı Mısır Valisi olarak atandı ve Fransız keşif kuvvetlerine silah sağlamaktan sorumluydu. Bu dönemde, Napolyon'a öğretmenlik yapan, isyan eden ve hatta silah taşıyan adam, Kahire'deki Mısır Enstitüsü'ne matematikle ilgili birkaç makale bile sundu. İçerik esas olarak trigonometrik serilere olan katkısıyla ilgilidir.
Napolyon Seferi Ordusu'nun yenilgisinden sonra ülkesine döndü ve 1801'de Isère'de Glennoble Valisi olarak atandı. 1807'de Fourier, nesnelerdeki sıcaklık dağılımını temsil etmek için kullanılabilecek harmonik ilişkide bir dizi sinüzoid keşfetti. Ayrıca "herhangi" bir periyodik sinyalin harmonik bir ilişki içinde bir dizi sinüzoidal eğri ile temsil edilebileceğini iddia etti.
Daha sonra bu makaleyi inceleyen dört kişi arasında "Isının İletimi" adlı bu makaleyi Paris Bilimler Akademisi'ne sundu. F. Lacroix, G. Monge ve Laplace (PS de Laplace) bu makaleyi yayınlamayı kabul ettiler, ancak JL Lagrange Fourierin önerisini reddetmekte ısrar etti. Bir dizi trigonometrik seri teorisi, çünkü ona göre, trigonometrik serilerin uygulama kapsamı son derece sınırlı olduğundan, sinyalleri örneğin süreksiz türevlerle ifade etmek imkansızdır.
Lagrange'ın güçlü muhalefeti nedeniyle Fourier'in makalesi asla yayınlanmadı. Fransız Akademisi'nin tezini kabul etmesi ve yayınlaması için birkaç girişimden sonra, Fourier çalışmasının başka bir versiyonunu yazmaya başladı. 1822'de Fourier bu teoriyi The Analytical Theory of Heat adlı kitabında yazdı. Teoriyi ilk önermesinin üzerinden 15 yıl geçti.
Théorie analytique de la chaleur
Trigonometrik seriler hakkındaki tartışması çok anlamlı olsa da, bu sorunun ardında saklı olan birçok temel kavram diğer bilim adamları tarafından keşfedildi; aynı zamanda Fourier'in matematiksel kanıtı mükemmel değil. Daha sonra 1829'da Dirichlet (Dirichlet) bir dizi kesin koşul verdi, bu koşullar altında periyodik bir sinyal bir Fourier serisi ile temsil edilebilir.
Bu nedenle Fourier, Fourier'in matematiksel teorisine aslında herhangi bir katkı yapmadı. Bununla birlikte, seri gösteriminin potansiyel gücü hakkında fikir sahibi oldu ve iddiaları nedeniyle, Fourier serisi probleminin derinlemesine incelenmesine büyük ölçüde ilham verdi ve teşvik etti. Buna ek olarak, Fourierin bu konudaki araştırma sonuçları öncülerinden herhangi birinden daha ileri bir adımdır ve bu, onun aynı zamanda periyodik olmayan sinyaller-harmonik olarak ilişkili olmayan sinüzoidal sinyallerin bir temsilini elde ettiği anlamına gelir. Tamamen harmonik olmayan sinüzoidal sinyalin ağırlıklı toplamı, ancak ağırlıklı integrali.
Keşiflerinin matematik, fizik, kimya ve çeşitli mühendislik alanlarında 19. yüzyılda ve sonrasında derin bir etkisi oldu ve Eyfel Kulesi'ne isimleri kazınan 72 Fransız bilim insanı ve mühendisi arasındaydı.
Fourier serisinin sezgisel ifadesi
Daha önce Fourier'nin "herhangi" diye düşündüğünden bahsetmiştim Periyodik sinyal Her ikisi de bir dizi sinüzoidal sinyalin "harmonik bir ilişki" içinde üst üste gelmesi olarak ifade edilebilir. (Bu "harmonik ilişki" daha sonra bahsedilecektir)
Sinüs fonksiyonunun çok fazla söylenmesi gerekmez, herkes açıktır, ancak sezgisel ifade için burada sinüs (veya kosinüs) sinyali sırasıyla iki hareket biçiminde ifade edilir: biri yatay eksen olarak zaman ve dikey eksen olarak yer değiştirme ile ifade edilir. Sinüs dalgası veya salınım sinyali olarak da bilinen belirli bir noktanın ileri geri hareketi;
Diğeri, başka bir nokta etrafında düzgün bir dairesel harekettir. İki durum aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi birleştirilmiştir. Sinüs dalgası, düz bir çizgi üzerindeki dairesel bir hareketin izdüşümüdür.
Sinüzoidal sinyallerin iki grafik gösterimi
(Resim kaynağı:
Bu iki temsil yöntemi arasında önemli bir fark yoktur, tıpkı bir köşenin boyutunu tasvir etmek gibi, bir daire 360 ° olarak bir açıyla temsil edilebilir veya 2 radyan radyan ile temsil edilebilir. Sadece iki farklı ifade biçimi kullanır, bakınız: Bir daire neden 360 ° 'dir? .
Ark tanımının gösterilmesi
(Resim kaynağı:
Yukarıda bahsedilen karşılıklı hareket mi yoksa tekdüze dairesel hareket mi olduğunu açıkladığımızda, hareketin durumunu benzersiz bir şekilde belirlemek için sadece üç miktar gereklidir.
Düzgün bir dairesel hareketi tanımlamak için, dairesel hareket yörüngesinin boyutunu (yani yarıçap veya genlik); dairesel hareketin hızını (yani açısal hız veya frekans) ve hareketin başlangıç konumunu (yani başlangıç faz açısı), iki sinyalin başlangıç konumunu bilmeniz gerekir. Aradaki açı farkı da denir Faz farkı .
(Resim kaynağı: daha iyi açıklanmış)
Formül şu şekilde ifade edilir:
Bunlar arasında, A sinüs dalgasının genliğidir, açısal hız veya açısal frekanstır, başlangıç fazı açısı, t zamandır ve dönüş açısıdır.
Daha sonra, tüm dairesel hareketleri (veya salınan sinyalleri) birleştirerek elde edilen zaman içindeki konum değişikliği bizim son sinyalimizdir. Bu, ham maddelerden son "turuncu muzlu sütlü smoothie" elde etme sürecine benzer.
Benzer şekilde, tersine çevrilirse, Fourier serisi herhangi bir periyodik sinyali bir dizi basit salınım sinyaline (sonsuz elemanlardan oluşsa bile) ayrıştırabilir.
Etkiyi ve izleyiciyi göstermek için burada olabildiğince az formül var ve sadece üç ortak ve basit sinyal ayrıştırma ve sentez işlemi verilmiştir.Bu üç sinyal kare dalga, testere dişi dalga ve üçgen dalgadır. Bu üç sinyalin ortak bir yönü vardır: hepsinin nedeni sayısız Bir Faz farkı yok (ilk faz açısının sıfır olduğu varsayılarak) Ve Harmonik ilişki nın-nin Sinüs dalgası Oluşturulmuş Periyodik sinyal.
01
Fang Bo
Kare dalga aynı zamanda dikdörtgen dalga olarak da adlandırılır, ancak bu "kare" sinyal gerçekten de sonsuz sayıda sinüzoidal sinyale ayrıştırılabilir. Aşağıdaki şekil, kare dalganın Fourier serisinin ilk 50 teriminin üst üste binme sürecini göstermektedir Terim sayısı artmaya devam ederse, sonunda kare dalgaya yaklaşacaktır.
(Resim kaynağı: 1ucasvb)
Kare dalgayı oluşturan sinyallerin tamamı sinüs sinyaller olsa da bu sinüs sinyalleri arasında belirli koşulların karşılanması gerekir. Bir kare dalgayı oluşturan sinüs sinyalleri dikkate alındığında, kare dalga aşağıdaki formülle ifade edilebilir, burada n tek sayıdır:
Burada temel frekans olarak adlandırılır ve 3, 5, n vb. All'nin tam sayı katlarıdır. Temel frekanstan daha büyük olan ve temel frekansın tam sayı katları olan bu bileşenlere harmonik . Bir kare dalga için, temel dalganın her çift sayılı harmoniğinin genliği sıfırdır. Bu harmonik bileşenler kare dalgayı oluşturan hammaddelerdir.
Burada, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi "frekans alanı" kavramı tanıtılmaktadır.
Üstteki siyah çizgi, dikdörtgen dalgaya yaklaşan şekil olan tüm sinüs dalgalarının toplamıdır. Aşağıdaki farklı renklerde düzenlenmiş sinüs dalgaları, birleştirilmiş dikdörtgen dalganın bileşenleridir. Bu sinüs dalgaları, frekansta düşükten yükseğe doğru önden arkaya düzenlenmiştir ve her dalganın genliği yukarıdaki sentez formülünü karşılar. Her iki sinüs dalgası arasında bir bölme çizgisi olmayan, ancak genliği sıfır olan çift sayılı bir harmonik olan düz bir çizgi vardır.
Eğer fazı önemsemiyorsanız veya tüm sinüs dalgaları arasındaki faz farkının sıfır olduğunu varsayıyorsanız, şeklin yönüne bakın, zaman alanındaki kare dalga sinyali Frekans alanı . Bir önceki kare dalga sinyalinin yatay ekseni zaman ekseni olduğundan ve frekans alanında, yatay eksen frekanstır. Bu şekilde, zaman alanındaki bir dizi zamanla değişen sinüzoidal sinyal, frekans alanında bir dizi ayrık nokta olarak temsil edilir. Frekans alanındaki her bir ayrık noktanın apsisi, bir harmonik frekansı temsil eder ve ordinatı, frekansın harmoniğine karşılık gelen titreşim genliğini temsil eder.
(Resim kaynağı: Wikipedia)
Yukarıdaki şekil, yaklaşık kare dalganın s (x) (kırmızı) fonksiyonunun, harmonik ilişkinin altı farklı genliğinin sinüs fonksiyonlarının toplamı olduğunu göstermektedir. Bunların toplamına Fourier serisi denir. Fourier dönüşümü S (f) (mavi), 6 frekansı ve bunlara karşılık gelen genlikleri gösteren, genliği ve frekansı çizer. Fourier dönüşümü, sinyali zaman alanından frekans alanına dönüştürür.
Sentez sürecine başka bir açıdan bakalım. Daha önce belirtildiği gibi, bir sinüs dalgası, düz bir çizgi üzerindeki dairesel bir hareketin izdüşümüdür. Frekans alanındaki her ayrık nokta, her zaman bir daire etrafında dönen bir nokta olarak da anlaşılabilir. Bu noktaların dönme hızı, her bir harmoniğin frekansına karşılık gelir ve dönüş yarıçapı, her bir harmoniğin genliğine karşılık gelir. Bu harmonikler üst üste geldiği sürece, son sinyal elde edilebilir.
(Resim kaynağı: Wikipedia)
(Resim kaynağı: https://bl.ocks.org/jinroh/7524988)
02
Testere dişi dalgası
Testere dişi dalgasını oluşturan sinüs sinyali dikkate alındığında, testere dişi dalgası aşağıdaki formülle ifade edilebilir ve n, pozitif bir tam sayıdır:
Aşağıdaki şekil, testere dişi dalgasının Fourier serisinin ilk 50 teriminin üst üste binme sürecini göstermektedir Terim sayısı artmaya devam ederse, sonunda testere dişi dalgasına yaklaşacaktır.
(Resim kaynağı: 1ucasvb)
Dairesel hareket perspektifinden, üst üste binme işlemi aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:
(Resim kaynağı: Wikipedia)
(Resim kaynağı: https://bl.ocks.org/jinroh/7524988)
03
Üçgen dalga
Üçgen dalga için, yukarıdaki ikisine benzer şekilde, aşağıdaki şekil, üçgen dalganın Fourier serisinin ilk 25 teriminin üst üste binme sürecini göstermektedir.Temlerin sayısı artmaya devam ederse, sonunda üçgen dalgaya yaklaşacaktır.
(Resim kaynağı: 1ucasvb)
Dairesel hareket perspektifinden, üst üste binme işlemi aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:
(Resim kaynağı: https://bl.ocks.org/jinroh/7524988)
sonuç olarak
Yukarıdaki örnekte, Dirichlet'in koşulunu karşılayan periyodik bir sinyal için, harmonik bir ilişki oluşturan sinüzoidal bir sinyale ayrıştırılabileceğini veya periyodik sinyalin bir Fourier kümesi elde etmek için Fourier dönüştürülebileceğini görebiliriz. Yaprak serisi.
Periyodik sinyaller için çeşitli bileşenlerin harmonik ilişki içinde olduğu bilindiğinden, frekans bileşenleri belirlenir. Bu nedenle, faz farkını dikkate almadan, sorunun anahtarı, harmonik bir ilişkisi olan bu sinüzoidal sinyallerin nasıl elde edileceğidir. katsayı (Başka bir deyişle, harmoniklerin genliği her bir bileşenin boyutudur). Fourier dönüşümü formülü bize bu sorunu çözmenin bir yolunu verir. Bu makalenin başındaki formül budur. Analiz edilecek periyodik sinyal x (t) 'den, burada bulunan harmonik bileşenlerin genliği k entegrasyonla elde edilebilir ve orijinal periyodik sinyal tüm bu frekans bileşenlerinin eklenmesiyle yeniden oluşturulabilir.
Anlama kolaylığı için, bazı insanlar Fourier serisini çözmek için aşağıdaki formülü kullanır:
(Resim kaynağı: daha iyi açıklanmış)
Karmaşık üstel sinyalin burada sinüs sinyalini temsil etmek için kullanıldığına dikkat edin. Bunlar aynı zamanda birbirine dönüştürülebilen iki ifadedir. Aşağıdaki şekle bakın veya bakın: "Tanrı'nın formülü" gerçekten dokunulmaz mı? .
(Resim kaynağı: daha iyi açıklanmış)
Sonuna yaz
Bu makaleyi yazmanın asıl amacı, sadece Fourier dönüşümü fikrini özetlemekti. Ama daha sonra pek çok iyi resim ve dinamik gösterim buldum.Ayrıca, görünüşte derin olan bu matematiksel teoriyi, pek çok kanıt ve formül olmaksızın ve daha sezgisel bir anlayış olmadan en samimi şekilde ifade etmek istedim. Yanlış bir şey varsa lütfen belirtin, ancak lütfen bardan çekilin.
. Seviye sınırlı ve iyi düşünmedin, lütfen beni affet.
SON
Fourier Dönüşümü İçin Etkileşimli Bir Kılavuz, https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/
Joseph Fourier, https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier
Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky. Sinyaller ve sistemler. Prentice-Hall, 2. baskı, 1997.
D3 ile Fourier serisi görselleştirme, https://bl.ocks.org/jinroh/7524988
Fourier serisi aracılığıyla kare, testere dişi ve üçgen dalgaların toplamsal sentezi,
Fourier serisi, https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
Önerilen Kaynaklar
Orijinal metni okumak için makalenin sonuna tıklayın, arka plana girin: Hazine sandığı Aşağıdaki önerilen makaleleri görüntüleyin
İlginç matematik
Matematiksel formül, zeki insanların başarılı olmasının neden zor olduğunu söyler
Matematiğin ilginç güzelliği
Bilgisayarın Babası: Matematik Ustası Von Neumann
20. yüzyılın en büyük 10 algoritması ve önemi
Fourier dönüşümünü herhangi bir matematik formüle bakmadan açıklayın
Dünyadaki yedi büyük matematik problemi
Dünyayı yöneten on algoritma
Dünyadaki en büyük on formül
Maxwell denklemlerini basit bir şekilde açıklayın
Matematik Tarihi: Kalkülüsün İcadı ve Değişken Matematiğin Devleri
Şifreleme algoritmasına giriş ve RSA algoritmasının ayrıntılı açıklaması
Sinyal ve sistemde zaman alanı ile frekans alanı arasındaki ilişki
Dünyayı değiştiren 17 denklem
Matematiksiz hayat yoktur - matematiğin tam bir yaşamla ilgili olduğu ortaya çıktı!
Kızları kovalamaktan füzeleri bulmaya kadar, bu matematiğin cazibesi!
Dalgacık, mükemmel popüler yorumu dönüştürür
Matematiğin güzelliği: sıradan ve büyülü Bayes yöntemi
Matematik tarihinde üç kriz
Matematikte Yaşam Felsefesi
Devreler ve matematiksel diyagramlarla yaşamı ve toplumu gösterin
Matematiksel sabit e'nin anlamı
Kalman filtresinin derinlemesine açıklaması
İlginç matematik: negatifler neden pozitiftir?
Taylor serisinin fiziksel anlamı
Matematiksel Formülü Seviyorum
22 büyülü ve ilginç matematiksel animasyon
21 GIF animasyonu, matematiksel ilkeleri saniyeler içinde anlamanızı sağlar
Sonsuzluğun getirdiği çeşitli paradokslar
Kimsenin çözemeyeceği 5 "basit" matematik problemi
Matematikçiler neden asal sayılara bu kadar takıntılı?
Bilgisayar algoritmaları dünyasındaki en büyük on usta
Matematikçi: Asal sayıların dağılımı düzenli
Çin matematiğinin parlak "büyük çağı"
Usta size matematik çalışmanın ne işe yaradığını söyler
Von Neumann: Matematik Üzerine
Altı büyük "matematik pisliği" bilim adamı
MIT ustaları matematiksel sistemi açıklıyor
Bilgisayar bilimindeki en önemli 32 algoritma
Bilim adamları beyin hesaplamasının temel algoritmasını keşfetmiş olabilirler: N = 2 ^ i-1
Makine öğrenimi algoritmalarının karşılaştırılması
Korkunç ve ilginç matematik hikayesi - uzun zaman önce, Lagrangian'ın parıltısı altında, birkaç şehir vardı ...
