Bilgisayar hala harika ve yüzlerce yıllık matematik problemlerini çözdü!
Matematikte hiçbir araştırmacı gerçekten izole bir ortamda çalışmaz. Tek başına çalışanlar bile yeni fikirler geliştirmek için meslektaşlarının ve öncüllerinin teorilerini ve yöntemlerini kullanacaklar. Bununla birlikte, bilinen bir tekniğin pratikte kullanılması çok zor olduğunda, matematikçiler bazı önemli (veya çözülebilir) problemleri gözden kaçırabilir.
(Daire kartı buraya eklendi, lütfen görüntülemek için Toutiao istemcisine gidin)Son zamanlarda, bu tekniğin kullanımını kolaylaştırmak için birkaç matematikçiyle bir projeye katıldım. "S-birim denklemi" adı verilen bir problemi çözmek için bir bilgisayar programı paketi hazırladık. Her tür sayı teorisyeninin matematikteki çeşitli çözülmemiş problemleri daha kolay çözebileceğini umuyoruz (aşağıdaki Şekil 1, Çin'i göstermektedir) Süper bilgisayar Tianhe-2).
Diophantine denklemi
Matematikçi Diophantus, "Aritmetik" adlı kitabında, çözümleri tamsayı olması gereken cebirsel denklemleri inceledi. Olduğu gibi, bu problemlerin sayı teorisi ve geometri ile çok ilgisi var ve matematikçiler o zamandan beri bunları inceliyorlar. Neden sadece tamsayı çözümlerinin kısıtlamasını ekleyelim? Bazen nedeni pratiktir 13.7 koyun yetiştirmek veya -1.66 araba almak mantıklı gelmez. Ek olarak, matematikçiler şimdi Diophantine denklemleri olarak adlandırılan bu problemlerden etkilendiler. Bu cazibe, şaşırtıcı zorluklarından ve matematiğin özünün temel gerçeklerini açığa çıkarma yeteneklerinden kaynaklanmaktadır. Aslında, matematikçiler genellikle Diophantine problemlerine özel çözümlerle ilgilenmezler. Ancak matematikçiler yeni teknolojiler geliştirdiklerinde, güçleri daha önce çözülmemiş Diophantine denklemlerini çözerek kanıtlanabilir. Andrew Wilesin Fermatın son teoreminin kanıtı ünlü bir örnektir.
- Matematikçi Diophantus, "Aritmetik" te cebirsel denklemler üzerinde çalıştı.Bu denklemlerin çözümleri tamsayı olmalıdır. Şekil, "Aritmetiğin" kısa bir paragrafıdır. Resim: Diophantus
Pierre de Fermat, 1637'deki "hızlı bir hesaplamada", Diophantine denkleminin x + y = z çözüldüğünü, ancak bunun bir nedeni olmadığını iddia etti. Wiles bunu 300 yıldan fazla bir süre sonra kanıtladığında, matematikçiler hemen fark etti. Wiles, Fermat'ın problemini çözebilecek yeni bir fikir ortaya çıkarsa, bu fikir başka ne yapabilir? Sayı teorisyenleri, Wiles'ın yöntemini anlamak, genelleştirmek ve yeni sonuçlar keşfetmek için çabalıyorlar. Tüm Diophantine denklemlerini çözmenin tek bir yolu yoktur. Aksine, matematikçiler, her biri belirli bir Diophantine problemine uygulanabilir, diğerlerine değil, çeşitli teknikler geliştirdiler. Bu nedenle, tıpkı biyologların türleri taksonomiye göre sınıflandırması gibi, matematikçiler de bu sorunları özelliklerine veya karmaşıklıklarına göre sınıflandırırlar.
Daha ayrıntılı sınıflandırma
Bu sınıflandırma uzmanlar üretmiştir çünkü farklı sayı teorisyenleri, eliptik eğriler, ikili formlar veya Touré-Mahler denklemleri gibi farklı Diofant problemleri kümeleriyle ilgili tekniklerde uzmanlaşmıştır. Her kategoride daha rafine kategoriler özelleştirilebilir. Matematikçiler, aynı ailedeki farklı denklemleri ayırt etmek için değişmezler (denklemlerde görünen belirli katsayı kombinasyonları) geliştirdiler. Belirli bir denklem için bu değişmezleri hesaplamak kolaydır. Bununla birlikte, diğer matematiğin alanlarıyla daha derin bağlantılar, aşağıdaki gibi daha zorlu soruları içerir: Değişmez 13 ile eliptik bir eğri var mı? Veya "Kaç ikili formun değişmezleri vardır 27? S birim denklemi birçok büyük problemi çözmek için kullanılabilir. S, {2,3,7} gibi belirli bir problemle ilgili asal sayıların bir listesini temsil eder. S birimi bir kesirdir, o Payı ve paydası, listedeki sayılarla çarpılır.
- Andrew Wiles (sağda), Fermat'ın son teoremine yaptığı çözüm için Wolfskill Ödülü'nü aldı. Fotoğraf: Peter Mueller / REUTERS
Bu durumda, 3/7 ve 14/9 s birimleridir, ancak 6/5 değildir. S-birimi denkleminin ifadesi basit görünüyor: tüm s-birimi çiftlerini artı bir bulun. (3/7, 4/7) gibi bazı çözümler bulun, bunu kalem ve kağıtla yapabilirsiniz. Ama anahtar kelime "hepsi" dir, bu da problemi teorik ve hesaplamalı olarak çok zorlaştırır Tüm çözümlerin bulunduğundan nasıl emin olabiliriz? Teorik olarak, matematikçiler s-birimi denkleminin nasıl çözüleceğini birkaç yıldır biliyorlar. Bununla birlikte, süreç o kadar karmaşık ve karmaşıktır ki, hiç kimse bu denklemi elle çözemez ve birkaç dava çözülmüştür. Bu sinir bozucu çünkü birçok ilginç problem, birimlerde belirli bir denklemi "sadece" çözmeye indirgenmiştir.
Bilgisayar çözücü çalışması
Ancak durum değişiyor. 2017'den beri, ben de dahil olmak üzere altı Kuzey Amerikalı sayı teorisi uzmanı, açık kaynaklı matematik yazılımı SageMath için bir S-birimi denklem çözücü geliştiriyor. 3 Mart 2019'da projenin tamamlandığını duyurduk. Uygulamasını göstermek için, bazı açık Diophantine problemlerini çözmek için bu yazılımı kullanın. S-birimi denkleminin temel zorluğu, sadece birkaç çözüm olmasına rağmen, bir çözümün parçası olabilecek sonsuz sayıda s-biriminin olmasıdır. İyi bilinen Alan Baker teoremini ve Benne de Weger'in ince algoritma tekniğini birleştirerek, çözücü çoğu s birimini dikkate almaktan çıkarır. Bu noktada bile, kontrol edilecek milyarlarca s-birimi (veya daha fazlası) olabilir.
- S-birimi denklemini çözme süreci çok karmaşıktır ve neredeyse hiç kimse bunu manuel olarak çözmeye çalışmamıştır. Fotoğraf: hand. Jat306 / shutterstock
Program şimdi son aramayı olabildiğince verimli hale getirmeye çalışıyor s-birim denklemini hesaplamanın bu yöntemi 20 yıldan daha uzun bir geçmişe sahiptir, ancak hesaplama süreci karmaşık ve zaman alıcı olduğu için nadiren kullanılır. Geçmişte, bir matematikçi çözmek istediği bir s-birimi denklemiyle karşılaştıysa, otomatik bir çözüm yoktu. Baker, Deweger ve diğerlerinin çalışmalarını dikkatlice tamamlamalı ve ardından hesaplamaları yapmak için kendi bilgisayar programını yazmalıdır. Hesaplamayı tamamlamak için programı çalıştırmak saatler, günler ve hatta haftalar alabilir. Son olarak, bu yazılımın matematikçilerin sayı teorisindeki önemli problemleri çözmelerine yardımcı olabileceğini ve matematiğin doğası, güzelliği ve etkililiği konusundaki anlayışlarını geliştirebileceğini umuyoruz.
Brocade Park - Bilim Popüler Bilim | Yazar: (Wesleyan Üniversitesi Matematik Bölümü Doçenti) Christes Rasmussen
Gönderen: The Conversation
Brocade Park - Evren Biliminin Güzelliğini Sunuyor
(Daire kartı buraya eklendi, lütfen görüntülemek için Toutiao istemcisine gidin)Sol alt köşede Daha fazla bilgi edinin Boke Garden uygulamasını indirin
