Bu ilginç çarpışma deneyinde Pi'nin sırrı gizlidir
Yukarıdaki resimde gösterildiği gibi iki küçük topla basit bir deney yapın. Sağdaki A topu sola doğru hareket etmeye başlar. Soldaki B topu hala ilk baştaydı. Çarpışmadan sonra, B de hareket etmeye başlar ve duvara dokunduğunda tersine döner ve sağa doğru hareket eder.
Tekrar tekrar, kaç tane çarpışmanın durması gerekiyor?
Bu bizi en ilginç yere getiriyor:
A'nın kütlesi B'ninkinin 100 katı ise, 31 çarpışma gerekir;
A'nın kütlesi B'ninkinin 10.000 katı ise, 314 çarpışma gerekir;
A'nın kütlesi B'ninkinin 1.000.000 katı ise, 3141 çarpışma gereklidir;
A'nın kütlesi B'ninkinin 100 milyon katı ise, 31.415 çarpışma gereklidir;
...
Bunu görünce, Pi var Pi'nin yaklaşık değeri: 3.1415, yukarıdaki sayı ile eşleşiyor.
Peki pi nereden geliyor?
Fizikçi Richard Feynman formülde Pi'yi gördüğünde sık sık sordu: "Daire nerede?"
Bu soru için bir bakalım, çember nerede?
Bu problemde iki korunmuş büyüklük vardır: enerji ve momentum ve daire enerjinin korunumundadır.
Önemli olan tekrar tekrar edilir: çember enerjinin korunumundadır!
İki küçük topun enerji tasarrufu ifadesi aşağıdaki gibidir:
Kütle olarak eşitlerse, tüm olası (V_A, V_B) çiftleri bir çember üzerindedir.
Ya kalite eşit değilse? Yeni bir miktar tanımlıyoruz:
Bu şekilde, enerji tasarrufu ifadesi şu hale gelir:
Herhangi bir zamanda bu bir çemberdir.
Bu kadar
İki küçük topun çarpışmadan önceki ve sonraki durumunu belirtmek için çok sayıda nokta kullanırsak, bunlar bu yeşil daire üzerinde olmalıdır.
Başlangıçta B topu hareket etmiyor, A topu hareket ediyor, ardından mevcut durum nokta 0 ile gösterilebilir.
Sonra A ve B çarpışır. Şu anda, momentumun korunumunu göz önünde bulundurmalıyız:
Şu anda, \ ce_A ile ilgili bir ifademiz var:
Aşağı doğru eğimli düz bir çizgidir. Başlangıçta bu çizgi 0 noktasını kesiyor ve onunla yeşil top arasındaki kesişme noktasını buluyoruz. Bu nokta ilk çarpışmadan sonraki durumdur. Lütfen şu resme bakın:
İlk çarpışmadan sonra sistem 1 puan olur. Daha sonra B topu önce duvara çarpmalı, hız tersine dönmeli, sonra 2 puana ulaşacaktır.
Şu anda, önceki çalışmayı tekrarlıyoruz: aşağı doğru eğimli ve aynı eğimli düz bir çizgi çizin:
Bunu tekrarlayarak çizim yöntemi ile 8 çarpışma noktasının sistem durumunu elde ettik. Sistemin sonunda, hem A hem de B topları sağdadır ve A'nın hızı B'nin hızından daha fazladır. Şu anda sistemde yeni bir çarpışma olmayacaktır.
Tamam, bunun Pi ile ne alakası var?
Aşağıya doğru eğimli düz çizgiye bir göz atalım:
M_A > > M_B olduğunda, bu doğrunun eğimi 1'den çok daha azdır. Aşağıdaki şekle göre = 2 olduğu geometrik ilişkiden anlaşılabilir.
Rastgele seçilen A noktası için, ters B noktasına sahibiz ve A'dan saat yönünde döndürerek elde edilen C noktasına sahibiz.
Amacımız ifadesini bulmak. = k ise sorun çok, çok basit ve çok, çok harika!
Geometrik ilişkiye göre BC konumu belirlendikten sonra çember üzerindeki herhangi bir A noktasının açısı değişmez, o zaman = 2 elde etmek kolaydır.
Bu noktada soru son derece açık!
Her iki çarpışma, çemberi = 2 derece döndürmeye eşdeğerdir ve bu açı yalnızca AB kütle oranıyla ilgilidir. Başka şeylerle ilgisi yok.
Şu anda, 2Pi açısı için m_A = 100,000,000m_B (10 ^ 8 m_B), sonra sqrt (m_B / m_A) = 10 ^ 4 yerine, döndürmemiz gerekiyor:
Bu 31.415 çarpışmaya tekabül ediyor!
Q.E.D
