Şaşırtıcı bağlantı: Einstein ve
Her 14 Mart, bilim severler tarafından kutlanan bir festivaldir. Her şeyden önce, bu gün Einstein'ın doğum günü (140. doğum günü); ikincisi, Pi'nin günü, çünkü 3.14, takvimimizdeki en yakın pi'nin ondalık açılımıdır ( = 3.1415927 ...).
Hem Einstein hem de Pi, bilim ve matematikte önemli bir rol oynar. Ama ikisi arasında daha yakın bir bağlantı var mı?
Tabii ki, sadece Einstein'ın denklemine bakmamız gerekiyor. Burada, iyi bilinen E = mc²'den değil, "gerçek" Einstein denkleminden bahsediyorum (bu, temel bir ilişki değil, özel görelilik teorisinin çok basit bir sonucudur). Sözde gerçek Einstein denklemi, herhangi bir iyi genel görelilik ders kitabının dizininde "Einstein denklemi" ni aradığınızda bulacağınız denklemdir. Uzay-zaman eğriliğini ve bir enerji kaynağını birbirine bağlayan bir alan denklemidir ve genel göreliliğin temel denklemidir. Şöyle görünüyor:
Bu sembollere aşina değilseniz, bu denklem karşısında şok olabilirsiniz ama kavramsal olarak çok basit; bu sembolleri bilmiyorsanız, onu yabancı bir dilde küçük bir şiir olarak düşünebilirsiniz. Şöyle diyor:
(Yerçekimi) = 8G × (enerji ve momentum)O kadar korkutucu değil, değil mi? Yerçekiminin büyüklüğü, enerji ve momentumun büyüklüğü ile orantılıdır Orantılılık sabiti 8G ve G sayısal bir sabittir.
Eh? ! burada ne yapıyor? Biraz anlaşılmaz görünüyor. Einstein yeni bir H sabitini açıkça tanımlayabilir ve sonra H = 8G olmasına izin verebilir.Daha kısa bir denklem elde edemez miydik? için bir tür özel sevgisi var mı, örneğin doğum günü olduğu için?
Gerçek hikaye o kadar tuhaf değil, ama daha ilginç. Einstein'ın yeni bir sabit icat etmek istememesinin nedeni, G'nin zaten var olması, Newton'un kütleçekim sabiti, yani bu mantıklı. Genel Görelilik Newton'un evrensel çekim teorisinin yerini alsa da, yine de yerçekimidir ve gücü öncekiyle aynıdır.
Öyleyse asıl soru, Newton kütlesel çekimden genel göreliliğe geçiş yaptığımızda neden a ortaya çıkıyor?
Ünlü ters kare yasası olan Newton'un yerçekimi denklemine bir göz atalım:
Aslında yapısı Einstein'ın denklemine benzer: Solda iki nesne arasındaki çekim kuvveti ve sağda bu iki nesnenin m ve m kütlelerinin yanı sıra yerçekimi sabiti G'yi bulabiliriz. (Newton için kütle, yerçekiminin kaynağıdır; Einstein, kütlenin yalnızca bir tür enerji olduğunu keşfetti. Yerçekimi kaynağını her tür enerji ve momentuma yükseltti.) Elbette ikiye bölmek zorundayız. Nesneler arasındaki mesafenin karesi r. Bununla birlikte, formülün tamamında görünmez.
Bu, fizikte büyük bir denklemdir ve bilim tarihindeki en etkili denklemlerden biridir. Ama aynı zamanda en azından felsefi açıdan kafa karıştırıcıdır. Uzaktan hareketle ilgili bir hikaye anlatır - iki nesne, araya giren herhangi bir madde olmadan büyük bir mesafeden birbirlerine çekim yapar. Newton bunun kabul edilemez bir durum olduğunu düşündü, ancak iyi bir cevap vermedi:
Yerçekimi doğal, özünde ve maddeye temel olmalıdır, böylece bir nesne, araya giren herhangi bir madde olmadan başka bir nesneye kuvvet uygulamak için bir boşlukta bir mesafeden geçebilir. Bu mesafe boyunca, eylemleri ve kuvvetleri birinden diğerine aktarılabilir. Benim için bu çok büyük bir saçmalık ve felsefi düşünme yeteneğine sahip hiçbir fakültenin buna ikna olamayacağına inanıyorum.Ancak bu sorunu çözmenin bir yolu var. Bu, odağı yerçekiminden (F) yerçekimi potansiyel alanına () kaydırmaktır, kuvvet yerçekimi potansiyel alanından türetilebilir. Uzay, yerçekimi potansiyel alanıyla doludur ve her noktanın kendine özgü bir değeri vardır. M kütleli tek bir nesnenin yakınında, yerçekimi potansiyel alanı şu şekilde verilir:
Bu denklem, orijinal Newton denklemine çok benzer. Mesafenin karesiyle değil, mesafeyle ters orantılıdır çünkü doğrudan yerçekimi değildir; kuvveti alanın türevinden (eğiminden) türetebiliriz ve türetme 1 / r'yi 1 / r²'ye çevirir.
Bu iyi, çünkü garip uzun mesafe davranışını tüm alanı dolduran bir alanla değiştirdik, çok hoş bir mekanik konsept. Yine de görmemiş olsak da .
Ancak bu denklem bize sadece M kütlesinde bir nesne olduğunda ne olduğunu söyler. Ya her biri kendi çekim alanına sahip çok sayıda nesne varsa veya o nesnenin etrafına dağılmış gaz veya sıvı varsa? Daha sonra, genellikle Yunanca harfiyle temsil edilen, kütle yoğunluğu veya birim hacim başına kütle hakkında konuşmamız gerekir. Gerçekte, yerçekimi alanını uzaydaki herhangi bir kütle yoğunluğuna bağlayabilen bir denklem vardır, buna Poisson denklemi denir:
Denklemde, ters üçgen sembolü gradyan operatörünü temsil eder (burada kare, Laplacian operatörü anlamına gelir); bu, alanın uzayda nasıl değiştiğini açıklamanın kendine özgü üç boyutlu bir yoludur (vektör Türev). Ama daha ilginç olanı, denklemin sağ tarafında görünmesidir! Bu nasıl gidiyor?
Tabii ki, çok teknik bir matematiksel açıklaması var ama aynı zamanda kaba bir fiziksel açıklaması da var. Newton denkleminde veya yerçekimi potansiyel alan denkleminde, başlangıçta bir nesnenin r mesafesindeki yerçekimi etkisine odaklandık Şimdi, evrendeki tüm etkileri biriktirmeliyiz. Daha sonra bu "biriktirme" (yani entegrasyon) süreci iki adıma bölünebilir: 1. Belirli bir sabit noktadan r mesafesindeki tüm efektleri toplayın, 2. Tüm mesafelerin etkilerini toplayın. İlk adımda, sabit bir konumdaki (r) tüm noktalar, bu konuma ortalanmış bir küre tanımlar. Yani aslında bir küre boyunca etkileri topluyoruz. Küresel alan formülü şöyledir:
Neredeyse çok açık görünüyor, ama cevap bu. Newton denklemi yerine Poisson denkleminde görünmesinin nedeni, Newton'un iki belirli nesne arasındaki kuvvetle ilgilenmesidir ve Poisson bize her yere yayılan maddenin yoğunluğunun bir fonksiyonu olarak yerçekimi potansiyelini nasıl hesaplayacağımızı söyler. . Ve üç boyutlu uzayda, "her yer", "bir küre üzerindeki tüm alanlar" anlamına gelir ve sonra "her bir küreyi ekle". (Küreler belirli bir noktadan sabit bir mesafeyi tanımladığından ve yerçekimi mesafeye bağlıdır.) Ve bir kürenin alanı bir dairenin çevresi ile aynıdır ve orantılıdır. .
Ya Einstein? Newton yerçekimi çağına geri dönersek, yerçekimi potansiyel alanını kullanmak genellikle uygun bir seçimdir, ancak aslında gerekli değildir; teoride, yerçekimini her zaman doğrudan hesaplayabiliriz. Ancak Einstein genel göreliliği önerdiğinde, alan kavramı mutlak çekirdek haline geldi. Hesapladığımız şey yerçekimi değil (aslında genel görelilikte yerçekimi gerçek bir "kuvvet" değildir), uzay-zamanın geometrisidir. Metrik tensör alanı tarafından sabitlenir ve yerçekimi potansiyel alanı dediğimiz şeyin bir alt kümesini içeren karmaşık bir canavardır. Einstein'ın denklemine doğrudan benzeyen, Newton'un denklemi değil, Poisson denklemidir.
Einstein ve Pi arasındaki ilişki budur. Einstein, yerçekimini bireyler arasındaki doğrudan etkileşim olarak ele almaktan ziyade, alanın yerçekimini en iyi şekilde tanımlayabileceğini keşfetti Alanın yerel bir nesneye bağlanması, bir kürenin yüzeyinin integralini içerir ve kürenin yüzey alanı ile orantılıdır. Ve o gün doğum gününü kutladı, ki bu mutlu bir kazaydı.
Yazan: Sean Carroll
Çeviri: Meng Da Commander
Bu makale, orijinal bağlantı Sean Carroll tarafından yetkilendirilerek çevrilmiştir:
