Bayes Teoremi: Neredeyse her gün kullandığımız matematiksel bir araç
Dünya görüşümüz ve bundan kaynaklanan davranışlar genellikle basit bir teorem tarafından yönlendirilir. 150 yıldan daha uzun bir süre önce, bunun nedeni içe dönük bir İngiliz matematikçi ve ilahiyatçıydı. Thomas Bayes (Thomas Bayes) Sessizce tasarlandı ve ölümünden sonrasına kadar yayınlamadı.
Bayes teoremi En ünlü uygulamalardan biri, II.Dünya Savaşı sırasında Nazileri kırmak için kullanılan Enigma şifresidir. Bugün teorem bilim, teknoloji, tıp vb. Alanlarda yaygın ve derin bir şekilde uygulanmaktadır.
Ama Bayes teoremi nedir? O nasıl çalışır?
Bayes teoremi
Thomas Bayes'in anlayışı çok özlü. Bir hipotezin doğru olma olasılığı iki kritere bağlıdır:
Mevcut bilgiye göre ("a priori"), makul olup olmadığına karar verin;
Yeni kanıtlara ne kadar uyduğunu değerlendirin.
Bununla birlikte, Bayes'in ölümünden sonraki 100 yıldan fazla bir süre içinde, bilim adamları genellikle hipotezlerini yalnızca yeni kanıtlar kullanarak değerlendirirler. Bu, çoğumuzun fen derslerinde aldığı gelenek varsayımsal test (Sık görüşenler) Yöntem eğitimi. Mantıksız bir açıklama yeni bir kanıt parçasıyla mükemmel bir şekilde örtüştüğünde, Bayes'in teoremi ile frekanscı yaklaşım arasındaki fark özellikle açıktır.
Önce bir hipotez yapalım:
"Ay peynirden yapılmıştır!"
Mantıksız bir varsayım. (Resim kaynağı: Mike Lee)
Sonra yıldızlı gökyüzüne baktık ve ilgili yeni kanıtları topladık ve ayın renginin peynir sarısı olduğunu gördük. Geleneksel hipotez testi çerçevesinde, yeni kanıtın vahşi hipotezimizle tutarlı olduğu ve böylece hipoteze olan güvenimizi artırdığı sonucuna varacağız.
Geleneksel hipotez test yöntemi (sık yöntem) yalnızca bir hipotezin yeni kanıtlara uygunluğunu dikkate alır. (Resim kaynağı: Mike Lee)
Ancak Bayes'in teoremini kullanırsanız, daha temkinli sonuçlar elde edersiniz. Bu hipotezin yeni kanıtlarla uyumlu olmasına rağmen, bu fikrin başından beri son derece saçma olduğunu, kozmoloji ve mineraloji hakkındaki tüm bildik bilgilerimizi ihlal ettiğini fark edeceğiz. Bu nedenle, ayın peynir olma olasılığı (yani bu iki değerlendirmenin ürünü) hala çok düşüktür.
Bayesçi akıl yürütme, hipotezin mevcut bilgiyi ne ölçüde karşıladığını ve yeni kanıtlarla ne ölçüde karşılaştığını dikkate alır. Basit olması için normalleştirme sabiti formülden çıkarılmıştır. (Resim kaynağı: Mike Lee)
Elbette bu sadece uç bir örnek. Hiçbir ciddi bilim adamı böylesine saçma bir hipotezi test etmeye çalışmayacaktır. Bununla birlikte, dünyanın dört bir yanındaki bilim adamları sürekli olarak çok sayıda hipotezi değerlendiriyor ve bunlardan bazıları oldukça zor.
Örneğin, 2010 yılında yapılan bir çalışma başlangıçta şunu göstermiştir:
"Ilımlı siyasi görüşlere sahip insanlar daha gri görebilir."
Daha sonra, bu hipotez daha fazla test edildikten sonra reddedildi ve araştırmacılar bunun inandırıcı olmadığını anladılar. Bununla birlikte, birçok benzer çalışmanın aceleyle kabul edildiği neredeyse kesindir.
[Hayatta Bayes yöntemi]
Önceki deneyimleri, bellekte biriktirilen bilgileri ve bilinçten çıkarılan yeni kanıtları kullanarak, günlük şeylerin olasılığını tahsis eder ve yönetiriz.
Hayatta basit bir olay verin: bir cep telefonuna cevap vermek. Genellikle işyerinde masanıza koyarsınız ve evdeki şarj cihazına koyarsınız. Şimdi küçük bahçenizdeki çiçekleri suluyorsunuz ve evde telefonun çaldığını duyuyorsunuz. Yeni veriler size içeride herhangi bir yerde olduğunu söyleyecek, ancak yine de doğrudan şarj cihazına yürüyeceksiniz. Çünkü yerini belirlemek için telefonun konumuna ilişkin önceki bilgilerinizi (genellikle masa üstünde veya evde şarj cihazında) yeni kanıtlarla (evin herhangi bir yerinde) birleştirirsiniz.
Telefon şarj cihazında değilse, aramayı daraltmak için telefonu nereye yerleştirdiğinizle ilgili bilginizi artıracaksınız. Evdeki buzdolapları, çorap çekmeceleri gibi çoğu yeri görmezden geleceksiniz, çünkü bu yerler önceki bilgilerinize göre son derece olası olmayan yerler olarak kabul ediliyor ve nihayet telefonu bulmadan önce en olası yerleri düşüneceksiniz. yerel.
Telefonu bulma sürecinde Bayes teoremini kullanıyorsunuz.
Biliş ve kanıt
Bayesci çıkarımın bir özelliği şudur: Veriler zayıf olduğunda, nesnelerin önceki bilgisi en önemli şeydir . Bu ilke her zaman tarafımızdan sezgisel olarak kullanılmıştır.
Örneğin, bir barda dart oynarsanız ve yakındaki bir yabancı, profesyonel bir dart oyuncusu olduğunu söylerse, o zaman ilk başta bu kişinin şaka yaptığını varsayabilirsiniz.
Bu yabancı hakkında hiçbir şey bilmiyorsunuz, ancak gerçek bir profesyonel dart oyuncusuyla tanışma şansının çok az olduğunu biliyorsunuz. Örneğin Avustralya'da sadece 15 kadar profesyonel dart oyuncusu var. Boğanın gözüne bir dart atarsa, ifadesine yine de inanmayabilirsiniz, çünkü bu sadece şanslı olabilir. Ama ardı ardına on kez bullseye vurursa, onun bir profesyonel olduğunu kabul etmeye daha meyilli olacaksınız. Çünkü yeni kanıtlar biriktikçe, önceki bilginiz aşılır. Bayes teoremi tekrar çalışıyor.
[Onları yöneten bir teori]
Şimdi, Bayesci çıkarım, kanser taramasından küresel ısınmaya, genetikten para politikasına vb. Geniş bir yelpazede insan araştırmalarını desteklemektedir.
Örneğin, Bayesci çıkarım, risk değerlendirmesinin ve sigorta endüstrisinin temelidir. Bir bölgeye bir kasırga veya sel vurduğunda, sigorta primleri fırlar. neden?
Debbie Kasırgası Avustralya'nın Queensland kentini kasıp kavurdu ve şiddetli yağışlar sele maruz kalan konutları beraberinde getirdi. (Resim kaynağı: Dan Peled / AAP Resmi)
Riski ölçmek çok karmaşık bir konudur ve mevcut koşullar gelecekteki olası afetler hakkında yeterli bilgi sağlamak için yeterli değildir. Bu nedenle, sigorta şirketleri riski mevcut duruma göre ve geçmiş olaylarla birlikte tahmin edeceklerdir. Ne zaman bir doğal afet meydana gelse, bölgedeki bilgileri günceller, gelecekteki hasar olasılığının daha fazla olacağını ve böylece sigorta priminin artacağını öngörürler.
Tıbbi tanıda, Bayesci çıkarım da önemli bir rol oynar. Bir belirti (yeni kanıt) birden fazla olası hastalığın (hipotez) sonucu olabilir, ancak farklı hastalıkların farklı insanlar için farklı öncelik olasılıkları vardır. Bununla birlikte, çevrimiçi tıbbi araçlar, bireyin önceki olasılığını doğru bir şekilde dikkate alamaz; bu, aynı zamanda çevrimiçi tıbbi tedavinin de ana problemidir. Kişisel geçmişiniz hakkında çok az şey biliyorlar, bu yüzden bir dizi olası hastalığı görmezden geliyorlar.
Bayes teoremi bize bir kez daha anlatıyor: Önceki tıbbi geçmişinizi bilen bir doktor aramak daha etkili ve makul bir teşhis sağlayabilir.
Alan Turing ve Enigma
Bayesian yöntemi, belirsiz verilerden doğru bilgileri çıkarmamıza ve bir dizi sonsuz olasılıktan daha hedefli çözümler bulmamıza olanak tanır.
Bu aynı zamanda Alan Turing'in Alman Enigması'nı kırmasının da özünü oluşturuyordu, 2. Dünya Savaşı'nın sonunu hızlandırdı ve milyonlarca hayat kurtardı. Dünya için büyük önem taşıyor. Sayısız potansiyel çeviri altında arama yapmak istiyorsanız, özellikle Enigma kodu her gün farklı rotor ayarlarıyla değişirse, bir grup şifreli Almanca bilgisini deşifre etmek imkansızdır.
Turingin temel Bayesçi anlayışı, bazı belirli bilgilerin diğerlerinden daha olası olduğudur. Bu olası çözümler, daha önce başarıyla deşifre edilmiş bilgilere ve mantıksal beklentilere dayanmaktadır. Örneğin, bir Alman U-botu hakkındaki bilgiler, hava durumu veya Müttefik nakliyesiyle ilgili ifadeler içerebilir.
Bunun gibi önceki bilgiler, değerlendirilmesi gerekebilecek çevirilerin sayısını büyük ölçüde azaltarak Turing'in kod çözme mekanizmasının Enigma kodlarını günlük değişiklikleri aşan bir hızda hızlı bir şekilde kırmasına izin verir.
Kriptograflar tarafından Alman Enigma kodunu kırmak için kullanılan "bomba" nın yeniden oluşturulmuş bir kopyası (Resim kaynağı: Ted Coles / Wikimedia)
Bayes ve Evrim
Bayes yöntemleriyle neden bu kadar ilgileniyoruz? Evrimsel biyoloji gibi çoğu bilimsel alanda, Bayes yöntemleri giderek daha önemli bir rol oynamaktadır. Biyologlar, iklim değişikliğinin etkisini tahmin ederek ve bulaşıcı hastalıkların yayılmasını analiz ederek, genellikle geniş bir olasılık yelpazesinden bazı makul çözümler ararlar.
Evrimsel biyoloji çalışmasında, esas olarak yaşamın tarihini ve evrimini yeniden inşa etmeyi içerir.Bu yöntemler, milyarlarca olası dallanma modelinden doğru evrim ağacını bulmamıza yardımcı olabilir.
İster işte ister günlük hayatta, Bayes yöntemi, büyük bir samanlıktan küçük bir iğne bulmamıza yardımcı olabilir.
[Bayesci çıkarımın karanlık yüzü]
Tabii ki, önceki bilgiler yanlış bir şekilde Bayesci çıkarıma uygulanırsa, o zaman bir sorun ortaya çıkar. Mahkemede, bu ciddi adaletsiz davalara yol açabilir. İngiltere'de çok ünlü bir dava vardı.Sally Clark, 1999'da iki çocuğunu öldürmekten haksız yere mahkum edildi.
Savcı, her iki bebeğin de doğal olarak ölme olasılığının son derece düşük olduğuna (73 milyonda sadece 1) inanıyordu ve bu nedenle onu öldürdüğü sonucuna vardı.
Ama bir annenin kendi çocuğunu öldürme ihtimalinin de çok düşük olduğunu düşünmediler. Dolayısıyla tamamen masum olma ihtimali ve çifte katil olma ihtimali savcının ilk düşündüğünden daha yakındır.
Clark'ın daha sonraki temyizinde Temyiz Mahkemesi yargıcı, ilk duruşmada kullanılan istatistikleri eleştirdi.
Bu, Bayes teoremini anlama eksikliğinin ne kadar derin olabileceğini vurguluyor. Bununla birlikte, uygun ve makul ön koşullar altında, Bayes yöntemleri diğer kaynaklardan elde edilemeyen içgörüler sağlayabilir.
