Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir Matematikçiler bu problemi iki bin yıldan fazla bir süredir inceledi.
Üçgenlerin iç açılarının toplamı 180 ° 'dir. Bu aslında düzlem geometrisinin kaçınılmaz sonucudur ve "Geometri" deki beşinci varsayımın çıkarımıdır. Düzlem geometrisini, örneğin bazı eğimli yüzeylerde bırakırsanız, üçgenlerin iç açılarının toplamı 180 °' ye eşit olmayabilir nın-nin.
Düzlemdeki üçgenlerin iç açılarının toplamının 180 ° olduğunu kanıtlamak için birçok yöntemimiz var, bu düz bir açıdır, ancak hangi yöntemi kullanırsak kullanalım, esasen Öklid beşinci postülatı veya beşinci postülatı, vb. Kullanırız. Fiyat ilkesi.
Temel ilke iki bin yıldan fazla bir süredir matematikçiler tarafından araştırılmıştır.Beşinci postülatı (veya eşdeğerlik ilkesini) kullanmazsanız, üçgenin iç açılarının toplamının 180 ° olduğunu kanıtlamak imkansızdır.
MÖ 300 civarında, ünlü bir antik Yunan matematikçisi olan Öklid, Orijinal Geometri'yi yarattı.Kitap, 23 tanıma, beş aksiyoma ve beş aksiyoma dayanmaktadır ve 467 teorem katı matematiksel mantıktan türetilmiştir. Düzlem geometrisinin temelini attı.
Aksiyomlar, insanların gerçek deneyime dayalı olarak türettikleri ve kendi kendilerini onaylamaları gerekmeyen temel gerçeklere atıfta bulunur. "Geometrik Öğeler" deki beş aksiyom şunları içerir:
1. Aynı miktara eşit miktarlar birbirine eşittir.
2. Eşit miktar artı eşit miktar ve eşit.
3. Aynı miktar eksi aynı miktar, fark eşittir.
4. Birbiriyle örtüşen grafikler uyumludur.
5. Bütün, parçadan daha büyüktür.
Aksiyomlar ayrıca, kendi kendine onaylanması gerekmeyen temel gerçeklere de atıfta bulunur, ancak aksiyomlarla karşılaştırıldığında aksiyomlar daha derindir. Modern matematikte aksiyomlar aksiyomlara eşdeğerdir. "Geometrik Öğeler" deki beş aksiyom şunları içerir:
1. İki noktadan sonra sadece düz bir çizgi yapabilir.
2. Çizgi parçası sonsuza kadar uzatılabilir.
3. Merkez olarak herhangi bir nokta ve yarıçap olarak herhangi bir uzunlukta bir daire yapılabilir.
4. Dik açıların tümü eşittir.
5. Düz bir çizgi ve iki düz çizgi düzlemde kesişir.Düz çizginin aynı tarafındaki iki iç açının toplamı 180 ° 'den az ise, iki düz çizgi süresiz olarak uzatıldıktan sonra bu tarafta kesişmelidir.
Beş postülatın ilk dördünün anlaşılması kolaydır ve temelde tartışmalı değildir, ancak ünlü beşinci postülat, matematikçileri iki bin yıldan daha uzun bir süre fırlatabilir, çünkü beşinci postülat apaçık gibi görünmüyor. Öklid, beşinci postülatın sözlü tanımını en aza indirse de, beşinci postülat, önceki dört postülatın birleşiminden daha uzundur.
Beşinci postülat esasen "paralel çizgiler kesişmez" ile eşdeğer olduğu için, beşinci postülat aynı zamanda paralel postülat olarak da adlandırılır.Tarihde pek çok insan beşinci postülatı ispatlamak için ilk dört postulatı kullanmaya çalıştı, ancak hepsi başarısız oldu. Bazı insanlar ispat sürecinde ispatı tamamladıklarını iddia etseler de, farkında olmadan beşinci postülatın birbiriyle kesişmeyen paralel çizgiler, bir üçgenin iç açısı ve iki dik açı gibi eşdeğer önermelerini ortaya attılar.
Öklid, "Geometrinin Öğeleri" ni yazdığında bu sorunu fark etmiş olmalı. Ben de benzer girişimlerde bulunduğuna inanıyorum, böylece ilk önce "Geometri Öğeleri" nde beşinci postülat 29. önermeye ve bu önermeye kadar kullanılmadı. İspatı tamamlamak için beşinci postülatı kullanmalısınız.
Önerme 29: Düz bir çizgi iki paralel düz çizgi ile kesişirse, oluşan iç hiza bozukluğu açıları eşittir, ortak konum açıları eşittir ve yan iç açıların toplamı 180 ° 'ye eşittir.
1795'te İngiliz matematikçi Playfair, beşinci postülata eşdeğer bir açıklama önerdi, bu "düz bir çizginin dışındaki bir nokta ve yalnızca paralel bir çizgi yapılabilir." Bu açıklama "Geometrik Orijinal" deki açıklamadan daha iyidir. Çok daha basittir ve Playfair'in aksiyomu olarak adlandırılır.
İtalyan matematikçi Bertrami, beşinci postülatın önceki dört postülattan bağımsız olduğunu ve beşinci postülatın negatif tanımının da kendi kendine tutarlı olduğunu ilk kez 1868'e kadar kanıtladı; bu, Öklid geometrisinin ve Öklid dışı geometrinin iki farklı olduğu anlamına gelir. Geometrik sistem.
Aslında, Beltrami'den çok önce, Rus matematikçi Lobachevsky, beşinci postülatın kanıtlanamaz olduğunu keşfetmişti.Şimdi, Öklid dışı geometride hiperbolik geometri olarak da adlandırıyoruz, Lobachevsky geometrisi .
Aynı dönemde, Alman matematikçi Riemann, beşinci postülatın diğer zıtından başlayarak, Riemann geometrisi olarak da adlandırılan eliptik geometriyi yarattı, bu nedenle Riemann geometrisi ve Lobachevsky geometrisi topluca Öklid dışı geometri olarak adlandırılır. Farklılıkları:
1. Öklid geometrisi aynı zamanda düzlem geometrisi olarak da adlandırılır Beşinci varsayım oluşturulur.Düzlemdeki üçgenin iç açılarının toplamı 180 ° 'ye eşittir ve düz çizginin dışındaki bir noktadan paralel bir çizgi yapılabilir.
2. Eliptik geometri olarak da bilinen Riemann geometrisi, beşinci varsayım doğru değildir, düzlemdeki üçgenin iç açılarının toplamı 180 ° 'den büyüktür ve düz çizginin noktasının ötesinde ona paralel hiçbir düz çizgi bulunamaz.
3. Lobachevsky geometrisi, hiperbolik geometri olarak da bilinir, beşinci varsayım doğru değildir.Düzlemdeki üçgenin iç açılarının toplamı 180 ° 'den azdır ve düz çizginin dışındaki bir noktadan en az iki paralel çizgi yapılabilir.
Artık matematikçilerin beşinci aksiyomu binlerce yıldır tartıştıklarını biliyoruz. Bu, aslında bağımsız bir aksiyomdu. Bu bağımsız aksiyomun tersi de bir aksiyomdur. Farklı matematiksel sistemler farklı aksiyomlardan türetilebilir. Bu aynı zamanda beşinci aksiyomdur. İspatın temel nedeni, beşinci postülatın tersinden kurulan Öklid dışı geometri, aynı zamanda genel göreliliğin matematiksel temelidir.
Temel matematiksel fikirler çok derindir.Matematikte pek çok benzer ilke vardır.Örneğin, 1900'de Alman matematikçi Hilbert 23 matematik problemi ortaya koydu. Süreklilik hipotezi, Onlarca yıl sonra matematikçiler, süreklilik hipotezinin de bağımsız olduğunu ve süreklilik hipotezinin tersinin başka bir kendi kendine tutarlı matematiksel sistem olduğunu kanıtladılar.
