Düzgün Olmayan Düğümlere Sahip Üçgen B-Spline Eğrileri Sınıfı
Xie Yudi, Jiang Xinxin
(Matematik Okulu, Liaoning Normal Üniversitesi, Dalian 116029, Liaoning)
: Tek tip olmayan düğümler durumunda parametreli bir tür üçgen B-spline temel fonksiyonları verildiğinde, bu tür temel fonksiyonların özelliklerini ve çoklu düğüm durumunda değişikliklerini tartışın ve ilgili üçgen B'yi oluşturmak için bu tür temel fonksiyonları kullanın. Spline eğrisi, bu tip eğri, kuadratik tek tip olmayan B-spline eğrisine benzer özelliklere sahiptir. Kontrol tepe noktası değişmeden kaldığında, eğrinin şekli şekil parametresinin değeri değiştirilerek ayarlanabilir. Ek olarak, daire ve elips gibi eğrileri doğru bir şekilde temsil edebilir.
: Düzgün olmayan B-spline; temel fonksiyon; eğri tasarımı
: TP391 Belge tanımlama kodu: ADII: 10.19358 / j.issn.1674-7720.2017.07.014
Alıntı biçimi : Xie Yudi, Jiang Xinxin. Üniform olmayan düğümler durumunda bir tür üçgen B-spline eğrisi J. Mikrobilgisayar ve Uygulama, 2017,36 (7): 46-49.
0 Önsöz
Üçgen spline eğrileri, bilgisayar destekli geometrik tasarımda yaygın olarak kullanılmaktadır [1] SCHOENBERG IJ [2], ilk olarak üçgen spline kavramını önermiştir.Üçgen spline'ların araştırmasında Profesör Han Xuli, bu ikisini önermiş ve tartışmıştır. Alt üçgen polinom eğrileri, kübik trigonometrik polinom eğrileri ve parametreli kuadratik trigonometrik polinom eğrilerinin özellikleri ve uygulamaları [35]; Literatür [6] önerilen k (k2) -düzenli trigonometrik polinom düzgün B ve şekil parametreleri Spline eğrileri, daireler ve elipsler gibi bazı eğrileri doğru bir şekilde temsil edebilir; literatür [7], aynı tip tek şekil parametresi eğrisinin genelleştirmesi olan, birden fazla şekil parametresine sahip tek tip olmayan üçgen polinom eğrisi önermiştir.
Bu makale, dört noktalı bölütlemeye dayalı parametrelere sahip, tek tip olmayan ikinci dereceden üçgen B-spline eğrisinin başka bir türünü sunar. Tüm düğümler eşit uzaklıkta olduğunda, bu tür eğri [8] 'de tek tip ikinci dereceden üçgen B-spline eğrisi olur. Bir eğri için, belirli bir kontrol noktası için, eğrinin şeklini ayarlamak için kontrol noktasını değiştirmeden, eğrinin şeklini yerel olarak veya bir bütün olarak kontrol etmek için farklı parametre değerleri kullanılabilir.Ayrıca, eğrinin bir elipsi ve bir daireyi temsil etmesi için bir yöntem de sağlar. Örnek, verilen eğrinin, eğri tasarımı için etkili bir yöntem sağlayan basit yapı ve esnek kullanım avantajlarına sahip olduğunu göstermektedir.
1 Şekil parametreleri ile ikinci dereceden üçgen B-spline temel fonksiyonları
Tanım 1, u0 düğümüne atanmıştır < u1 < ... < un + 4, ui = ui + 1 ui, düğüm vektörü olarak U = {u0, u1, ... un + 4} 'ü çağırın, -1i, i1 ayarlayın, sonra şunu arayın:
İ'inci tek tip olmayan ikinci dereceden üçgen B-spline temel fonksiyonudur ve şekil parametreleri i, i + 1, i + 2, i + 3'tür. onların arasında
Özellik 4: Pratik uygulamalarda, bazen tekli şekil parametrelerine benzer şekilde çoklu düğüm teknolojisinin kullanılması gerekir. Temel fonksiyon k4'ün düğüm katı olduğunda, sadece karşılık gelen aralık 0'a düşürülmeli ve karşılık gelen temel fonksiyon kaldırılmalıdır Bölüm. Örneğin, ui + 3 = ui + 4, ui + 3 = 0 olduğunda, aşağıdaki gibi tanımlayın:
Birden çok düğümde birden çok şekil parametresinin temel işlevinin sürekliliğinin aşağıdaki teoreme sahip olduğunu kanıtlamak kolaydır:
Teorem 1 Eğer u = uj, bi (u) temel fonksiyonunun k (k = 2,3,4; j = i + 1, i + 2, i + 3, i + 4) çoklu düğümleri ise, temel fonksiyon Aralık 4'ten 5-k segmente düşürülür, k = 2 olduğunda temel fonksiyon 3 olduğunda süreklidir ve k = 4 olduğunda sürekli değildir.
Şekil 1, birden fazla düğüm olduğunda temel işlevi göstermektedir.Burada, u = 0 düğümü üçlü bir düğümdür.Parametrelerin farklı değerleri nedeniyle, birden çok şekil parametresine sahip kuadratik üçgen polinom temel işlevinin (kesikli çizgi) asimetrik olduğu ve tek şekil parametrelerinin temeli görülebilmektedir. İşlev (düz çizgi) simetriktir.
2 Temel fonksiyonların sürekliliği
Teorem 2 U = {u0, u1, ... un + 4} düğüm vektörü u0'ı sağlasın < u1 < ... < un + 4, ardından formül (1) ile tanımlanan temel fonksiyon bj (u) -C1 (-, + ).
İspat: Açıkça bi (u + i) = 0, bi (u + i) = 0, bi (u-i + 4) = 0, bi (u-i + 4) = 0, sadece burada tartışıldı U = ui + 1'deki süreklilik, u = ui + 2 ve u = ui + 3'te aynı şekilde ele alınabilir.
Yani teoremin sonucu geçerli.
Şekil 2, tek tip düğüm altındaki temel fonksiyonun görüntüsünü gösterir. Düz çizgi, i = i = 1 şekil parametresini temsil eder, yani tek bir şekil parametresi durumunda; noktalı çizgi, tek tip bir düğüm altındaki çoklu şekil parametrelerinin temel fonksiyon görüntüsünü temsil eder ve noktalı çizgi, i = (0.4,1,1,0.8,0.3,0 ), i = 1,2,3,4,5; i = (0.5,0.8,0.2,0.4,0,0.1), i = 0,1, ... 4.
Şekil 3, i ve i şekil parametrelerinin, tek tip olmayan düğümlerin temel fonksiyonları üzerindeki etkisini göstermektedir. Düğüm vektörü U = {0,2,5,6,8,12,13,15,20,27} şeklindedir, düz çizgi, tek bir şekil parametresine sahip temel fonksiyon görüntüsünü temsil eder, kesikli çizgi, birden çok şekil parametresi olan temel fonksiyon görüntüsünü temsil eder, şekil Parametrelerin değerleri Şekil 2'deki ile aynıdır. Birden fazla parametrenin temel fonksiyon üzerindeki etkisinin, sol ve sağ değişiklikleri yaptığı, böylece lokal olarak ayarlanabildiği görülebilir.
3 Kuadratik üçgen B-spline eğrisi
Tanım 2, R2 veya R3'te p0, p1, ... pn kontrol noktalarına, U = (u0, u1, ..., un + 4) düğüm vektörüne ve şekil parametresi-1'e verilir. < i, i1, o zaman:
Bi (u) 'nun denklem (1) ile tanımlandığı, birden fazla şekil parametresine sahip, ikinci dereceden, tek tip olmayan üçgen B-spline eğrisi olarak adlandırılır. Ne zaman ui < Ui + 1 (i = 2,3, ... n) olduğunda, r (u) eğrisi [ui, ui + 1] üzerindeki eğrinin bir bölümüne karşılık gelir:
Temel fonksiyonun tanımından, formül (4) ile tanımlanan eğrinin gerçekte 4 şekil parametresi i, i + 1, i-1, i içerdiği ve bu parametrelerin genel ve yerel ayarlamayı elde etmek için kullanılabileceği görülebilir.Aşağıdaki iki durum tartışılmıştır. :
(1) i = i = i-1 = i + 1 = olduğunda, bu tek parametreli bir eğridir. i ve i'nin şekil parametreleriyle ilgisi yoktur. arttığında, eğri, 'den başlayarak Pi-2Pi-1 doğru parçasına daha yakındır. Genel düzenlemenin rolü. Şekil 4'teki eğri yukarıdan aşağıya gidiyor = 1, 0,5, 0.
(2) i i-1 ve i i + 1, i ve i şekil parametreleriyle ilişkili olduğunda, i = -1 ve i = -1 olduğunda, eğri parçası düz bir Pi-3Pi doğrusudur. Şekil 5'te eğri 2 1 = -0,5, 2 = 0,8, 3 = -1, 4 = 0,2, sol uç değişmeden kalırken eğrinin sağ ucunun değiştiği görülebilir; eğri 3ün 1 = 1, 2 = -1, 3 = 1, 4 = 0,5, eğrinin sol ucu değişirken sağ uç değişmez; eğri 1 parametresi 1 = 0,5, 2 = 4 = 0,8, 3 = -1 alır, bu da birden çok parametrenin tek parametrelerden daha esnek ve kontrol edilebilir olduğunu gösterir.
4 Elips ve tam dairenin gösterimi
Teorem 3: Dört kontrol köşesi Pi-3 (-a, -b), Pi-2 (-a, b), Pi-1 (a, b), Pi (a, -b) verilirse, burada a, b, 0 olmayan gerçek bir sayıdır, düğümler eşit uzunluktadır ve i = i = 0 olsun, u [ui, ui + 1] olduğunda, ri (u) eliptik bir yaydır.
İspat: Formül (4) e göre
ri (u) = i4 (1 costi) Pi 3 + 12 i4 (1 sinti)] pi 2 +
[12 i4 (1 costi)] pi 1 + i4 (1 sinti) pi
Hesaplamadan sonra
Bu, elipsin çeyrek parametre denklemidir.
Sonuç 1 İkinci dereceden üçgen B-spline eğrisi için, kontrol tepe noktası P0 (-a, -b), P1 (-a, b), P2 (a, -b), P3 (a, -b), P4 ( -A, -b), P5 (-a, b), P6 (a, b), sonra ri (u) bir elipstir. A = b ise tam bir çemberdir. Şekil 6 bir elipstir.
5 örnek uygulama
Açık aralık ve kapalı eğrinin oluşturulması, eğri tasarımının temel içeriğidir.P0 = 2p1 p2, pn + 1 = 2pn pn 1 olduğu sürece, açık kuadratik üçgen B-spline eğrisinin oluşturulmasını sağlamak için, enterpolasyon inşa edilebilir. p1 ve pn ve sırasıyla u1 ve un'de teğet vektörler olarak p2-p1 ve pn-pn-1 ile açık üçgen B-spline eğrileri. Şekil 7 tek bir şekil parametresini göstermektedir, i = i = 0,0.5; Şekil 8 çoklu şekil parametrelerini göstermektedir, düz çizgi i = (0.4,0,0,0, -0.5,0,0.8), i = 2,3'e karşılık gelir, ..., 8, i = (0.5,0.8,0,2,0.4,0.5, -0.2,0), i = 1,2, ..., 7.
Kapalı kuadratik üçgen B-spline eğrisi oluşturmak için, kontrol noktası pn + 1 + j = pj (j = 0,1,2) eklenebilir. Düğüm adım boyutu un + 1 + j = uj (j = 0,1,2,3) ve şekil parametresi n + 1 + j = j, n + 1 + j = j, (j = 0,1,2 , 3), böylece kapalı eğrinin ifadesi r (u) = n + 3i = 0bi (u) pi, u [u3, un + 3] şeklinde yazılabilir. Şekil 9, tek bir şekil parametresi altında kapalı eğriyi göstermektedir, = = 0, 0.5, 1, burada düz çizgi tek bir şekil parametresidir = = 0; Şekil 10, düz çizginin birden fazla şekil parametresi altında kapalı eğriyi göstermektedir. i, i Şekil 8'deki ile aynıdır.
6. Sonuç
Bu makale, tek tip olmayan düğümler durumunda çoklu parametreli ikinci dereceden üçgen B-spline eğrilerinin bir sınıfını sunar Eğri dört noktalı segmentasyona dayanır, yani eğrinin her segmenti sadece 4 kontrol noktasıyla ilişkilidir. Aynı zamanda, süreklilik, dışbükey gövde ve geometrik değişmezlik gibi ikinci dereceden B-spline eğrisinin birçok önemli özelliğine de sahiptir. Ayrıca, genel veya kısmi şekil kontrolü, farklı parametre değerleri aracılığıyla gerçekleştirilebilir ve çoklu düğüm tekniğinin uygulanması, bu tür temel fonksiyonlarla yapılandırılmış açık ve kapalı eğriler oluşturabilir. Ek olarak, elipsler ve daireler gibi konik eğrileri de ifade edebilir.
Referanslar
1 Li Chenggang, Feng Jing, Ling Ling. WPF J 'ye dayalı etkileşimli çizim sisteminin geliştirilmesi. Mikrobilgisayar ve Uygulama, 2011, 30 (6): 50-52.
2 SCHOENBERG I J. Trigonometrik eğri enterpolasyonunda J .J.Math.M., 1964,13 (5): 795-825.
3 Han Xuli. Parçalı kuadratik trigonometrik polinom eğrileri J. Mathematics of Computation, 2003,72 (243): 1369-1377.
4 Han Xuli. Şekil parametresi olan kübik trigonometrik polinom eğrileri J. Bilgisayar Destekli Geometrik Tasarım, 2004,21 (6): 535-548.
[5] Wu Xiaoqin, Han Xuli. J parametreli kuadratik üçgen polinom eğri eğrisi. Journal of Engineering Graphics, 2006, 27 (1): 93-97.
[6] Wang Wentao, Wang Guozhao. Şekil parametreleri J ile Trigonometrik polinom düzgün B-spline, Chinese Journal of Computers, 2005, 28 (7): 1192-1198.
[7] Xie Jin, Wu Hongyi, Deng Siqing, vb. Çoklu şekil parametreleri J ile kuadratik tekdüze olmayan üçgen polinom eğrisi Journal of Engineering Graphics, 2007, 28 (5): 291-295.
[8] Wang Jingxin, Wang Di. Tek tip düğümler durumunda iki tür ikinci dereceden üçgen B-spline eğrileri J Lia Liaoning Normal Üniversitesi Dergisi: Natural Science Edition, 2014, 37 (3): 297-303.
