zarif bir şekilde nasıl hesaplanır?
Bilinçsizce, yıllık " Günü" (ve Beyaz Günü) başlattık. 2011 yılında Uluslararası Matematik Derneği, her yıl 14 Mart'ın Uluslararası Matematik Festivali olacağını resmen duyurdu. İlkokul matematik ders kitabı bize 'nin ondalık kısmının sonsuz, tekrar etmeyen bir ondalık sayı olduğunu ve basitçe bir kesir olarak ifade edilemeyeceğini söyler. Öyleyse bu gününde, ilkokul matematiğine yeniden bakalım ve 'nin gizemini ortaya çıkaralım.
Var olmayan bir web sitesinde kutlayan Doodle, 14 Mart 2018. Fotoğrafın ünlü şef Dominique Ansel tarafından Pi Ri için özel olarak tasarlanmış elmalı turtayı gösterdiğini belirtmekte fayda var. Ayrıntılı tariflere göz atmak için aşağı kaydırın
Kaynak: piday.org
(Not: O zamanlar bu tarifi bizzat test ettim. Birisi evde denemek isterse, sadece şunu söyleyebilirim ... Elmalı turta aslında oldukça lezzetli)
1 'nin geçmiş ve şimdiki hayatı
insanların sıklıkla söylediği şeydir PI , Matematiksel bir sabittir, şu şekilde tanımlanır: Bir dairenin çevresinin çapına oranı . Antik çağlarda olduğu gibi, insanlar bir dairenin çevresi ve çapı arasında bir sır olduğunu keşfettiler. Ortaya çıkarılan kültürel kalıntılar, Babil dönemi kadar erken bir tarihte, geometrilerin Pi'nin değerini 25/8 olarak hesapladıklarını gösteriyor.
En eski kaydedilen titiz algoritma MÖ 250'ye kadar izlenebilir.Eski Yunan matematikçi Arşimet, 'nin alt ve üst sınırlarını normal poligon algoritması aracılığıyla 223/71 ve 22/7 olarak elde etti, yani 3.140845 < < 3.142857.
"Meditasyon Arşimet"
sanatçı
yıl
Çeşitleri
Toplama yeri
Domenico Fetti
1620
Tuval üzerine yağlıboya
Gemäldegalerie Alte Meister, Dresden
Arşimet'in pi'yi bulma fikri, önce daire ile yazılmış çokgeni ve buna karşılık gelen sınırlı çokgeni inşa etmektir. Kenarların sayısı yeterince büyük olduğunda, iki çokgenin çevresi, çevrenin alt ve üst sınırlarına yaklaşacaktır.
Sorular: 22/7 nasıl kanıtlanır > ?
Komut istemi:
Cevabı görmek için boş alana tıklayın
Bundan sonra matematikçiler değerini dairesel kesme ve sonsuz seriler yoluyla art arda hesapladılar. 1706'da İngiliz gökbilimci John Machin, Gregory-Leibniz serisinin ürettiği formülü kullanarak 'nin 100. ondalık basamağını hesapladı. Aynı yıl William Jones, "Yeni Matematiğe Giriş" te pi için özel sembol olarak kullanan ilk kişi oldu, ancak Leonhard Euler, dünyanın her yerinden matematikçilerin bu ayarı kabul etmesine gerçekten izin veren kişiydi. . 1736'da Euler, Mekanik kitabında "" sembolünü kullanmaya başladı ve o zamandan beri matematikçiler de aynı şeyi yaptı.
"Leonhard Euler (1707-1783)"
sanatçı
yıl
Çeşitleri
Toplama yeri
Jakob Emanuel Handmann
1756
Yağlı boya
Deutsches Museum, Münih
Modern matematiğin öncüsü, tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan Leonhard Euler. Fransız matematikçi Laplace bir keresinde Eulerin katkısı hakkında şu yorumu yapmıştı: "Euler okumak, o herkesin öğretmenidir."
Özellikle, 'nin değeri 3.1415926535897'dir, sadece a değil İrrasyonel sayı (Yani, sonsuz, tekrar etmeyen bir ondalıktır), ama aynı zamanda Aşkınlık numarası (Sözde "aşkın sayı", herhangi bir tam sayı katsayılı polinom denklemini karşılamayan gerçek sayıya karşılık gelir).
"Sayıları aşan" terimi, Euler'in 1748 yorumundan gelmektedir: "Bunlar cebirsel yöntemlerin erişiminin ötesindedir." Ancak, varlığı Fransız matematikçi Liu Weier tarafından 1844 yılına kadar kanıtlanmamıştır.
Evet, editör bu ifadeyi yayınlaması için Chaoyue'yu tanıttı ... Yani onu gören öğrenciler yorum ve beğeni paylaşmıyor mu?
2 Diseksiyon: incelikle hesaplayın
hesaplamasına gelince, ünlüden bahsetmek zorundayız " Yuvarlama ". MS 265 civarında, matematikçi Liu Hui, değerini 3.1416 olarak hesaplamak için 3072 çokgen kullanarak daire çember tekniğini kurdu. Bundan sonra, Zu Chongzhi, MS 480'de bir 12288 çokgenin kenar uzunluğunu hesaplamak için daire çember tekniğini kullandı ve elde etti Pi yaklaşık olarak 355 / 113'e eşittir (yani yoğunluk oranı) Önümüzdeki sekiz yüz yıl için, bu en doğru tahminidir.
Resim kaynağı: wikipedia
Zu Chongzhi (429 500), Güney ve Kuzey Hanedanları'ndaki Liu Song matematikçisi Wenyuan tarafından yazılmıştır. Zu Chongzhi iki Pi puanı verdi: 22/7 ("yaklaşık oran") ve 355/113 ("gizli oran"). İkincisi, ondalık noktadan sonra 7. sıraya kadar doğrudur, bu kayıt binden fazladır. Sadece bir yıl sonra Arap matematikçi Al Qasi tarafından kırıldı.
Çember kesme ilkesi bugünlerde çok basit görünüyor ve basit ilkokul matematiği ile gösterilebilir. Kısacası, daire çokgenlere bölünmüştür Bölünme ne kadar ince olursa, çokgenin kenarları o kadar fazla, çokgenin alanı daire alanına o kadar yakın olur.
Resim kaynağı: bilibili
Tabii Liu Hui ve Zu Chongzhi çağında düşünürsek, acilen çözülmesi gereken bir bilgi noktası var, yani dairenin alanı ile çevre arasındaki ilişki. Ayrıca ilkokul matematiğini kullanarak N-kenarlı çokgenin alanı = N-kenarlı çokgenin yarı-çevresi × N-kenarlı çokgenin sınırlı çemberinin yarıçapı .
"N-kenarlı çokgenin alanı = N-kenarlı çokgenin yarım çevresi × N-kenarlı çokgenin sınırlı çemberinin yarıçapı" nın kanıtı
N çok büyük olduğunda, alanı bir daireye çok yakındır, yani Daire alanı = (daire çevresi / 2) × yarıçap . Bu şekilde, çemberin alanı çevreye başarıyla bağlanır. Wolfram Cloud'u kullanarak daire kesmenin işlem sürecini sezgisel olarak gösterebiliriz. (Neden Mathematica'yı doğrudan kullanmıyorsunuz? Uzak ofisin editörü, sabit diskte oyunu kaldırmadan büyük bir yazılım yüklemek için yeterli alan olmadığını söyledi)
Bilgi noktası: daire kesmenin yinelemeli algoritması
Bir önceki yazımızda sünnet prensibini kısaca anlattık, fiili operasyonda bazı ufak teknik problemlerle karşılaşacağız. İşte çember kesmenin yinelemeli algoritmasına kısa bir giriş: İlgilenenler bilgisayar simülasyonunu kullanabilirler (zamanı olan öğrenciler Zu Chongzhi gibi hesaplamalar yapmayı deneyebilirler).
Yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi, merkezinde O olan bir O çemberi yapın ve ardından düzgün bir çokgen oluşturun. Prensip olarak, bir çokgenin herhangi bir kenarı olabilir. Genelliği kaybetmeden, burada normal bir altıgen var. O merkezden belirli bir tarafın dikey açıortay OB'sini çizin ve AB'yi daire O içine yazılmış normal onikgenin bir tarafına bağlayın. OB, C noktasında normal altıgenin kenarıyla kesişir. | OC | = H, | CB | = h, | OA | = R, normal altıgenin kenar uzunluğu = M ve normal bir onikgenin kenar uzunluğu = | AB | = m olsun. İşte burda
Basit hesaplama için | OA | = R = 1 olsun, sonra
Böylece kenar uzunluğunun yinelemeli formülünü elde ederiz
Daha önce "N-kenarlı çokgenin alanı = N-kenarlı çokgenin yarı çevresi × N-kenarlı çokgenin çevreli dairesinin yarıçapı" olduğu ve tanım gereği pi'nin "bir dairenin çevresinin çapına oranı" olduğu bilinmektedir. Alan (S), kenar uzunluğu (m) ve sınırlı daire yarıçapı (R) arasında
Benzer şekilde, R = 1 olsun, bizde
Yukarıdaki yinelemeli formülle birleştirildiğinde, açıkça şunu elde edebiliriz:
Burada m ve alt simge N, sonucun normal bir N-kenarlı çokgen öncülüğünde elde edildiğini gösterir. Açıktır ki, N kenarlarının sayısı arttıkça, hesaplanan değeri de gerçek of değerine yaklaşır.
3 Sonsuz seriler: daha zarif hesaplayın
Pi'yi hesaplamak için kesme dairesi yöntemini kullanma fikri nispeten basit olsa da, hesaplamada hala daha zahmetlidir, özellikle geçmişte matematikçiler Mathematica'yı bu şekilde hesaplamak için kullanamadılar. Şimdiye kadar çokgenler kullanarak hesaplamasının en doğru sonucu Avusturyalı gökbilimci Christoph Greenberg tarafından 1630'da elde edildi. Bu nedenle Greenberg, 'nin 38. ondalık basamağını hesaplamak için pozitif 10 üzeri 40'ı (yani 1'den sonra 40 sıfır) kullanır. Bu nedenle yeni fikirler ortaya çıktı.
Resim kaynağı: wikipedia
François Veda (solda), John Wallis (ortada), Gottfried Leibniz (sağda). Bundan sonra tanıtılan yöntemler bu üç büyük tanrıdan geliyor.
Vedik sonsuz ürün
Resim kaynağı: twitte r @ fetedayy
Matryoshka uyarısı: "Matryoshka yok" burada ~
Veda'nın verdiği şey sonsuz bir dizi değil, sonsuz bir üründür. Genellikle Vedic'in çalışmasının sonsuz pi için en eski Avrupa formülü olduğuna inanılmaktadır. Editör, Wei Da'nın bu ispatı ilk kez nasıl tamamladığını doğrulamamış olsa da, ispat temelde ortaokul matematik bilgimizi kullanarak tamamlanabilir. Kanıt fikri, çift açılı formüldür.
Denklemin her iki tarafını da aynı anda x'e bölün.
Sınırı kullanmak için burada biraz üniversite içeriği kullanmamız gerekiyor
Sahibiz
X = / 2 alarak kolayca elde edebiliriz
Wallis ürünü
Wallis formülü olarak da bilinen Wallis ürünü, 1655 yılında İngiliz matematikçi John Wallis tarafından keşfedildi. Bu denklem adımını kesin olarak kanıtlamak biraz zahmetli (yani okuyucular buna tembelce bakıyorlar), bu yüzden bu denklemi Basel problemiyle uğraşırken kullanılan tekniğin yardımıyla kanıtlamak için Euler'i (evet, yine o!) Kullanıyoruz. (Geçmişte Eulerin Basel sorununu "çözme" yönteminin tamamlanmamış gibi göründüğünü belirtmekte fayda var.)
Öncelikle sinüs fonksiyonunun McLaughlin açılımını düşünün:
Her iki tarafı da x'e bölün, elde edin
Sin (x) / x = 0 denkleminin kökünün x =, -2, -, , 2, konumunda bulunduğunu düşünürsek,
X = / 2 olsun,
Formül kanıtlanmıştır.
Gregoryen-Leibniz formülü
Yukarıda bahsedilen iki yöntem, daha önce önerildikleri için daha ünlüdür. Gerçek hesaplama sürecinde, insanlar yukarıdaki formülü kullanmaya daha meyillidir. 1674'te Leibniz tarafından keşfedildi ve Gregory-Leibniz formülü olarak adlandırıldı. Bununla birlikte, bazı arkadaşlar bunun aslında arctan işlevinin McLaughlin genişlemesi olduğunu keşfettiler. Çok ünlü olduğu için herkesin aşina olduğuna inanıyorum, bu yüzden burada formülün kanıtını tanıtmayacağım. X 1 aldığında, arctan fonksiyonu tam olarak / 4'e eşittir, bu nedenle önceki algoritmadan daha basittir.
Bununla birlikte, şahsen hesap yapmak isteyen öğrencilere Gregory-Leibniz formülünün hesaplamada basit görünmesine rağmen yakınsama hızının özellikle hatırlatılması gerekir. çok yavaş Yani bu formül temelde Pi'yi hesaplamak için kullanılmaz. İşte efsanevi bir Hintli matematikçi Ramanujan Verilen formül
Resim kaynağı: wikipedia
Srinivasa Ramanujan, 20. yüzyılda efsanevi bir Hintli matematikçi. Hayatında resmi olarak yüksek matematik eğitimi almamış, ancak son derece keskin bir sezgiye sahip. Ramanujan genellikle formülü doğrudan kanıt olmadan verir, ancak teorisinin çoğu kez gerçeğin ardından doğru olduğu kanıtlanır. Matematikçi Hardy, bazılarını ilk başta anlayamadığı Ramanujanın formüllerini yorumladı, ancak " Doğru olmalılar, çünkü değilse, hiç kimse onları icat edecek kadar hayal gücüne sahip değildir. "
Paskalya yumurtası zamanı: uygunsuz bir negatif tipik
Bu nüshayı yazma sürecinde, editör birden Renren.com'da Pi'yi tanıtan bir makale okuduğumu hatırladı. Editörün bir arkadaşı (hiçbir yerden bir arkadaştan uyarı) bir zamanlar ikna olmuştu.
Resim kaynağı: reddit
Makalenin editörü onu bulamadı, ancak onu dolandırıcı insanlarla tartışan insanlar olduğunu gördüm ~
P = olsun, gerçekten = 4 yapacaktır. Ancak yukarıdaki resimdeki kanıt açıkça yanlıştır. Bir çemberin çevresinin esasen türevin bir integrali olduğu düşünüldüğünde, bu resimdeki problem şudur: Düzgün yakınsak bir fonksiyonun türevi yakınsamayabilir . Elbette bu konu ölçü açısından da düşünülebilir ancak hangi açıdan olursa olsun bir makalede açıkça anlatılması pek olası değildir. (Makalenin yazımının o kadar uzun olduğunu ve kimse okumak istemediğinden bahsetmiyorum bile) Öyleyse, önümüzdeki 14 Mart'ı dört gözle bekleyelim ve hakkında konuşmak için günümüze devam edelim ~ ~~)
Bugünün bilim popülerleşmesini okuduktan sonra, bazı öğrenciler kesinlikle bitmemiş hissedecekler. Öyleyse soru şu ki, bilimsel teoremlerin tarihini geri yüklerken, arkasındaki bilimsel ilkeleri basit bir şekilde açıklayabilecek böyle bir kitap var mı?
CCTV'nin "Geleceğe Gelin" programı bilimsel danışmanı Cao Zexian Öğretmen büyük bir hediye verdi ve matematik ve bilim tarihine 180'den fazla ünlü sanatçıyı içeren düzinelerce harika kanıtı dahil etti. Öğrencilere yeteneklerine göre öğretin ve genç okuyucuları bilgelerin öncülük ettiği yolu izlemeye teşvik edin.
Kaynak: Waiyan Science Press
Düzenleme: fengyao
Görüntülemek için başlığa tıklayın
1. Fizik yasaları size şunu söylüyor: İtiraf çok büyük bir kayıp olabilir ve ayrıldıktan sonra kan kazanmanız gerekir
2. Şok! Dün diktiğiniz süpürge NASA'yı gerçekten endişelendirdi
3. Alkol ve 84 dezenfektan birlikte kullanılabilir mi?
4. Tek kullanımlık tıbbi maskeler nasıl yapılır? Nasıl dezenfekte edilir?
5. Matematik eğlencelidir Bu dev takım, matematik ve fen alanlarında bir grup doktorla birlikte sahayı taradı.
6. "Sıcaklık ölçme tabancası" sıcaklığınızı nasıl ölçer?
7. 0 derece su ile 100 derece su karıştırılarak 50 derece su elde edilebilir mi?
8. İnsanlar neden öpüşmeyi sever?
9. Virüs nereden geliyor?
10. İlk görüşte aşk güvenilir midir?
