Çift zarf paradoksu: değişiklik mi, değil mi?
Fields Madalyası sahibi Martin Hairer, Eylül 2017'de Heidelberg Ödüllü Forumu'nda çifte zarf paradoksunu tartıştı.
Bir oyun oynayalım: Masanın üzerinde iki zarf var Bir zarfta belirli miktarda para, diğer zarfta bunun iki katı var. Ancak iki zarfın her birinde bulunan miktarı bilmiyorsunuz. Onlardan birini alıp bu zarfın içindeki paranın size gitmesine izin verebilirsiniz. Ancak zarfı açmadan önce, seçiminizi değiştirmek için bir şansınız daha var. Öyleyse, orijinal seçiminize bağlı kalmalı mısınız? Veya başka bir zarf mı seçin?
Karar veremiyorsan, öğrenmek için matematiği de kullanabilirsin. Zarfı değiştirmeden veya değiştirmeden alabileceğiniz miktarı hesaplayabiliriz Beklenen değer . Olasılık teorisinde beklenen değer, bir şeyin olası sonucunun olasılığını yansıtan idealleştirilmiş bir ortalama değerdir. Seçtiğiniz zarfın içindeki para miktarının x olduğunu, yani başka bir zarfın içindeki para miktarının 2x veya x / 2 olduğunu varsayalım. Her iki tutarın da olasılığı 1/2. Yani zarfı değiştirirseniz, gelirinizin beklenen değeri
Açıkçası, bu sonuç x'ten büyük, bu yüzden değiştirilmesi gerekiyor.
Ancak bu şekilde bir çelişki ortaya çıktı. Ya zarfı bir kez değiştirdikten sonra tekrar değiştirebilirseniz? Ardından yukarıdaki sonuca göre, eski haline dönmeye devam etmelisiniz. Böyle zarfları değiştirmek için üçüncü, dördüncü, beşinci ... sayısız fırsat varsa, onları takas etmeyi asla bırakmamalı mısın? Durum buysa, sonunda sonsuz bir değişim döngüsüne hapsolursunuz ve bir kuruş alamazsınız. Bu, olasılık teorisindeki ünlü bir paradokstur: Çift zarf paradoksu .
Öyleyse, şu anda çıkarımda herhangi bir sorun var mı?
[Bir çözüm]
İlk seçilen zarfı A olarak işaretleriz ve x miktarını içeririz; kalan zarflar B olarak işaretlenir. Şunu belirtmekte fayda var- A zarfını açmadan önce, x sabit bir miktar değil, rastgele bir değişkendir . Biri büyük diğeri küçük olmak üzere iki miktardan herhangi biri olabilir. Daha küçük miktar y olarak yazılırsa, daha büyük miktar 2y'dir. A rastgele seçilen zarfınız olduğundan, A'nın daha büyük veya daha küçük bir miktar içerme olasılığı% 50'dir. Bu, zarf A'da beklenen E (A) miktarının
Daha önce de söylediğimiz gibi, B zarfında beklenen miktar
Ancak, x'in sabit bir değer olmadığını, iki değerden herhangi birini alabileceğini unutmayın. Zarf B'nin içerdiği miktarın değeri 2x ise, A zarfı daha küçük bir miktar içerir, bu durumda x = y. Zarf B'deki miktar x / 2 ise, zarf A daha büyük bir miktar içerir, bu durumda x = 2y.
Yani yukarıdaki denklemde, ilk x gerçekten y'yi temsil eder ve ikinci x 2y'yi temsil eder. Diğer bir deyişle, Denklemdeki iki x aslında farklıdır, dolayısıyla beklenen 5x / 4 değerini elde etmek için hiç eklenmemelidirler. .
Denklemde x'in ilk geçtiği yeri değiştirmek için y'yi ve ikinci x'i değiştirmek için 2y'yi kullanmalıyız.
Böylece E (A) = E (B) Bu, zarfların değiş tokuşunun fayda getirmeyeceği ve ilk seçimde ısrar etmenin herhangi bir etkisi olmayacağı ve paradoks olmadığı anlamına gelir.
[A açtıysanız?
Sahneyi değiştirirseniz A'yı seçtikten sonra açarsınız ve içerdiği miktarı görürsünüz. Bu durumda, x sabit bir değer haline gelir. O zaman B zarfındaki miktar için sadece iki olasılık vardır: 2x veya x / 2; her ikisinin olasılığı% 50'dir. Böylece B zarfında beklenen miktarı şu şekilde hesaplayabiliriz:
Bu denklem, zarf A'nın içerdiği miktar biliniyorsa doğrudur. Bize anlattığı şey, ortalama olarak, zarf değiştirmenin daha iyi bir seçim olduğu ve paradoksun ortaya çıkmayacağıdır. Zarf B'ye geçtikten sonra, onu geri değiştirme şansınız olur ve Zarf A'daki miktarın beklenen B miktarından daha az olduğunu bildiğiniz için bir daha değiştirmezsiniz, dolayısıyla tekrar değiştirmezsiniz.
Bu paradoks, makalenin başında açıklanan versiyonda var çünkü bu iki zarfa hepimiz eşit muamele ediyoruz - yani bir tür simetri Olay. fakat A zarfını açtığınızda simetri bozulur .
A zarfını açıp x miktarını öğrendiğinizde, bunun, zarf B'nin 2x veya x / 2 içerip içermediğine dair görüşünüzü değiştirmesi muhtemeldir. Örneğin, x çok büyük bir miktarsa, B zarfının 2x miktarının iki katını içerme ihtimalinin düşük olduğunu tahmin etmeye daha meyilli olabilirsiniz. P'yi zarf A'nın daha büyük bir miktar içerme olasılığı olarak gösteriyoruz, sonra zarf B'deki beklenen E (B) miktarı
O zaman bunu ancak ve ancak p < 2 / 3'te, E (B) x'ten büyüktür. Başka bir deyişle, A'nın içerdiği miktarın 2 / 3'ten daha büyük olma olasılığının 2 / 3'ten az olduğundan emin olduğunuz sürece zarfları değiştirmelisiniz.
Bazı insanlar için, yukarıdaki yöntem çift zarf paradoksunu çözmek için yeterlidir, ancak herkes buna katılamaz. İnsanlar bu konu üzerine çok zaman harcadılar ve yazılar yazdılar.
Çeviri: Zuoyou
Orijinal bağlantı: https://plus.maths.org/content/two-envelopes-problem-resolution
