Aşılara ek olarak, sizi gripten koruyabilecek matematik var!
Başkalarıyla "paylaşmak" istediğiniz kontrol edilemeyen bir dedikodu duyduğunuzu varsayalım. Ama sen "söylentileri yayma" eylemini bir şekilde küçümsüyorsun, bu yüzden bu söylentiyi bir kişiye anlatmak için uzlaşmaya karar verdin ve sonra tamamen sustun. Büyük bir anlaşma olmamalı, değil mi? Ve ona söylediğin kişi aynı stratejiyi benimserse - yalnızca başka birine söylerse - söylenti çok uzaklara yayılmamalıdır. Bu söylentiden her gün sadece bir kişi haberdar olduğu için, 30 gün sonra sadece 31 kişi bu dedikodudan etkilenecek.
Bildirilen nesne ikiye ayrılırsa ne olur? Sonuç çenenizi şok edebilir! Söylentileri bir gün önce öğrenen her kişi her gün iki yeni kişiye söylentileri söylerse, 30 gün sonra söylentilerin kapladığı kişi sayısı, dünya nüfusunun 1'i olan 2.147.483.647'ye (2 ^ 31-1) ulaşacaktır. / 4. Bu ne tür bir şok edici adım? ! Açıkçası, tüm değişiklikler sadece bildirim nesnesini birden ikiye değiştiriyor ... Cevap değişim hızında yatıyor .
İlk durumda her gün yayılan söylenti sayısı bir önceki günle aynıdır. Ve bugün, yarın, yarından sonraki gün ... bu durum değişmeyecek, bu da demek oluyor ki her gün dedikoduları duyan yeni insan sayısı sabit. Bu örnekte sayı 1'dir.
Ancak her gün yayılan insan sayısı iki katına çıkarsa, yayılma katlanarak artacaktır: ilk gün dedikoduları bilen iki yeni kişi, ikinci gün dördü ve üçüncü gün sekiz kişi daha ... ...Ve bunun gibi. 30. günde 2 ^ 30 yeni kişi bu söylentiyi öğrenecek.
Bu iki durum arasındaki fark neden bu kadar büyük? Özetle, bu Doğrusal fonksiyon karşı Üstel fonksiyonlar arasında Fark! Doğrusal fonksiyonun değişim hızı sabittir (tıpkı her gün söylentileri bilen 1 kişi gibi) ve büyümesi yavaş ve sabittir ve her seferinde aynı şekilde büyür. Üstel fonksiyonun özelliği, değişim hızının katları artmasıdır - örneğin 1 geçiş 2, 2 geçiş 4, 4 geçiş 8 vb. Doğrusal büyümenin aksine, üstel fonksiyon büyümeyi hızlandıracak, yani büyüme miktarı artmaya devam edecek.
Bu nedenle 30 günde dedikoduyu bilen ve yayan kişi sayısı 31 veya 2 milyarı geçebilir. Sonuç tamamen söylentiyi bilen her kişinin bir veya iki kişi olup olmamasına bağlıdır.
Grafik her gün söylentileri bilen yeni insanların sayısını gösterir. Yeşilin doğrusal büyümesi neredeyse yatayken, mavinin üstel büyümesi neredeyse dikey olarak yukarı doğru 2 milyarı aşıyor. | Resim kaynağı: Quanta Magazine
Bu temel matematiksel model, özel bir Üreme modu Bu çarpma modelinin özü, dedikodunun yayılmasından çok daha fazlasıdır. Tüm temel modeller gibi, bulaşma olasılığı ve genel nüfus büyüklüğü gibi birçok karmaşık faktörü göz ardı eder veya basitleştirir, ancak fikirlerin nasıl yayıldığını, popülasyonların nasıl büyüdüğünü ve hastalıkların nasıl yayıldığını keşfetmek için iyi bir araç olarak kullanılabilir. başlangıç.
Hastalık enfeksiyonunun yayılması dedikodu söylentilerine çok benzer birisi onları alır (onları bilir veya hastalanır) ve sonra bunları başkalarına iletir. Bu nedenle, her iki durumda da aynı temel matematiksel model yaygındır. Yukarıda bahsedilen basit dedikodu örneğinde, söylentilerin yayılmasında görünüşte küçük değişikliklerin söylentileri bilen insan sayısında büyük değişikliklere yol açabileceğini gördük. Aynısı bulaşıcı hastalıklar için de geçerlidir: Bir kişiye bulaşmakla iki kişiye bulaşmak arasındaki fark, bir vakaya veya salgına neden olmanın anahtarı olabilir. .
Her bulaşıcı enfeksiyon, yerel biyolojik, çevresel ve sosyal faktörlerden etkilenen benzersiz bir enfeksiyon oranıyla belirli bir alana yayılır. Epidemiyologlar, tüm bu faktörlerin enfekte insanlar üzerindeki etkisini şu şekilde özetlemeye çalışırlar: Temel enfeksiyon numarası ". Bu, enfekte olan her kişi için beklenen ortalama yeni enfeksiyon sayısıdır. Bunu temsil etmek için R kullanıyoruz. Yukarıda bahsedilen söylentilere göre, iki vakadaki temel enfeksiyon sayıları R = 1'dir (bir geçiş, bir ) Ve R = 2 (bir geçiş iki) ve " Bulaşıcı dönem "1 gün.
Aşağıda bazı iyi bilinen hastalıkların temel enfeksiyon numaraları listelenmiştir.
Grafik kaynağı: CDC ve NIH
Lütfen bu hastalıkların temel enfeksiyon sayısının birden fazla olduğunu unutmayın. Bu aynı zamanda bu hastalıkların tehlikeli olarak değerlendirilmesinin nedeninin bir parçasıdır: çünkü enfekte olan her kişi ortalama olarak birden fazla kişiye bulaşacak ve bu da bu hastalığa yakalanan insan sayısında katlanarak artışa neden olacaktır. Bunun kalabalık üzerinde yıkıcı bir etkisi olabilir. Ancak üstel büyümeyi doğrusal büyümeye dönüştürebilir miyiz? Bir hastalığın R değerini 1'e indirebilir miyiz?
Bu, aşının başlangıcını gerektirir. Aşı olduktan sonra, bireyler hastalığa karşı direnç geliştireceklerdir.Başarı oranı değişecek olsa da, burada basitleştirmek adına, aşılamanın hastalığa tam bağışıklık sağlayabileceğini varsayıyoruz. Aşı, aşılanmış kişiler üzerinde doğrudan yararlı bir etkiye sahip olabilir, ancak dolaylı olarak daha geniş bir insan yelpazesine de fayda sağlayabilir. Bir toplumdaki pek çok kişi aşılanırsa, hastalık hızla yayılamaz.
Aslında, yaygın aşılama hastalığı azaltmaya yardımcı olabilir Etkili enfeksiyon numarası . Yeterli sayıda kişi aşılanırsa, enfeksiyon sayısı 1'e düşürülebilir, böylece hastalığın yalnızca doğrusal bir oranda yayılması sağlanabilir. Yani hastalığın etkili enfeksiyon sayısını 1'e düşürmek için aşıyı tamamlamak için kaç kişiye ihtiyaç vardır. ?
Temel enfeksiyon sayısının bize ne anlattığını düşünelim Örnek olarak R = 2 olan grip salgını durumunu ele alalım. Bu, enfekte olan her kişinin ortalama olarak iki yeni insanı enfekte edeceği anlamına gelir. Bu basit R = 2 sayısı bize pek çok bilgi sağlar: bulaşıcı hastalıkları yaymanın ne kadar kolay olduğu, bulaşıcı dönemin uzunluğu ve enfekte kişinin belli bir süre içinde kaç kişiyle etkileşime gireceği. Bu sayıyı analiz ederek, aşılamanın nasıl azaltılacağını kolayca anlayabiliriz.
Birine R = 2 olan grip virüsünün bulaştığını ve bulaşma sırasında diğer 10 kişiyle temas edeceğini varsayalım. Aşağıdaki şekilde gösterilen resmi kullanarak, yeşil, enfekte kişiyi gösterir ve ok, 10 kişiyle karşılaşmayı gösterir.
Enfekte kişi (yeşil) enfeksiyon döneminde 10 kişiyle temas kurar. | Resim kaynağı: Quanta Magazine
Onunla temas halinde olan herkesin gribe yakalanma şansı vardır, ancak R = 2, bu 10 kişiden sadece 2'sinin gerçekten enfekte olacağı anlamına gelir.
İnsanların% 20'si enfekte. | Resim kaynağı: Quanta Magazine
Herkesin% 2/10 veya% 20 enfeksiyon şansı olduğunu söyleyebiliriz.
Ancak bu 10 kişiden ikisinin influenzaya karşı aşılanmış olduğunu varsayalım (aşılananların tamamen bağışık olduğu ve enfekte olanın hastalığı onlara geçiremeyeceği varsayılırsa), ancak geri kalan 8 kişinin hala% 20 enfeksiyon kapma şansı var. Bu, ortalama olarak 10 kişiden 0,2 × 8'inin (1,6 kişi) enfekte olacağı anlamına gelir.
Bu nedenle, on kişiden ikisi aşılanırsa, enfekte bir kişinin enfekte ettiği ortalama kişi sayısı ikiden 1,6'ya değişecektir. Aşılama, hastalığın temel enfeksiyon sayısını R = 2'den R = 1.6'ya etkili bir şekilde azaltmıştır. Öyleyse, üstel büyümeyi tamamen önlemek için temel enfeksiyon sayısını 1'e nasıl indirebiliriz?
İlk enfekte kişinin enfeksiyon süresi boyunca 10 kişiyle temas halinde olduğunu ve aşılanmamış her kişinin% 20 enfeksiyon şansı olduğunu tekrar varsayalım. Şimdi, bu 10 kişiden V'nin aşılı olduğunu varsayalım. Bu nedenle aşılanmamış bireylerin% 20'sinin enfekte olacağını, yani 0,2 × (10-V) kişilerin enfekte olacağını tahmin edebiliriz. Büyümenin üstel değil doğrusal olması için, 1'e eşit yeni bir ortalama enfeksiyon sayısına ihtiyacımız var. Bu nedenle, sadece denklemi çözmemiz gerekiyor: 0.2 × (10-V) = 1.
Bu en basit denklemi çözerek V = 5 olduğunu bilebiliriz. Şimdi, temas kurduğumuz 10 kişiden 5'inin aşı olması durumunda ne olduğuna bir bakalım.
Temas halindeki her 10 kişiden 5'i aşılanmıştır (mavi). | Resim kaynağı: Quanta Magazine
Aşı, temelde aşılanmış 5 kişiyi bu hastalığa yakalanmayacağı için resimden çıkarır. Kalan 5 kişiden her birinin% 20 enfeksiyon şansı vardır, bu nedenle ortalama olarak bu 5 kişiden 1'i hastalığa yakalanacaktır. Bu, başlangıçta temas kuran 10 kişiden yalnızca 1'inin enfekte olduğu anlamına gelir: bu nedenle, her 10 kişiden 5'ini aşılayarak, hastalığın R'si etkili bir şekilde 1'e düşürülebilir.
5 kişinin% 20'si enfekte (yeşil). | Resim kaynağı: Quanta Magazine
Bu süreç, herhangi bir temel enfeksiyon numarası R'yi kontrol etmek için genişletilebilir. Her enfekte kişinin, her bulaşıcı dönemde N yeni insanla temas kuracağını varsayarsak, ortalama olarak bu kişilerin R / N'sinin enfekte olacağını tahmin edebiliriz. Bununla birlikte, bu N kişiden V'si aşılanmışsa,
Yeni enfeksiyonların sayısını temsil eder. Bu sayının 1 olmasını istiyorsak, bir denklem oluşturabiliriz:
Aşılanan popülasyonun toplam oranını temsil eden V / N'yi çözün, yani her N kişide aşı yaptıran V var. Böylece alabiliriz
Başka bir deyişle, nüfustaki aşılanan kişi sayısının oranı 1-1 / R ise, ortalama olarak her enfekte kişi yalnızca bir yeni kişiye bulaşacaktır. bu nedenle 1-1 / R Hastalık bulaşmasında üstel değil doğrusal bir artışa neden olan sihir yüzdesidir.
Tüm popülasyonun aşılama seviyesi 1-1 / R'ye ulaştığında, grup hastalığa karşı toplu bağışıklık kazanmıştır. Bu, bireyler tarafından kazanılan bağışıklığa değil, nüfus içindeki üstel yayılmayı kontrol etmeye yöneliktir. Bu özelliğe " Sürü bağışıklığı ". Sürü bağışıklığının sağlanması için gereken aşılama oranına" Sürü bağışıklık eşiği "(HIT). Aşağıda, bazı hastalıklar için popülasyon bağışıklık eşikleri örnekleri verilmiştir.
Grafik kaynağı: Quanta Magazine
Açıktır ki, belirli bir hastalığa karşı aşı sadece bireyler için potansiyel faydalar sağlamakla kalmaz aynı zamanda tüm topluma fayda sağlar. Sürü bağışıklığı eşiğine ulaşıldığında, hastalığın popülasyondaki yayılma oranı, felaket bir salgını önlemek için yeterince düşük tutulacaktır. Kapsamlı aşılama, salgın durumun resmini aşağıdaki şeklin sol tarafında gösterilenle değiştirecek; sağdaki resimde gösterilen hastalık ise birçok potansiyel bulaşma yolu ile tüm popülasyona yayılacaktır.Bu durumda sadece birkaç yol salgını yavaşlatabilir. Büyüme, dolayısıyla bir salgın olasılığını azaltmada başarısız olur.
Resim kaynağı: Quanta Magazine
Sürü bağışıklığının bir diğer önemli özelliği ise Aşılanmamış kişiler de yararlanabilir . Bu durumda hastalığın geniş yayılma olasılığı düşük olduğundan, aşılanmamış olanlar dahil herkes için enfeksiyon riski nispeten düşüktür. Bu, özellikle tıpta aşı yapılmasını önermeyenler için (bebekler, küçük çocuklar, yaşlılar ve hasta olanlar gibi) önemlidir. Burada aşılamanın etkililiğinin% 100 olduğunu varsaymamıza rağmen, sürü bağışıklığının etkinliği% 100 etkili olmasa bile elde edilebilir: çünkü% 100'den az olsa bile, kapsamlı aşılama yine de her enfekte kişinin ortalamasını etkili bir şekilde azaltabilir. Enfeksiyon sayısı, dolayısıyla hastalığın etkili enfeksiyon sayısını azaltır.
Doğrusal büyüme ile üstel büyüme arasındaki büyük farkı matematiksel olarak gördük. Hastalık bulaşması açısından, bu aslında bir ölüm kalım meselesidir. Aşılama ve sürü bağışıklığının ardındaki temel matematik çok önemlidir, bu yüzden bu hikayeyi arkadaşlarınızdan biriyle paylaşın ... veya daha iyisini istiyorsanız, onu iki kişiyle paylaşın!
Yazan: Patrick Honner
Derleme: Mengda komutanı
Referans bağlantısı:
https://www.quantamagazine.org/flu-vaccines-and-the-math-of-herd-immunity-20180205/
