Bir matrisin rankının ve determinantının anlamını anlamak için bir makale
Lei Feng net basın: Tensör, sinir ağı modelindeki en temel işlem birimidir.Modelin içindeki verilerin çoğunun, bir dizi matematiksel işlemi gerçekleştirmek için taşıyıcı olarak tensöre güvenmesi ve ardından sonucu alması gerekir. Tıpkı tensör, matrisin yüksek boyutlarda yükseltilmesi gibi, bu makale de matris teorisindeki en temel bilgi noktaları olan rank ve determinantın yüksek boyutlarda ilerletilmesi ve pratik önemi üzerinde derinlemesine tartışılacaktır. Bu makalenin yazarı Xia Hongjin, orijinal olarak yazarın kişisel blog Leifeng.com yayınlama yetkisine sahiptir.
Bir mühendislik öğrencisi olarak, matrisler ve determinantlar gibi lineer cebirdeki bilgileri uzun zamandır kullandık.Bu yazıda bu konulardan yani alan nedir ve alan nedir? Yüksek enlemlerin teşviki.
1 Alan nedir?
Alanın ne olduğuna gelince, insanlar önce hayatımızda yaygın olarak kullanılan uzunluk * genişliği düşünebilir mi? Bu doğru mu Aslında, burada bahsettiğimiz alan aslında Öklid uzayının geometrik alanının temel birimidir: bir paralelkenarın alanı.Paralelkenar alanının tanımı ile ilgili olarak, geometrik olarak konuşursak, bitişiktir. Kenarların uzunluğunu aralarındaki açının sinüsüyle çarpın.
Ancak daha genel durumlarla ve daha yüksek boyutlu matematik problemleriyle karşılaştığımızda, bu alanın tanımını genişletmemiz gerekir. Her şeyden önce, alanın bir skaler olduğu gerçeğine dikkat etmeliyiz. İki vektörün bitişik iki taraftan çarpılmasının sonucu, bu yüzden geldiğimizde alanı bir eşleme ilişkisi olarak görmemiz gerekiyor.
Burada V uygun bir miktar olarak kabul edilebilir, V * V uygun bir miktarın iki sıralı çiftini temsil eder, bu durumda f doğal olarak istenen alandır.
Şimdi bu haritalamanın gelecekte doğrusal bir haritalama olduğunu kanıtlayacağız, lütfen oturun:
Şimdi en basit örneği ele alalım Şimdi ilk vektörün (1.0) ve ikinci vektörün (0,1) olduğunu varsayalım, bu da iki vektörün X ekseni ve Y ekseninde ve birimlerin pozitif olduğu anlamına gelir. Birim vektörü, sonra bu iki vektörün oluşturduğu dörtgen, bu dörtgen aslında bir karedir, alan tanımına göre aslında * genişlik = 1 * 1 = 1'dir.
Böylece şunları alabiliriz:
Şimdi, ilk vektörün bir kez ölçeklendiğini, bu dörtgenin alanı da karşılık gelen a zamanına dönüşeceğini ve bu alan da orijinal a kez olacak ve ikinci vektörün b katına ölçekleneceğini varsayalım. Alan aynı zamanda orijinal b kez olacaktır.İki vektörü aynı anda ab kez ölçeklendirirsek, alan da orijinal ab kez olur.Bu, alan haritalamanın diğer iki işlenen için olduğunu gösterir. Vektörün skaler çarpımı aşağıdaki gibi doğrusaldır:
Aslında, fiili durumlarda, alan haritalama, işlenenlerinin (vektörlerin) vektör toplamı için de doğrusaldır.Vektör toplama işleminin kendisi doğrusal olduğundan, o zaman alan haritalama aslında doğrusal bir eşlemedir. Haritalamanın doğrusal olarak eklenmesinin bazı sonuçlarını açıklamak için birkaç örnek kullanmak istiyorum.
İki eşdoğrusal vektör tarafından oluşturulan paralelkenar bir çizgidir, dolayısıyla alan 0'dır. Şimdi, alan eşlemesinin uygun miktarda eklemeyle doğrusal bir eşleme olduğunu varsayalım, sonra aşağıdaki sonuçları elde ederiz
Aslında, işte pratik bir teori:
Diğer bir deyişle, doğru miktarda karşılıklı dik işlenenleri değiştirdikten sonra, alanın haritalanması negatif bir değer haline gelir.Pozitif veya negatif olması düşündüğünüz tanıma bağlıdır.Genel olarak, X ekseninin vektörünü öne ve Y Eksen vektörü, X ekseninden Y eksenine uzanan bir paralelkenarın alanı arkaya yerleştirilir.Bu sembolü genellikle pozitif bir işaret olarak kabul ederiz.
2 Üç boyutlu uzayda uygulama
Üç boyutlu uzayda, deney yapmak için genellikle sağ el kuralını kullanırız. X ekseni karesi kafa ise, Y ekseninin pozitif yönü kuyruktur. Sağ el kuralı bana kağıdın dış yönünün alan olduğunu söyler Pozitif yön.Eğer ters çevrilmişse, kağıdın içe doğru yönü alanın pozitif yönüdür.Önceden işaretin yönünün tersidir.Şimdi işaretin geometrik anlamı daha açıktır.
Şimdi, paralelkenarın düzlemdeki herhangi iki vektör tarafından oluşturulan alanının şimdi aşağıdaki formülle ifade edildiğini varsayıyoruz:
Burada, sözde alanın aslında 2 * 2 matrisin determinantı olduğunu görmek zor değil:
Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi:
Aslında, ilk satırımız ilk satır vektörümüz (a, b) olsa bile, ikinci satır ikinci satır vektörü (c, d) veya ilk sütun ilk sütun vektörü (a, b), ikinci sütun doğal olarak ikinci sütun vektörünün (c, d) dönüştürme derecesidir, tabii ki bu, vektörü bir satır vektörü veya bir sütun vektörü olarak yazmamıza bağlıdır.
3 determinantın özelliklerinin hesaplanması
Yukarıdaki muhakemede, determinant değerinin sütun vektörünün yatay satırı olarak mı yoksa determinant vektörü olan satır vektörünün dikey satırı olarak mı yazılmasının alakasız olduğunu kolayca bulabiliriz bu yüzden rank hesaplanırken Formülde, sıraların sıraları eşittir.Ayrıca, yukarıdaki analize göre, değişim vektörünün sırası, alan negatif işaretinin nedenidir.Bu nedenle determinantta, değişim sütun vektörü veya satır vektörü Negatif işaretin nedeni bir kez alınmalıdır.Ayrıca determinantın diğer hesaplamalarının niteliği, aslında alan haritalamanın doğrusallığına yansır.
Bu nedenle, özetle, determinantın kendisi aslında alan formunun bir genellemesidir.Aslında, bir baz seti verildiğinde, N vektör, N boyutlarıyla tanımlanan genelleştirilmiş bir dörtgenin hacmini oluşturur. Bu, determinantın doğasının bir anlamıdır.
4 determinantın genelleştirilmesi
Yukarıdaki sonuca göre, üç boyutlu hacmin hesaplanmasına aslında kolayca genelleyebiliriz:
Burada determinantın tanımının aslında her satırdaki farklı bir sütunun elemanlarının bir ürünü olduğunu ve işaretin sözde ters çevirme ile ilgili olduğunu not etmeliyiz. Ters çevirme nedir? Sözde ters çevirme, onun geometrik anlamı Pozitif bir yön belirledikten sonra (örneğin, 1, 2, 3, 4, 5 ... N sıralaması pozitif işaret olarak tanımlanır), herhangi bir sayı çiftini değiştirin ve bir kez eksi işareti alın. Bu özelliği yukarıda belirtilen alan fonksiyonunda daha önce görmüştük.Aslında, daha yüksek boyutların genelleştirilmiş hacmi olan hacim de olumlu bir yöne sahiptir, ancak bunu sağ el kuralı (ve çapraz çarpma) ile görselleştirmek zordur. Sağ el kuralının sınırlandırılması da yüksek boyutlu alanı belirleyici bir ifadeye genişletme motivasyonlarından biridir.
Herhangi bir gösterge setinin bu şekilde değiş tokuş edilmesi işlemi için sembolün doğası değiştirilebilir.Aslında biz buna antisimetrik diyoruz.Şu anda düşünmekte iyiyseniz, neden farklı sıra ve sütunlardaki elementlerin çarpımını almak istediğinizi merak edeceksiniz.Çünkü varsa Aynı sütunda iki eleman aynı sütunda yer alır, sonra sütun göstergelerini değiştirirler, ürün aynıdır ancak işaret zıttır, dolayısıyla çarpım 0 olmalıdır ki bu determinant değere yansımamasının sebeplerinden biridir.
Belirleyicinin tanımı aslında oldukça karmaşıktır.Aslında, geniş alan haritalamasının anti-simetrik doğasından gelir. Aslında, alan haritalama iki boyutludur.İki boyutu keyfi olarak çok boyutluya genişleterek, aslında R-boyutlu formu bulabiliriz. Belirleyicinin formu, R * R ile tamamen aynıdır.
Aslında burada, çeşitli boyutların neyi temsil ettiğini özetleyebiliriz: İki boyutlu bir düzlemdeki alanı temsil eder, üç boyutlu doğal olarak üç boyutlu uzaydaki hacimdir ve dört boyutlu aslında dört boyutlu uzaydaki hipervolümdür. Benzetme Yukarıdaki akıl yürütmede, bu vektörler tarafından verilen taban koordinatlarla yazılan matrisin bir kare matris olması gerektiğini ve matrisin determinantına karşılık gelen alan veya hacmin olması gerektiğini bulduk.Böyle bir terfi, herhangi bir doğrusal cebir kitabına inandığını kanıtlıyor Çin'de göreceğiniz gibi, ben sadece insanca sözler söyledim.
5 Determinant ve bir matrisin tersi
Geri döndürülemez determinantı 0 olan bir matris ve determinantı 0 olmayan, tersinir olan bir matris gibi pek çok teorem biliyoruz.Şu anda, alanı temsil eden determinantın doğrusal değişimlerin tersinirliği ile nasıl birleştirildiğini sormadan yardım edemeyiz. .
Şu anda, doğrusal değişimin geometrik anlamını anlamalıyız. Şimdi şunu belirteyim:
Uzayda bir dizi doğrusal bağımsız vektörler şeklinde sütun vektörleri yazarsak, onlar tarafından oluşturulan N boyutlu cismin hacmi sıfır değildir.Yukarıdaki analize göre değeri determinant tarafından verilir. Vektör, doğrusal dönüşüm A ile dönüştürüldükten sonra, yeni vektör formu aşağıdaki gibidir:
A'nın bir N * N matrisi ve vektörün bir sütun vektörü olduğuna dikkat edin.
Dönüşümden önce, N boyutlu cismin hacmi:
Dönüşümden sonra, N boyutlu cismin hacmi şu şekildedir (ikinci denklemin aslında matris çarpımını, yani N * N matris A'yı ve başka bir N sütun vektörü N * N'yi nasıl tanımladığını açıkladığına dikkat edin. Matris çarpımı):
A'nın determinantı sıfır değilse, bu N boyutlu cismin hacminin bu dönüşümden sonra NULL olmadığı anlamına gelir. Doğrusallığın hacimden bağımsız özelliklerini birleştirdiğimizde şunu söyleyebiliriz:
A'nın determinantı sıfır değilse A, bir dizi doğrusal bağımsız vektörü yeni bir doğrusal bağımsız vektörler kümesiyle eşleyebilir; A tersine çevrilebilir (bire bir eşleme, aslına uygunluk eşlemesi, KERNEL {0) })
A'nın determinantı sıfır ise, A, doğrusal olarak bağımsız bir vektör kümesi ile doğrusal olarak ilişkili vektörler kümesini eşleyecektir.
A'nın determinantı negatifse, A orijinal N boyutlu hacmin yönünü değiştirecektir.
Doğrusal bağımsızlıktan doğrusal korelasyona, bilginin bir kısmı kaybolur (örneğin, eş doğrusal veya eşdüzlemsel olarak daraltılır), bu nedenle bu dönüşüm açıkça geri döndürülemez. Doğrusallığın alakasız olup olmadığı doğrudan N-boyutlu cismin hacmiyle ilgilidir ve bu hacim değeri A'nın determinantı ile ilgilidir. Bu nedenle, A'nın determinantı ile tersine çevrilebilir olup olmadığı arasındaki geometrik ilişkiyi kurduk.
Örneğin, A'nın 3 boyutlu bir matris olduğunu varsayalım. Haritalamadan önce doğrusal olarak bağımsız üç vektör kümesi varsa, hacimlerinin 0 olmadığını biliyoruz; haritalamadan sonra, karşılık gelen yeni vektörleri bir paralel yüzlü olarak da oluşturulabilir, bu durumda bu paralel yüzün hacmi, orijinal hacim ile çarpılır. A'nın determinantını alın.
Açıktır ki, eğer A'nın determinantı 0 ise, dönüşümden sonra yeni "paralel yüzlü" hacmin kaçınılmaz olarak 0 olacaktır. Yukarıdaki sonuçlara göre, biz var: dönüşümden sonra yeni vektörler kümesi doğrusal olarak ilişkilidir.
sonuç olarak:
Doğrusal dönüşüm A'nın determinantının sıfır olup olmaması, eşlemesinin doğruluğunu, yani doğrusal olarak bağımsız bir vektörler kümesinin, bağımsızlığı koruyan başka bir vektör kümesine dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini temsil eder.
6 sıra
Ancak bazen, A belirleyicisi uzaydaki en büyük sayıda vektörün bir kümesini doğrusal olarak bağımsız yapamasa da, bir azınlık vektörleri kümesinin doğrusal olarak bağımsız olmasını sağlayabilir.Bu vektör sayısı genellikle doğrusal uzay boyutundan daha küçüktür. Bu sayı denir Doğrusal dönüşümün sıralaması A
Örneğin: rankı 2 ve 3 * 3 olan bir matris A, çünkü rank değeri 3'ten küçüktür, o zaman herhangi bir 3 boyutlu hexahedron değiştikten sonra, hacim 0 olur, bir yüzü dejenere eder, ancak yine de 0'dan farklı bir alana sahip bir yüz vardır. , Dönüşümden sonra, hala sıfır olmayan bir alan yüzeyidir
Bu nedenle, doğrusal dönüşümün sözde sıralaması, değişimden sonra sıfır olmayan bir hacme sahip bir geometrik şeklin en büyük boyutundan başka bir şey değildir.
Rütbe, determinant ve tersine çevrilebilirliğin geometrik anlamının yukarıdaki anlayışıyla, tüm geometriyi koruyabilmesi veya boyutsallığı belirli bir boyuta ve belirli bir yapıya sahip bir geometriye indirgeyecek şekilde isteğe bağlı olarak doğrusal olarak değişen bir A oluşturabiliriz ve sıkıştırma azalır. Boyutsal geometri, bu nedenle "boyutluluk azaltma darbesi" olarak kabul edilebilir
Daha yüksek boyutlu muhakeme için, umarım ilgilenen arkadaşların bunu kendi başlarına kanıtlayabilirler ve siz de anlamadığınız sorular hakkında yorum yapabilirsiniz.Sizinle daha fazla iletişim kurmayı umuyorum, tavsiyelerin için teşekkür ederim.
Leifeng.com'da İlgili Okumalar:
OpenBLAS projesi ve matris çarpım optimizasyonu | AI Araştırma Enstitüsü
Otonom sürüş alanında makine öğrenimi algoritmalarının uygulamasının büyük bir envanteri!
