Matematik dünyasına bir harita
Fizik haritasının ardından, bugün size getirmek istediğim şey, matematiğin tüm dallarını özetleyen matematik dünyasına bir harita.
Hikaye baştan başlamalı. Herşey şununla başlar Miktar .
Aslında sayma sadece insanların bir özelliği değildir, diğer hayvanların da (kuşlar, maymunlar gibi) sayma yeteneği de vardır. Tahta, kemik veya taşlarda insan sayma sembolleri tarih öncesi çağlardan beri kullanılmaktadır. Taş Devri kültüründe kumar, özel hizmetler ve işlemler için sayma sembolleri kullandılar.
Her şey saymaktan kaynaklanır.
Son birkaç bin yılda matematik farklı ülkelerde gelişti. Eski Mısırlılar ilk denklemi yazdı. Antik Yunanlılar, geometri ve sayı gizemi gibi birçok alanda katkıda bulundular. Çinli matematikçiler uzun süredir negatif sayı kavramına sahipler. Hindistan'da ilk kez "0" rakamı kullanıldı. Sonra İran İslamının altın çağında matematikçiler bir büyük adım daha attılar ve cebir üzerine ilk kitabı yazdılar. Rönesans sırasında matematik ve bilim birlikte gelişti.
Elbette yukarıda bahsettiğim şey matematik tarihindeki buzdağının sadece görünen kısmı ve burada daha fazla söz etmeye niyetim yok. Ana amacım sizi modern matematiğin dalına götürmek.
Modern matematik kabaca iki alana ayrılabilir: Saf matematik (Matematiğin kendisini inceleyin) ve Uygulamalı matematik (Daha pratik problemleri çözmek için). Ancak hatırlamamız gereken şey, aslında birbirleriyle yakından ilişkili olduklarıdır. Mümkünse, bu harita her ilgili şubeyi birbirine bağlayan bir ağ olmalıdır. Ama onu sadece iki boyutlu bir düzlemde sunmaya çalışabiliriz.
Sol, saf matematik ve sağda uygulamalı matematik.
Aslında, tarihten, birçok matematikçinin matematiği yalnızca meraktan ve güzellik arayışından öğrendiklerini ve sonra bir dizi güzel ve ilginç matematik dalı geliştirdiklerini, ancak bunların gerçek dünyaya hiçbir faydası olmadığını göreceğiz. . Şaşırtıcı olan, örneğin, 100 yıl sonra, bazı bilim adamlarının fizik veya bilgisayar bilimindeki en modern problemleri çözmeye çalışırken, ihtiyaç duydukları matematiğin aslında saf matematikte geliştirildiğini keşfetmeleridir. Bunun sayısız örneği vardır: Örneğin, genel göreliliğin gelişimi Riemann metriğine dayanır; sicim teorisi Ka-Yau uzayını gerektirir vb. Bu soyut kavramların nihayet başka bilimsel alanlarda da uygulanması çok sevindirici.
Saf matematiğin bir gün gerçekte uygulanıp uygulanamayacağını bir kenara bırakırsak, aslında saf matematiğin kendisi de çalışmak çok değerlidir. Bir matematikçiye neden saf matematik okumak istediğini sorarsanız, bence pek çok insanın cevabı tek bir kelimeye, yani güzellik!
Şimdi önce saf matematik alanına giriyoruz.
Saf matematik
Saf matematik temel olarak dört bölümden oluşur:
Saf matematik, sayı sistemini, yapıyı, uzayı ve değişimi içerir.
Dijital Sistem
Sayısal sistemlerin incelenmesi sayılardan kaynaklandı ve ilk başta tanıdık geldi Doğal sayı (1, 2, 3 ...) ve Tamsayı (...- 2, -1, 0, 1, 2 ...) ve aritmetik olarak tanımlanan doğal sayıların ve tam sayıların aritmetik işlemleri (+ - × ÷). Sayı sistemi daha da geliştirildiğinde, tam sayılar olarak kabul edilir Rasyonel sayı (-7, 1/2, 2.32 ...) ve rasyonel sayılar Gerçek Numara (-4, e, 2 ...). Gerçek sayılar daha da genelleştirilebilir çoğul (4 + 3i, -4i ...). Ek olarak, başka sayılar dizisi de vardır (örneğin Kuaterniyon , Sekizgen ile Baz Bekle). Matematikçilerin sevdiği bazı sayılar da vardır, örneğin , e ile asal sayı (1, 3, 11 ...).
Az önce bahsedilen sayıların bazı ilginç özellikleri vardır. Örneğin, sonsuz sayıda gerçek sayı ve tam sayı olmasına rağmen, tam sayılardan daha fazla gerçek sayı vardır. Yani bazı sonsuzlar aslında diğerlerinden daha büyüktür.
Yapı
Yapı araştırması, sayıların denklemde (y = mx + c) değişkenler şeklinde ikame edilmesiyle başlar. Bu denklemlerin nasıl çözüleceğine ilişkin kurallar şurada bulunur: Cebir Arasında. Bu dalda vektörler ve matrisler var, hepsi çok boyutlu sayılardır ve aralarındaki bağlantı Lineer Cebir Çalışılıyor.
Bu dalın içinde "en saf" olarak bilinen bir matematik alanı vardır, yani Sayı teorisi . Sayı teorisi, asal sayıların özellikleri gibi "sayı sisteminde" bahsedilen tüm sayıların özelliklerinin incelenmesine odaklanır (asal sayılar, Goldbach'ın varsayımı, ikiz asal sayılar gibi profesyonel olmayanların anlayabileceği birçok çözülmemiş sorun üretir. Tahmin et vb.)
diğer yandan, Kombinatoryal Matematik Ağaçlar, grafik teorisi vb. Gibi sayılabilir veya ayrı nesneleri inceleyen bir matematik dalıdır. İyi bilinen bazı problemler arasında harita boyama, nehri geçen kayıkçı vb. Yer alır. Grup teorisi Gruplar adı verilen cebirsel yapıların incelenmesidir. Tanıdık bir örnek, bir permütasyon grubu olan Rubik Küpüdür. Sipariş teorisi Sonlu kısmi mertebeli kümeleri temsil etmek için kullanılan matematiksel simgeler olan Hass diyagramları gibi matematiksel sıralamanın sezgisel kavramlarını yakalayan çeşitli ikili ilişkileri inceleyen bir matematik dalıdır.
Uzay
Saf matematiğin bir başka kısmı, şekillerin ve bunların uzaydaki davranışlarının incelenmesidir. Uzay araştırması kaynaklanıyor geometri -Özellikle Öklid geometrisi. Trigonometri Uzay ve sayıyı birleştirir ve ünlü Pisagor teoremini içerir. Bazı ilginç alanlar da var. Fraktal , Ölçek değişmezliği olan matematiksel bir modeldir, yani nasıl yakınlaştırırsanız yakınlaştırın, hepsi aynı görünür.
Birçok şubesinde, Topoloji Muhtemelen 20. yüzyılda matematikteki en gelişmiş alan. Topoloji uzayın farklı özelliklerini inceler, onları sürekli deforme edebilirsiniz, ancak onları yırtamaz veya yapıştıramazsınız. Örneğin, Mobius kuşağıyla ne yaparsanız yapın, her zaman sadece bir yüzü ve bir sınırı olacaktır. Topolojide kahve fincanları ve çörekler aynı şeydir. Topoloji, uzun süredir devam eden Poincaré varsayımını (2006'da matematikçi Grigory Perelman tarafından kanıtlanmıştır) ve tartışmalı dört renk teoremini (1976'da bir bilgisayar tarafından kanıtlanmıştır) içerir.
Ölçüm teorisi Boşluklara veya kümelere değerler atayan, sayıları ve boşlukları birbirine bağlayan bir matematik dalıdır. Sonunda, Diferansiyel Geometri Eğri yüzeylerdeki şekillerin özelliklerini inceleyen çok önemli bir matematik dalıdır.Örneğin eğri yüzeylerdeki üçgenlerin iç açıları Öklid uzayındakilerden farklıdır.
Çeşitlilik
Değişimi anlamak ve açıklamak doğa bilimlerinde yaygın bir sorundur ve hesap Araştırma değişiklikleri yapmak için daha güçlü araçlar. Fonksiyon, değişken bir miktarı tanımlayan temel bir kavram olarak burada doğmuştur. Matematik, limitleri, farklılaşmayı (bir fonksiyonun gradyanının davranışı), entegrasyonu (bir fonksiyonun altındaki alan) ve sonsuz serileri inceleyen bir daldır. ve Vektör analizi Odak noktası, vektör alanının farklılaşması ve entegrasyonudur.
Ek olarak, bir dizi başka araştırma yönü vardır. güç sistemi Sıvı akışı veya geri bildirim döngüsü olan herhangi bir şey (ekosistem gibi) gibi sistemin zaman içinde bir durumdan diğerine nasıl evrimleştiğini açıklar. Kaos teorisi Sistemin öngörülemeyen ve belirleyici davranışının net bir açıklamasıdır ve ünlü kelebek etkisi gibi başlangıç koşullarına çok duyarlıdır. En sonunda Karmaşık analiz , Gerçek sayıların ve gerçek değişken fonksiyonlarının titiz bir şekilde incelenmesi gerçek analizdir, karmaşık analiz ise karmaşık sayıların eşdeğer alanıdır. Matematikteki en büyük çözülmemiş problemlerden biri-Riemann'ın varsayımı karmaşık analiz ile açıklanmaktadır.
Bunlar saf matematiğin dallarıdır. Daha sonra uygulamalı matematik alanına giriyoruz. Uygulamalı matematiğin temel amacı, bilim, mühendislik, işletme ve diğer alanlardaki pratik problemleri çözmek için soyut matematiksel araçları kullanmaktır.
Uygulamalı matematik
Matematik, çeşitli bilimsel alanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır.
Başlıyoruz fizik Başlat. Temelde saf matematikte bahsedilen tüm dallar az çok fiziğe uygulanır. Matematik ve teorik fizik arasındaki ilişki, saf matematikten ayrılamaz. Birçok matematiksel teori fiziksel problemler temelinde geliştirilir; ayrıca genellikle sadece fizikte pratik uygulamalar bulan birçok matematiksel yöntem ve araç vardır. Örneğin, diferansiyel denklemler klasik mekanik ve kuantum mekaniğine uygulanır; alan teorisi elektromanyetik alanlara, yerçekimi alanlarına ve ayar alanlarına uygulanır; grup teorisi ve temsil teorisi parçacık fiziğine uygulanır.
Fiziğe ek olarak matematik diğer doğa bilimlerine de özellikle Matematiksel Kimya ile Biyolojik matematik üzerinde. Matematiksel kimyada, matematiksel modeller genellikle molekülleri simüle etmek için kullanılır; topolojik kimya da sıcak bir araştırma alanıdır (2016 Nobel Kimya Ödülü topoloji ile ilgilidir). Matematik aynı zamanda biyolojide de yaygın olarak kullanılmaktadır.Örneğin, genetiğin gelişmesi nedeniyle, biyologlar tarafından toplanan büyük miktarda verinin analitik yöntemlerle işlenmesi gerekir; evrimsel biyoloji ve ekoloji, hem matematiksel teorileri kullanır, vb.
Matematik de yaygın olarak kullanılmaktadır. mühendislik Yukarıda, eski Mısır ve Babil'den beri matematik, mimaride yaygın olarak kullanılmaktadır. Uçaklar veya güç şebekeleri gibi çok karmaşık devre sistemleri, kontrol teorisi adı verilen güç sistemi yöntemini kullanır.
(Mary Boas tarafından yazılan "Matematiksel Yöntemler Fiziksel Bilimlerde" bir ders kitabı öneriyorum. Fizik, kimya ve mühendislik bölümlerini seçen öğrenciler için bu kitap ihtiyacınız olan matematiksel bilgiye hızlı bir şekilde hakim olmanıza yardımcı olabilir.)
Bazı matematikler etkili bir şekilde çözemeyeceğimiz kadar karmaşık olduğunda, kullanacağız Sayısal analiz Ayrıca, hesaplamalarda yuvarlama hataları veya diğer hata kaynaklarının incelenmesini de içerir. Örneğin, bir kareye bir daire koyarsanız ve ona çok sayıda dart atarsanız ve ardından çemberdeki dart sayısını ve kareyi karşılaştırırsanız, yaklaşık bir değeri elde edebilirsiniz. Ancak gerçekte, sayısal analiz genellikle büyük bilgisayarlar kullanılarak gerçekleştirilir.
oyun Teorisi Oyundaki bireylerin tahmin edilen ve gerçek davranışları hakkında düşünmeye odaklanın ve optimizasyon stratejilerini inceleyin. Ana araştırma, formüle edilmiş teşvik yapısı (oyun) arasındaki etkileşimdir. Temsili uygulama örneklerinden biri mahkumun ikilemidir. Oyun teorisinin ekonomi, psikoloji, biyoloji, uluslararası ilişkiler, siyaset bilimi ve diğer disiplinlerde geniş bir uygulama alanı vardır.
Olasılık teorisi Bu, olasılık ve rastgele olayların çalışılmasına odaklanan bir matematik dalıdır.En basit rastgele olaylar, bozuk para atmak, poker çekmek veya zar atmaktır. Uygulamalı matematikte önemli bir alan İstatistik , Olasılık teorisini bir araç olarak kullanır ve fırsatları içeren olayların tanımlanmasına, analizine ve tahminine izin verir. Çoğu deney, anket ve gözlemsel çalışma istatistiksel analize dayanır. Bu nedenle doğa bilimlerinden sosyal bilimlerden beşeri bilimlere kadar çeşitli disiplinlerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Özellikle finans sektöründe maksimum fayda elde etmek için istatistiksel analiz kullanılmaktadır.
Faydaları en üst düzeye çıkarmakla ilgili optimize etmek , Hesaplamaya çalıştığınız şey, bir dizi farklı seçenek veya kısıtlama altında, yani bir fonksiyonun en yüksek veya en alçak noktasını bulmak için en iyi seçimdir. Optimizasyon problemi insanların ikinci doğasıdır.Her zaman mutluluğumuzu optimize etmeye çalışmak, satın alırken paranın karşılığını almak vb. Gibi optimizasyon seçimleri yapıyoruz.
Başka bir alanın saf matematikle çok derin bir bağlantısı vardır, yani bilgisayar Bilimi . Bilgisayar biliminin kuralları aslında saf matematikten türetilmiştir. Makine öğrenimi, yapay zekayı gerçekleştirmenin, yani yapay zekadaki problemleri makine öğrenimi yoluyla çözmenin bir yoludur. Makine öğrenimi, doğrusal cebir, optimizasyon, dinamik sistemler ve olasılık teorisi gibi matematiğin birçok alanını kullanan çok alanlı disiplinler arası bir konudur.
Sonunda, Kriptografi Aynı zamanda, kombinatorik ve sayı teorisi gibi saf matematik araştırmalarına uygulanan çok önemli ve pratik bir matematik dalıdır.
Şimdi saf ve uygulamalı matematiğin ana kısımlarını özetledik. Ancak henüz bitmedi ve matematiğin temelini görmezden gelemeyiz.
temel
Matematiğin temeli, matematiğin doğasını anlamaya çalışır ve tüm matematiksel kuralların temelinin ne olduğunu sorar. Tam bir aksiyom seti var mı temel kurallar ? Kendi kendine tutarlı olup olmadığını nasıl kanıtlarız? Matematiksel mantık , Küme teorisi ile Kategori teorisi Sadece bu soruyu cevaplamaya çalıştım. Matematiksel mantıkta Gödel'in eksiklik teoremi denen çok ünlü bir sonucu vardır Çoğu insan için matematiğin tam ve kendiliğinden tutarlı bir aksiyom seti yoktur, bu da bunların hepsinin biz insanlar tarafından yaratıldığı anlamına gelir. Bu garip geliyor, çünkü matematik evrendeki birçok şeyi mükemmel bir şekilde açıklıyor. Neden insanlar tarafından yaratılan şeylerin bunu yapabileceğini düşünüyoruz? Bu çok ezoterik bir bilmecedir.
bizde hala var Hesaplama teorisi , Bu modellerin problemleri nasıl etkili bir şekilde çözebileceğine dayalı olarak farklı hesaplama modellerinin incelenmesine odaklanır. P / NP probleminin bu alanda çözülmemiş bir problem olduğu karmaşıklık teorisini içerir.
Artık matematik dünyasının tam bir haritasına sahibiz:
Matematiksel harita. (Resim kaynağı: Dominic Walliman)
Matematik çok soyut ve güzel bir dünyadır. Önemini tek bir cümleyle anlatmak isterseniz, o zaman Galileo'nun bir zamanlar söylediği şeyi seçeceğim: "Bir kimse evrenin dilini, yani matematiğin dilini anlamıyorsa, yapamaz. Evrenin büyük kitabını okuyun. "
Matematik çalışmanın veya çalışmanın en büyük neşesi sizce nedir?
