Üç cisim neden kararsız ve güneş sistemimiz bu kadar kararlı?
İlkbahar ve Sonbahar Dönemi ve Savaşan Devletler Dönemi öncesinde, Qi Devleti adı verilen bir prensler devleti vardı. Her zaman gökyüzünün düşeceğinden endişelenen Çinli bir adam vardı, bu yüzden bazıları ona şunu tavsiye etti:
"Cennet, kulaklar qi biriktirir, ölüm ölüm qi'dir. Nefesinizi büküp uzatırsanız ve bütün gün gökyüzünde durursanız, nasıl çökebilirsiniz?"
Bunu duyduktan sonra, Qi ülkesinden adam fikrini değiştirdi: Gökyüzü "qi" nin bir parçası olduğu için (burada "qi" nin gaza değil, eski felsefi bir düşünceye işaret ettiğine dikkat edin), yıldızların düşmemesi nasıl sağlanabilir? Adam yine dedi:
"Güneş, ay ve yıldızlar, havada da görkemli olanlar var; sadece düşüş, iftira edilemez."
Pek çok okuyucu bunu gördüklerinde anlıyor ve "Liezi" de kaydedilen asılsız endişe verici bir hikaye. Bugün, bu deyim bu temelsiz dikkatsizlikle alay etmek için kullanılıyor.
Mantıksız bir şekilde endişeli. İnternetten resim
Ancak, antik bilimin az gelişmişliği nedeniyle, "Güneş, ay, yıldızlar ve yıldızlar da havada parlaklığa sahiptir; sadece düşmek, iftira edilemez" yorumunun modası geçmiş yorumu bugün savunulamaz. Modern astronomi, kadimlerin gözünde "yıldızların" yüzey sıcaklığının en az birkaç bin derece olduğunu ve kütlenin en az güneş kadar büyük olduğunu (sadece çıplak gözle görülebileceğini) söyler, eğer gerçekten düşerse, gerçekten dünyanın sonu olur. Yukarı.
Bazı insanlar yıldızların çok uzakta olduğunu ve evrenin o kadar büyük olduğunu söyleyebilir, başka hiçbir şey yapmadan dünya yönünde uçamaz. Çimsiz dünyanın sonu nerede!
Yıldız ve dünya çok uzaktalar, bu yüzden sebepsiz yere yere çarpmayacaklar.
Sadece bu değil, yeryüzünün faaliyetleri de çok istikrarlı bir periyodik yasayı tatmin ediyor - dört mevsimde gece ve gündüzün değişmesi, bu yasalar eski zamanlardan beri değişmedi. Devrim veya rotasyondan bağımsız olarak, güneş sisteminin sekiz gezegeni konumlarına kesinlikle saygı gösterebilir ve evrenin denizi ne kadar çalkantılı olursa olsun, yine de dokunulmaz olacaktır. Bütün bunlar güneş sisteminin kararlılığından kaynaklanmaktadır.Yeryüzünün eşsiz ortamını yaratan ve dünyanın güneş sisteminin kucaklamasından kopmasını engelleyen bu kararlılıktır.
Liu Cixin'in "Üç Beden" romanını okuyan okuyucular bu kararlılığın daha fazla farkında olmalıdır - kapalı üç gövdeli sistem kaotik bir sistemdir (kaotik sistemin başka bir örneği de kelebek etkisidir, lütfen editöre başvurun. "Kaos Teorisi Nedir? Kelebek Etkisinden başlayarak") yani küçük bir rahatsızlık, bu sistemin uzun vadeli hareket yasası üzerinde ezici ve öngörülemez bir etkiye sahip olabilir.
Güneş sisteminde sekiz gezegenin yanı sıra birçok cüce gezegen (gezegenler ve asteroitler arasındaki kütle), sayısız asteroitler ve hatta büyük yörünge eksantriklikleri olan kuyruklu yıldızlar var Durum, üç gövdeli sistemden çok daha karmaşık. Ancak bu karmaşık sistem o kadar kararlı ki doğaya saygı duymak gerekiyor.
Kararlı güneş sistemi
Peki güneş sistemi neden bu kadar kararlı? Aslında bu çok karmaşık bir matematik problemidir. Okuyucuların anlayışını derinleştirmek için önce üç cisim sorununun neden istikrarsız olduğuna bir bakalım.
1. Güvenilir olmayan üç gövdeli sistem
Roman "Üç Beden" (sadece birincisi) esas olarak "Üç Vücut Adam" ın hikayesini anlatır. Trisolaran'ın uygarlığı ve teknolojisi oldukça gelişmiştir, ancak Samsung sisteminde öngörülemeyen hareket modelleriyle yaşadıkları için, Trisolaran'ın yaşam ortamı genellikle çalkantılıdır ve zorlu ortamdan kaçmak için "dehidrasyona" güvenmek zorundadır. Yanlışlıkla dünyanın konumunu elde ettikten sonra, sabit dünyayı bir koloni olarak kullanmak istedim.
Üç gövdeli sistem, yerçekimi etkisi altında üç parçacıktan oluşan kapalı bir sistemdir. Bu çok basit görünüyor, neden "yasayı tahmin etmek zor"? Öncelikle üç gövdeli sistemin (kapalı, parçacık boyutunu göz ardı ederek) ideal koşullar altında karşıladığı adi diferansiyel denklemleri yazalım:
X_i, genellikle üç boyutlu bir vektör olan i-inci parçacığın konum koordinatını temsil eder.
Bu üç sıradan diferansiyel denklem sistemi, esasen Newton'un ikinci yasasıdır ve anlaşılması zor değildir. Ancak üç cisim problemini sadece iki boyutlu bir düzlemde düşünseniz bile, 3 * 2 * 2 (denklem sayısı * denklem sırası * boyut) = 12 doğrusal olmayan denklemi çözmeniz gerekir, bazı özel durumlar dışında, bulmanın bir yolu yoktur. Kesin çözüm. Bunun temel nedeni, üç cisim probleminin (enerji, momentum, açısal momentum vb.) "Korunan niceliklerinin" denklemlerin sayısına kıyasla çok küçük olması ve neredeyse tüm üç cisim problemlerinin, tıpkı beş gibi, entegre edilemez sistemler haline gelmesidir. Alt cebirsel denklemlerin radikal çözümleri yoktur ve entegre edilemeyen diferansiyel denklem sistemlerinin analitik çözümleri yoktur (bir anlamda kesin çözümler).
Bütünleştirilebilir sistemin katı tanımı daha karmaşıktır ve onu Bölüm 3'te tanıtacağım. İlgilenen okuyucular ayrıca Arnold'un ünlü kitabının son bölümüne veya.
Analitik çözüm yoksa ne yapmalıyım? Önemli değil, bu çözümleri sayısal simülasyonla bulabilirsiniz. Problemi tekrar basitleştirmek için, üç parçacığın kütlelerinin eşit olduğunu varsayıyoruz.
Bazı okuyucular, bu noktaya kadar basitleştirildiğini ve iyi bir yanıt alabilmeleri gerektiğini düşünebilir, değil mi? Ama aslında öyle olsa bile, farklı başlangıç değer koşulları yine de tamamen farklı çözümlere karşılık gelebilir. Buradaki ilk değer koşulları, üç parçacığın iki boyutlu konumu ve hızıyla ilgili bilgileri içerir.Seçim için 3 * 2 * 2 = 12 serbestlik derecesi (boyutlar) vardır. Böylesine yüksek bir özgürlük derecesi ile, çözümlerin performansı doğal olarak çok farklıdır.Bazı çözümler dağınık ve düzensiz gibidir.Mahkum Trisolaran bu tür çözümlerle karşılaşır; ancak bazı çözümlerin ( En üstteki veriler, üç parçacığın konumunu ve hızını temsil eder):
Çift eğimli üçgen + büyük daire. Başlangıç değeri koşulları:
Konum - (0.666, -0.082), (-0.025, 0.454), (0.003 -0.766)
Hız - (0.8410.029), (0.142 -0.492), (-0.9830.462)
Çift spiral + elips
Bazı nispeten basit periyodik çözümler de vardır:
Güçlü simetriye sahip üç gövdeli hareket
Diğer çözümler ilk bakışta çok normal görünüyor. Bununla birlikte, muhteşem bir görünüm genellikle gizli cinayet niyetini gizlemek için en kolay yoldur ve yalnızca zaman, ölümcül niyetin su yüzüne çıkmasına izin verebilir:
Çökmüş üç gövdeli sistem
Dahil olan birçok program dosyası olduğundan, editör bu kodları şimdilik paylaşmayacaktır. Bununla birlikte, üç cisim problemi ve hatta daha genel çok cisim problemi her zaman aktif araştırma konuları olduğu için, editör bunu gelecekteki makalelerde tanıtmaya devam edecektir. Şimdi "güneş sistemi kararlılığı" konusuna dönüyoruz.
2. Güvenilir bir güneş sistemi
Önceki bölümdeki sayısal simülasyonlardan görülebileceği gibi, sadece iki boyutlu durumu göz önüne alsak ve her parçacığın aynı kütleye sahip olduğunu varsaysak bile, üç cisim problemi hala son derece karmaşık olabilir. Güneş sistemini üç cisim problemi ile karşılaştırırsak, güneş sisteminin hareketinin üç cisim probleminden çok daha karmaşık olduğunu bulmak zor değildir - hatta güneş sistemindeki tüm uyduları, asteroitleri, cüce gezegenleri, kuyruklu yıldızları ve çeşitli yıldızlararası tozları bile görmezden gelir. Güneş sistemi ayrıca en az bir yıldıza ve dokuz gövdeli bir sistem olan sekiz gezegene sahiptir. Bu dokuz cisim sisteminin iki boyutlu bir düzlemle sınırlı olduğunu varsaysak bile, her parçacığın kütlesini eşit yapamayız.
Ama öyle olsa bile, Dünya milyarlarca yıldır güneşin yörüngesinde dönüyor.Birçok buz çağından geçmesine rağmen, çok sayıda asteroit çarpması ve gama patlaması (büyük yıldızların kütleçekimsel çöküşünden kaynaklanan) tarafından hasar görmüş olabilir. Güneş sisteminden uçmayı asla düşünmedim, "seni on bin yıldır sevmekten" daha sarsılmaz. Güneş sistemini kararlı kılan nedir?
Dünyanın yaşadığı çeşitli büyük felaketler
Güneş sisteminin istikrarı klasik bir mekanik problem gibi görünüyor, ancak şaşırtıcı bir şekilde 20. yüzyılın ortalarına kadar bilim adamlarının ilgisini kademeli olarak çekmedi. Bu problem üzerine yapılan ilgili araştırma aynı zamanda yeni bir matematik dalı olan Dinamik Sistemin doğuşuna ve yükselişine de işaret ediyor.
Güneş sisteminin kararlılığını incelemek için, eski Sovyet matematikçi Kolmogorov (aynı zamanda olasılık teorisini ilk aksiyomatize eden), VL Arnold ve Alman matematikçi Jürgen Moser önerdi Ünlü KAM teorisi (KAM, bu üç kişinin baş harfleri). Üçü de Matematikte Wolf Ödülü'nü kazandı (matematik alanında sadece Fields Madalyası'ndan sonra ikinci).
Belki de Komogorovun ödülü daha çok olasılık teorisinin aksiyomatizasyonuyla ilgilidir.
Matematiksel bir bakış açısından, KAM teorisindeki çeşitli tanımlar karmaşıktır, "faz uzay akışı", "diferansiyel form", "tekil tedirginlik" ve hatta "Diofant yaklaşımı" içerir. Teoremlerin matematiksel kavramları ve ispatları da çok uzun ve matematiksel bir güzellik yok gibi görünüyor. Ama aslında bunu güneş sisteminin kararlılığı açısından anlarsanız, bu teori çok güzel.
Aşağıdakiler, Komogorov'un en orijinal teoremidir:
Çince çevirisini daha sonra tanıtacağım
Arnold ve Moser, Komogorov'un sonuçlarını genişletti ve KAM teorisinin çerçevesini oluşturdu. Yukarıdaki teorem çok ünlü olmasına rağmen, onu sadece tanımından anlarsanız, matematiksel analizin düşünce tuzağına düşmek kolaydır ve bu teorem ile güneş sisteminin kararlılığı arasındaki ilişkiyi anlamak zordur.
3. KAM Teorisinin Özeti
Kutsal KAM teorisi nedir? Komogorov ve diğerleri neden yukarıdaki sonuca vardılar? İlk önce genel n-vücut sistemini ele alalım.
Üç gövdeli sistemin zaten çok karmaşık bir sistem olduğunu zaten biliyoruz, nedenlerinden biri, üç gövdeli sistemin bütünleştirilebilir bir sistem olmaması (diğer bir deyişle, korunan miktarın yetersiz olması) ve denklemi çözerek doğru bir çözüm elde etmenin bir yolu olmamasıdır. Üç cisim sorunu ile ilgili bir önceki tartışmada, editör, üç cisim sistemi bütünleştirilebilir bir sistem olmadığı için analitik bir çözüm bulunamayacağından bahsetmişti. Entegre edilebilir sistem iyi bir şey olduğuna göre, üç cisim problemine ve hatta entegre edilebilir sistemle güneş sisteminin dokuz cisim problemine yaklaşmanın bir yolu var mı? Bu Komogorov ve diğerlerinin düşüncesi.
Bundan önce, entegre edilebilir sistemin katı tanımına bir göz atalım:
tanım:
M, 2n boyutlu bir semplektik manifold olsun (yani, yüksek boyutlu yüzeydeki her nokta, bir metrik olarak semplektik bir matris ile yüklenir) ve H, M üzerinde düzgün bir fonksiyondur. H'den doğrusal olarak bağımsız n-1 fonksiyonları varsa (karşılık gelen teğet vektörleri doğrusal olarak bağımsızdır), Poisson parantezleri
Daha sonra H, Entegre Sistem olarak adlandırılır. Hem H hem de Birinci İntegral olarak adlandırılırlar ve bir tür korunan miktar olarak kabul edilebilirler.
Doğrusal bağımsızlık ve sıfır Poisson parantezinin iki koşulu çok önemlidir. Sıfır Poisson parantezi, "korunan bir miktar" olarak kabul edilebileceğini garanti ederken doğrusal bağımsızlık, entegre edilebilir sistemin yeterli korunmuş miktara sahip olmasını garanti eder. Buradaki H, genellikle tüm sistemin toplam enerjisini ifade eder, okuyucular aşağıda daha fazla bilgi bulacaktır.
Yukarıdaki tanımı anlamıyorsanız, entegre edilebilir sistemi "iyi" bir sistem olarak da değerlendirebilirsiniz. Ek olarak, güneş sistemini basitleştirmemiz gerekiyor:
Yalnızca güneşin ve sekiz gezegenin hareketini düşünün, tüm gezegenler tek bir nokta olarak kabul edilir ve güneşin durağan olduğu varsayılır;
Sekiz gezegenin devrim yörüngelerine diskler gibi davranın;
Gezegenler arasındaki etkileşimleri görmezden gelin.
Bu nedenle, güneş ve gezegenler arasındaki etkileşim şu şekilde basitleştirilebilir:
N-cisim probleminin dinamik özelliklerini analiz etmek için, bu sistemi açıklamak için Hamilton sistemini kullanıyoruz:
Hamilton mekaniğinin temeli olan okuyucular, konum-momentum eşlenikinden farklı olarak, açı ve açısal momentumun sistemin iki bağımsız değişkeni olarak kabul edildiğini bulabilirler.Bunun nedeni, gezegensel yörüngelerin analiz için uygun olan dairesel olmasıdır. Hamilton mekaniğine aşina değilseniz, bu paragrafı göz ardı edebilirsiniz.
Açısal momentumun tamamı sabit olduğundan (açısal momentumun korunumu), o zaman sadece açıdaki değişikliği dikkate almamız gerekir. Gezegenin devriminin periyodik olduğuna, dolayısıyla zamanın periyodik bir fonksiyonuna dikkat edin. Öte yandan, n gezegen n açıya karşılık gelir, böylece güneş sistemini kontrol eden güç sistemi n boyutlu bir lastik yüzeyinde tamamen kavranır.
Yukarıdaki açıklamaların tümü matematik dilinde açıklanırsa, ünlü Liuville-Arnold teoremini (aynı zamanda Değişmez torus teoremi olarak da bilinir) elde ederiz.
Elbette lastik sırtının neye benzediği farklı açısal momentum değerine bağlıdır. Bununla birlikte, güneş sisteminin stabilite problemi böylece lastik yüzeyindeki yörüngenin (akış) stabilitesine dönüştürülür - eğer yörünge küçük bir bozulma altında hala periyodikliği koruyabilirse, o zaman gezegen yörüngesinin küçük bir bozulma altında olduğunu kanıtlamaz. Periyodik devirleri de sürdürebilir mi?
Peki bu kadar "küçük bir karışıklığı" nasıl tanımlarsınız? Tüm güneş sisteminin toplam enerjisinin korunduğunu biliyoruz (güneş enerjisinin 0 olduğunu varsayarak), bu nedenle Hamiltoniyeni H_0 güneş sisteminin toplam enerjisi olarak alabiliriz:
Burada ve J'nin her ikisi de n boyutlu vektörlerdir. Yukarıda tanımlanan güneş sisteminin "toplam enerjisi" nin yalnızca güneşin gezegenler üzerindeki çekimsel potansiyel enerjisini içerdiğini ve gezegenler arasındaki etkileşimi içermediğini belirtmek gerekir. "Küçük rahatsızlık" ı toplam enerji terimine bir rahatsızlık olarak tanımlayabiliriz, dolayısıyla rahatsızlıktan sonraki toplam enerji
Komogorov ve diğerlerinin asıl amacı, yukarıdaki ilişkiyi, neredeyse entegre edilebilir bir sistem olarak da bilinen entegre edilebilir bir sistemle güneş sistemindeki tüm küçük bozuklukları yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanmaktı. Aslında, aşağıdaki teorem H_0 (J) 'nin entegre edilebilir bir sistem olduğunu garanti eder:
Teorem 1:
Bir Hamilton sistemi H'nin semplektik bir manifold M üzerinde tamamen integrallenebilir olması için gerekli ve yeterli koşul, M üzerindeki her nokta için H'nin bağlı olmaması için yerel bir koordinat olmasıdır.
Açıkçası H_0 (J) 'ye bağlı değildir, bu yüzden entegre edilebilir bir sistemdir. mükemmel!
KAM teoremi oldukça gizemli olsa da, artık perdesini kaldırmaya yetti:
Teorem 2 (KAM teoreminin ilk bölümü) :
Aşağıdaki sistemler için ((*) olarak belirtilir)
H_1'in periyodik bir fonksiyonu olduğunu ve H_0 (J) 'nin Hessian matrisinin dejenere olmadığını varsayalım.
Yeterince küçük olduğunda, sistemin (*) lastik izlerinin çoğu (yani, daha önce bahsedildiği gibi lastik yüzeyindeki yörünge) kırılmayacak, ancak şekil (gezegenin periyoduna, dönüş yarıçapına karşılık gelir) biraz oluşacaktır. değişiklik.
Güneş sisteminin "toplam enerjisi" H_0 (J) 'nin Hessian belirleyicisinin dejenere olmayan köşegen bir matris olduğunu doğrulamak kolaydır, bu nedenle yukarıdaki teoremin koşullarını yerine getirir. Bu teorem bize, güneş sistemindeki "çoğu" gezegenin küçük rahatsızlıklar altında periyodik olarak güneşin etrafında dönebileceğini söyler! Bu, güneş sisteminin istikrarının ana nedenidir.
Ama kaç tane "ezici çoğunluk" var? Bu, gezegenin belirli devrim dönemine bağlıdır ve sayı teorisindeki Diophantine yaklaşımı ile ilgilidir.
Teorem 3 (KAM teoreminin ikinci kısmı) :
bu durumda
onların arasında > n, daha sonra böyle bir bileşimin setinin n boyutlu lastik yüzeyi T ^ n üzerinde dolu olduğu ölçülür. Şu anda, Teorem 2'nin seçimi L ve.
Bu teorem bize "çoğunluğun" frekans vektörleri Teorem 3'ü karşılayan tüm yörüngeleri ifade ettiğini söyler. Tanıma göre, herhangi iki gezegenin periyot oranı en azından irrasyonel olmalıdır, aksi takdirde güneş sistemi o kadar kararlı olmayabilir. Bu tür periyodik yörüngelere rezonanssız denir.
Bu bölümdeki tüm teoremlerin ispatları veya içinde bulunabilir.
Dördüncüsü, KAM teorisinin sınırlamaları
Önceki bölümden, KAM teorisinin göksel mekanik ve matematiğin mükemmel bir kombinasyonu olduğunu görebiliriz. Gök mekaniği perspektifinden bakıldığında, bu teori çok cisim probleminin karmaşıklığını akıllıca atlar ve gezegensel hareket yasalarını doğrudan benzersiz bir yaklaşım olan kararlılık perspektifinden inceler; matematiksel bir perspektiften, teori bütünleşir. Modern matematikteki birçok kavram, dinamik sistemler konusunun gelişimini büyük ölçüde desteklemiştir ve üç Wolfe Matematik Ödülü kazanmayı hak etmektedir.
Bununla birlikte, yukarıda sunulan KAM teorisi yalnızca en klasik çerçevedir ve güneş sisteminin kararlılığını tam olarak kanıtlayamaz. Sebeplerden biri "küçük rahatsızlıkların" anlaşılmasında yatmaktadır.Örneğin, güneş sisteminin kapalı olduğunu varsayarsak, bu tür "küçük karışıklıklar" gezegenler arasındaki etkileşimden gelmelidir.Gezegenler arasındaki mesafe sürekli değiştiği için teorem 2 Rahatsızlık terimi H_1 mesafeye bağlı olmalıdır, yani
r_i, i'inci gezegen ile güneş arasındaki mesafeyi temsil eder
Farklı gezegen mesafelerinin neden olduğu "rahatsızlık" da farklıdır
"Küçük parazit" terimi yukarıdaki gibi değiştirilirse ve Teorem 2 hala kurulacaksa, o zaman güneş sisteminin "toplam enerji" terimi H_0 da r mesafesine ve hatta gezegenlerin hızına bağlı olmalıdır. Önceden tanımlanan H_0 yalnızca J açısal momentumuna bağlı olduğundan ve H_0'ın mesafe ve hız değişkenlerine olan türevlerinin tümü 0 olduğundan, H_0'ın Hessian matrisi oldukça bozulmuştur ve Teorem 2'nin koşulu karşılanmamıştır! Bir gecede kurtuluş öncesine döndüğü söylenebilir.
Belki de bu nedenle Arnold, bu yazıda bu sorunu bir ölçüde çözen yeni bir KAM teorisi önerdi. Bununla birlikte, birçok teknik ayrıntı içerir ve rahatsızlık terimi için daha katı matematiksel koşullar ortaya koyar ve uygulanabilirliği hala sınırlıdır.
sonuç olarak
Astronominin bir dalı olarak, gök mekaniğinin en parlak dönemi muhtemelen Rönesans, yani dört yüz yıldan fazla bir tarihe sahip olan Kopernik ve Kepler çağıdır. Genel göreliliğin ortaya çıkması ve radyo astronomisinin gelişmesiyle birlikte, modern astronominin ana odağı çok değişti (karanlık madde karanlık enerjisi, gama patlamaları, yerçekimi dalgaları vb.), Ancak geleneksel gök mekaniğinde hala çözülmemiş birçok sorun var. Güneş sisteminin kararlılığı da dahil olmak üzere tamamen çözüldü. Bu açıdan KAM teorisi, gök mekaniğinin yeniden canlandırılmasıdır.
Bir n-cisim problemi veya KAM teorisi olsun, fizik geçmişleri klasik mekaniğe dayansa da, ilk bakışta modası geçmiş görünüyorlar. Ancak editörün bu makalesinden, bu iki alanda hala çalışılmaya değer birçok problem olduğunu görüyoruz. Öte yandan, bu iki "klasik" teori, modern matematiğin ve dinamik sistemler, yoğun madde fiziği (özellikle kuantum çoklu cisim problemleri) ve daha genel doğrusal olmayan bilim gibi diğer doğa bilimlerinin gelişimini büyük ölçüde desteklemiştir. Editör bu kavramları önceki makalelerde birçok kez ele almıştır ve bu konuları ilerideki makalelerde tartışmaya devam edecektir.
Ne kadar sofistike teoriler ve kavramlar olursa olsun, içsel bir güzellik vardır, ancak birçok teori Bai Juyi tarafından tanımlanan pipa kızına benzer. "Hala pipayı tutmanın ve yüzünün yarısını kapatmanın" utangaçlığı altında "altı saray, pembe ve renksiz" Yang Guifei yok Bu güzellik apaçık. Okurlardan, son teknoloji bilimin ihtişamına bir göz atmak için editörün resmi hesabına dikkat etmeleri rica olunur.
Matematiğin güzelliği sadece sayılara ve bakış açılarına değil, aynı zamanda doğa bilimleriyle bütünleşmesine de yansımıştır.
Referanslar
V.L. Arnold, "The Mathematical Method of Classical Mechanics", çeviren Qi Minyou, Higher Education Press, 2006.
Jerrold E.Marsden ve Ralph Abraham, Mekaniğin Temelleri, 1994.
Ma Tian ve Wang Shouhong, "Doğrusal Olmayan Evrim Denklemlerinin Kararlılığı ve Iraksaması", Modern Matematik Temel Serisi, Science Press 2006.
Arnold, V I (1963b) Klasik ve Göksel Mekaniğin küçük bölen problemleri. Russian Math. Survey 18: 85-191.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_approximation_theorem
