Küçük Dünya Fenomeninin Arkasındaki Üniversite Soruları
Kuzey Denizi ve Güney Çin Denizi bin manzaraya sahiptir ve beş dağ ve üç dağ gökyüzünde uzanmaktadır.
Han Batı Avrupa'yı üç kez fethetti ve kahramanın sırtı dünyayı çevreledi.
İnsanların uçsuz bucaksız dünyasında, aniden geriye baktı ve garipti.
Dağlar ve nehirler endişe verici olmaktan uzaktır ve izler altı derece elde edilebilir.
-Açılış şiir
"Dünya çok büyük, onu görmek istiyorum." Birkaç yıl önceki özgür ve otoriter izin notunun ardında, insanlar dünyayı merak ediyor. Ancak dünyayı dolaşmanın güzelliğinden bahsetmiyorum bile, "ülke çapında seyahat etmek" bile kadimlerin yazılarında kötümser bir şekilde "yerinden edilme" ye dönüştü. Örneğin, Su Dongpo'nun ayak izleri tüm dünyada ve bugün yüzlerce arkadaş çevresi göndermek yeterli gibi görünüyor, ancak aslında sabit bir yeri yok ve etrafta dolaşıyor (Su Dongpo tarafından yazılan "Su Dongpo" makalesine bakın).
Su Dongpo'nun yaşam yörünge haritası
Eski zamanlarda ulaşım gelişmemişti ve gezginler ve aileleri aile mektuplarına güvenmek zorundaydı. Aile mektubunun bacakları yoktur ve kendi başına hareket edemez. Yalnızca posta veya uçan güvercin aracılığıyla iletilebilir. Şu andan farklı olarak Li Lei, klavyeye dokunup fareyi hareket ettirerek Han Meimei'ye bir mesaj göndermek istiyor. Wu Yanbo'nun bilgileri çalmasından korkmuyor. (Tabii ki Wu Yanzhu'nun kuantum bilgisayarı olmadığı ve büyük tam sayıları hızlıca çözmediği varsayılmalıdır), güvenli ve hızlı. Kadimlerin gözünde, dünyadaki Taihang Kral Evi, Lao Wang'ın internet çağındaki yandaki evinin küçük eşiğiyle aynı. İnternet, insanlar arasındaki bağı büyük ölçüde geliştirdi ve dünya, ekranın diğer tarafında küçük bir dünyaya yoğunlaştı.
Küçük dünyadan bahsetmişken, çoğu okuyucu duymuştur Küçük dünya hukuku , Aynı zamanda Altı Derece Ayırma Teorisi (Altı Derece Ayırma). Bu teori, dünyadaki herhangi iki insan arasında en fazla 5 aracı olduğunu ileri sürer (matematik dilinde, "ortalama minimum yol" 6'dır).
Li Lei, beşe kadar aracı aracılığıyla herhangi birine ulaşabilir (yukarıdaki resimde Han Meimei)
Bu yasanın en şaşırtıcı yanı, İnternet çağından önce zaten var olmasıdır! Başka bir deyişle, trafiğin gelişmediği Kuzey Song Hanedanlığı'nda, Hainan Adası'nda tatilde olan Su Dongpo'nun da Shandong Wu Dalang tarafından yapılan susam tohumlarını yemek için sadece beş aracıya ihtiyacı vardı! "Ülke pitoresktir ve aynı anda birçok kahraman vardır" - küçük dünyanın yasalarına göre, beş kahraman pitoresk bir ülkeyi örebilir.
Küçük dünya hukukunun kaynağı
Peki küçük dünyanın yasası nasıl keşfedildi? İlk olarak radyonun babası tarafından yaratıldı Marconi (Guglielmo Marconi, 1909 Nobel Fizik Ödülü) 20. yüzyılın başlarında tahmin edilmiş ve 60 yıllık deneylerle sosyal psikolog Stanley Milgram tarafından doğrulanmıştır. Milgram Deneysel fikir çok basit:
-
Amerika Birleşik Devletleri'nin merkez bölgesinde rastgele olarak yaklaşık 300 sakini seçin ve onlara talimatların bulunduğu bir paket gönderin; paketi Boston'da belirlenmiş bir hedefe göndereceklerini umarak (Boston çok uzaktadır ve çoğu insan bu belirlenmiş nesneyi bilmiyor);
-
Elbette paket doğrudan teslim edilemez, sadece tanıdığınız birine teslim edilebilir ve paketin kime teslim edildiğini belirtmeniz gerekir. Bu şekilde, paketin kaç kişiden geçtiğini sayabiliriz.
Paketi alan kişinin talimatlara kesinlikle uyması durumunda paketi, deneyin başarısı için önemli bir ön koşul olan "belirlenen hedefi bilme olasılığı daha yüksek olan" bir kişiye teslim etmesi düşünülebilir. Bununla birlikte, itaatkar olmaya istekli çok fazla yabancı yoktur.Sonunda, etkili verilerin dörtte birinden daha azıyla sadece 64 paket belirlenen hedefe başarıyla ulaştı. Milgram, bu 64 paketten geçen aracı sayısının 1 ila 10 kişi arasında değiştiğini ve aracıların medyanının tam olarak 5 (not, ortalama değil) olduğunu ve böylece küçük dünya yasasını "doğruladığını" buldu.
Sıkı okuyucular, tüm doğrulama sürecinde tartışılması gereken birçok nokta olduğunu fark etmiş olabilirler, örneğin:
Bu kusurlar Milgramın deneyinin sosyoloji alanında bir klasik olmasını engellemez çünkü sosyoloji çok fazla faktör içerir ve deney mükemmel olamaz. Bununla birlikte, dikkat etmemiz gereken şey, "küçük dünya hukukuna" diyalektik olarak nasıl davranılacağıdır yasa (Hukuk) ve matematiksel olarak teorem (Teorem) tamamen farklıdır: Birincisi kesin kanıt gerektirmez, sadece "büyük ölçüde kanıtlanmış". Diğer bir örnek, tümü deneysel gözlemlerle elde edilen yasalar olan Newton'un hareket yasası ve Hubble yasası gibi fizik yasalarıdır. Ve kesinlikle matematiksel yöntemlerle kanıtlamanın bir yolu yok . Bununla birlikte, Büyük Sayılar Yasası gibi bazı yasaların başlangıçta deneylere dayalı olarak önerilmiş olmasına rağmen, birçok durumda matematiksel olarak titizlikle kanıtlanmış olduklarını belirtmekte fayda var.
Küçük dünyanın yasasını katı matematiksel yöntemlerle kanıtlamak zor olduğundan, onu incelemek için daha ikna edici bir yöntem nasıl kullanılır?
Grafik Teorisinde Küçük Dünya Ağı
Editör, bilim camiasındaki önemli konumunu gösteren daha önceki birçok makalede ("Alpha Dog vs Einstein", "StarCraft" vb.) "Grafik teorisi" kavramından bahsetmişti. Figür (Grafik) kavramı çok basittir, bazılarından başka bir şey değildir Düğüm V (Düğüm) ve bağlantı düğümü yan (Kenar) E, G = (V, E) 'nin oluşturduğu iki tuple. Sosyal ağdaki bireylerin düğümlerle temsil edilebileceğini düşünmek kolaydır; iki birey arasında bir bağlantı varsa, onları birbirine bağlamak için kullanın, böylece sosyal ağ bir grafik teorisi modeline soyutlanır. Görünüşte basit olan bu fikir, görelilik ve kuantum mekaniğinin yükselişinden on yıldan fazla bir süre sonra, 1930'lardan sonra yavaş yavaş insanların dikkatini çekti.
Sosyal ağlar grafiklerle ifade edilebildiğinden, küçük dünya fenomenlerini incelemek için doğal olarak grafik teorisini kullanmayı düşünüyoruz? 1998'de Amerikalı sosyolog Watts ve matematikçi Strogatz, bugün Watts-Strogatz modeli olarak adlandırılan basit ve pratik bir grafik teorisi modeli tasarladı. Algoritması aşağıdaki gibidir:
N düğümleri (n_1, n_2, ..., n_N) bir daire üzerinde eşit olarak düzenleyin ve her düğüm etrafındaki en yakın K düğümüne bağlanır (K genellikle çift sayı olarak alınır ve K < < N, aksi takdirde her düğüm çok fazla başka düğüme bağlıdır, bu da çok fazla giden):
Bu grafikteki düğüm sayısı N = 20 ve her düğüm K = 4 bitişik düğümü birbirine bağlar
Adım 1'deki her kenarın (bu kenarların bitişik düğümlere bağlandığına ve nispeten kısa bir uzunluğa sahip olduğuna dikkat edin), n_j ve n_i düğümlerini bağlama gibi p olasılığı ile "mutasyona uğramış" olması için bir aralık olasılığı p seçin (i < J) 'nin "kısa" tarafı, n_j ve n_k'yi bağlayan "herhangi bir uzunlukta" tarafa dönüştürülür (n_k herhangi bir düğümdür). Mutasyon sonuçları aşağıdaki gibidir:
"Mutasyon" olasılığından sonra yeni ağ p = 0.1
Mutasyon olasılığı 1 ise, küçük dünya ağı bir karmaşa haline gelir:
Hem uzun kenarlar hem de kısa kenarlar "mutasyondan" sonra oluşturulabileceğinden, bitişik düğümleri birbirine bağlayan hala birçok kenar vardır.
Bunun küçük dünya yasasıyla ne alakası var? Altı derecelik ayrılma olgusu, grafik teorisinin dilinde tanımlanmışsa, o zaman küçük bir dünya grafiğidir. Ortalama en kısa yol (Ortalama Ortalama Yol) 6'yı geçmez. Ortalama en kısa yolun kesin tanımı aşağıdaki gibidir:
20 düğüm durumunda farklı mutasyon olasılıkları p altında ortalama en kısa yolu hesaplayalım. Aşağıdaki kodu kullanın (editör python kullanır, burada "networkx" adlı makro paketi tüm süreci çok kolaylaştırır):
#! / usr / bin / env python
# - * - kodlama: utf-8 - * -
networkx'i nx olarak içe aktar
numpy'yi np olarak içe aktar
matplotlib.pyplot dosyasını plt olarak içe aktar
def DrawGraph (G, ind, p): # çizim fonksiyonu
pos = nx.circular_layout (G) # daire şeklinde düzenlenmiş
nx.draw (G, pos, node_color = 'b', node_size = 50, with_labels = False)
plt.text (-1,1, 'p =% f'% (p))
__name__ == '__ main__' ise:
# 20 düğüm, her nokta 11 farklı p değeri alarak yakınlardaki iki düğüme bağlıdır:
n, k, N = 20, 4, 11
p = np.arange (N) * 1 ./ (N-1)
np.arange (20) 'de temsilci için: # 20 küçük dünya haritasını simüle et
foo = 0.
np.arange (N) olarak ind için:
# Küçük dünya ağı oluşturun
G = nx.watts_strogatz_graph (n, k, p)
# Ayrılmış düğümlerin sayısının ortalamasını hesaplayın
foo = nx.average_shortest_path_length (G)
toplam + = foo * 1. / 20
DrawGraph (G, ind, p) # Grafik çizin!
Aşağıdaki dağınık istatistikleri elde etti:
Toplam 20 küçük dünya ağının ortalama en kısa yolları hesaplanır
Mutasyon olasılığı p = 0 olduğunda, ortalama en kısa yolun 3'e yakın olduğunu ve mutasyon olasılığı sadece 0,1 olsa bile, ortalama en kısa yolun doğrudan 2,5'in altına düştüğünü görebiliriz. Düğüm sayısını 200'e çıkarırsak (K = 4 değişmeden kalır) ve mutasyon olasılığını 0'dan 0,2'ye değiştirirsek, altı derecelik ayırma fenomeni ile daha uyumludur:
P arttıkça, ortalama en kısa yol hızla 25'ten düşer ve p yaklaşık 0,125 olduğunda 6'ya yaklaşır.
Bazı okuyucuların bu basit model hakkında soruları olabilir: Gerçek sosyal ağ gerçekten Watts ve Strogatz tarafından tanımlandığı gibi mi? Gerçek sosyal çevrenin çok karmaşık olduğunu bilmelisiniz! Dolayısıyla, Watts ve Strogatz'dan (yani yaklaşık 20 yıl kadar) sonra, kendi kendine benzerliğin dikkate alınması gibi diğer birçok küçük dünya modeli ortaya çıktı (Öz-Benzerlik, bu kavram ilk olarak matematikteki fraktal teoriden ortaya çıktı, Hızla fizik ve sosyal iktisatta önemli bir fikir haline geldi ve editör gelecekte bu fikre odaklanacak) Barabási-Albert modeli ve Kleinberg ortalama en kısa yolu matematiksel açıdan daha rahat hesaplamak için Yukarıdaki model tanıtıldı. Küçük dünya ağı üzerine araştırma yeni başladı.Okuyucular bu fikre göre en sevdikleri modelleri bile oluşturabilir ve ortaya çıkan alanı hissedebilirler.
Kleinberg modeli, iki boyutlu bir ızgara üzerinde bir ağ modelidir. N düğümlü Kleinberg modelinin ortalama en kısa yolu (log (N)) ^ 2'dir.
Sadece sosyal ağlar değil
Belki Watts ve Strogatz, 20 yıl önce yaptıkları modelin sadece sosyologların ilgisini çekmekle kalmayıp, diğer disiplinlerden de büyük ilgi gördüğünü düşünmezlerdi. Örneğin, yaşam bilimlerinde grafik teorisinin uygulaması kabaca şu şekilde özetlenmektedir:
Biyolojik problemlerle ilgili grafik teorisi (ağ) modellerinin hepsi çok karmaşıktır ve birçok düğüm vardır. Ama hepimiz hayatın kendi kendini düzenleme yeteneğinin çok verimli olduğunu biliyoruz.Günlük duygularımızın, üzüntülerimizin, üzüntülerimizin ve sevinçlerimizin temelde üç karmaşık nöron ağının, gen düzenlemesinin ve metabolizmanın çevreden etkilenmesinden kaynaklandığına inanıyorum. Makro etki (okuyucular kendi fikirlerini ortaya koyabilirler). Belki de küçük dünya fenomeni teorisi, yaşamın neden bu kadar çok düğümü verimli bir şekilde "manipüle edebileceğini" daha iyi açıklayabilir.Örneğin, literatür, nöron modellemede küçük dünya modellerinin uygulamasını özetler.
Fizikçilerin küçük dünya fenomeni hakkında başka fikirleri var. İngiliz fizikçi ve karmaşık ağ teorisinin kurucusu Mark Newman (istatistiksel fizikte doğdu), faz geçiş teorisinin keşfettiğini keşfetti. Kendiliğinden simetri kaybı (Spontane Simetri-Kırılma, sıcaklık kritik bir değeri geçtiğinde, sistemin kararlılığı değişir), küçük dünya ağlarının yüksek kümelenme özelliklerine oldukça benzerdir (Yüksek Kümeleme, örneğin, sosyal ağlardaki arkadaş çevresi bir kümedir). Böylece ikisini birbirine bağlar.
Kümeleme, küçük dünya ağları ve yoğun madde fenomeni arasında meydana gelir (faz geçişlerinin bir sonucu)
Yoğun madde fiziği, modern fiziğin ana akımlarından biridir ve faz geçişi fenomeni ile yakından bağlantılıdır. Yaşam bilimlerindeki grafik teorisi modelleri gibi, faz geçiş teorisinde de birçok farklı model vardır. Ising modeli (Başlangıçta, ferromanyetik sistemlerde manyetizmanın ani kayboluşunun garip fenomenini incelemek için kullanılır), XY modeli (2016'da Nobel Fizik Ödülü'nün doğmasına yol açan sıvı kristal ve He-3 süperakışkanlık faz geçişi gibi ince tabakalı malzemelerin faz geçişini simüle edebilir) ve daha genel Heisenberg Modeli Bekle, gelecekte de bu kavramları tanıtmaya devam edeceğim.
Biyolojideki çeşitli karmaşık grafik teorisi modelleriyle karşılaştırıldığında, ayrık faz geçiş modeli esas olarak kristallerin faz geçişini inceler, bu nedenle düğümler genellikle düzenli ızgara noktalarında kurulur; ancak küçük dünya ağları perspektifinden, aşamayı görebiliriz Değişken model ile çeşitli biyolojik ağ modelleri arasında birçok benzerlik vardır. Bu farklı fenomenlerin arkasındaki benzerlikleri bulmak için, ana araç olarak matematiğe hala güvenmemiz gerekiyor. Örneğin, Ma Tian ve Wang Shouhongun çalışması, diferansiyel denklem modelleme yöntemini kullansalar bile bu fenomenlerin bir özetidir (bu sürekli modellemedir Yöntem, ayrık modellemeden farklı olarak, her iki yöntemin de avantajları ve dezavantajları vardır).
sonuç olarak
Küçük dünya ağının açıklayabileceği, p2p ağlarının inşası, akademik çevrelerin kurulması ve gelişmesi ve başkanlık seçimlerinde oy vermenin analizi gibi literatürde tanıtılan birçok başka fenomen var.
Küçük dünya modeli fikrini kullanarak, bir p2p ağı daha etkili bir şekilde kurabiliriz
Matematik alanında, grafik teorisi yüzlerce yıldır varlığını sürdürmektedir ve bu yön, yerli matematik bölümünde fazla ilgi görmemektedir. Ancak internet çağında farklı branşların entegrasyonu ve bilgi çeşitliliği eğilimi ile grafik teorisi yavaş yavaş değerini göstermektedir. Rastgele grafik teorisi (Rastgele Grafik, grafik teorisi + olasılık teorisi), Topolojik veri analizi (Topolojik Veri Analizi, grafik teorisi + cebirsel topoloji + Riemann geometrisi), Tropikal geometri (Tropikal Geometri, grafik teorisi + cebirsel geometri, kategori teorisinin dilini kullanmaya gerek yok) Son zamanlarda ortaya çıkan bu matematiğin dalları gittikçe daha fazla ilgi görüyor ve bunlar grafik teorisine dayanıyor.
Yeni şeyler her zaman birçok soruya tabidir.Birçok matematikçi, kısmen bu konuların temeli "çok basit" olduğu için bu yeni konulara inanmaz. Bununla birlikte, her zaman gerçekten iyi matematiğin basit problemlerle körü körüne soyut ve karmaşık olmaktan ziyade özlü, güzel ve son derece evrensel olması gerektiğine inandım. Tıpkı Watts-Strogatz'ın küçük dünya modeli gibi, çok basit bir teorik temel birçok karmaşık doğa olayını açıklayabilir.
Son olarak, okuyucular mesajlar, tartışmalar, şikayetler ve sorular bırakabilirler!
Farklı p değerleri altında küçük dünya ağı
Referanslar:
Guglielmo Marconi, 1909, Nobel Dersi, Kablosuz telgraf iletişim.
Travers, Jeffrey ve Stanley Milgram, 1969. "Küçük Dünya Probleminin Deneysel Bir Çalışması." Sociometry, Cilt 32, No. 4, s. 425-443.
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#cite_note-1.
Watts, D. J., Strogatz, S. H. (1998). "Küçük dünya 'ağlarının kolektif dinamikleri". Nature 393 (6684): 440-442.
Mandelbrot, Benoit B. (1982) Doğanın Fraktal Geometrisi.
Albert, Réka; Barabási, Albert-László (2002). "Karmaşık ağların istatistiksel mekaniği". Modern Fizik İncelemeleri. 74 (1): 4797. Bibcode: 2002RvMP ... 74 ... 47A.
https://courses.cs.washington.edu/courses/cse522/05au/martel-smallworld.pdf.
arXiv: 1608.05665.
https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0303516.
Tian Ma ve Shouhong Wang, Faz Geçiş Dinamikleri, Springer, s. 555, 2013.
Hui, K.Y., Lui, J.C., ve Yau, D.K. (2004). P2P ağları üzerinde küçük dünya. IWQoS.
Bu makale kamu hesabındandır Popüler bilimin öncüsü (ID: kpzqxyxg) Yeniden yazdırma yetkisi
Yayıncı: Cloudiiink
En Yeni 10 Popüler Makale
Görüntülemek için başlığa tıklayın
