Matematikteki akıllı ispat prosedürleri nelerdir?
Matematiksel formüller hakkında birçok kanıt vardır ve birkaç ortak formülün ustaca kanıtlama süreci aşağıda tanıtılmıştır.
(1) Doğal sayıların küplerinin toplamı = doğal sayıların toplamının karesi
Yukarıdaki denklemin sol tarafı, doğal sayıların küplerinin toplamıdır ve denklemin sağ tarafı, doğal sayıların toplamının karesidir. Denklem, sırasıyla sol ve sağ taraftaki hesaplama formüllerini türeterek kanıtlanabilse de, yukarıdaki denklem aşağıdaki grafik aracılığıyla sezgisel olarak kanıtlanabilir:
Doğal sayıların küplerinin toplamına bakarsanız, içindeki küplerin sayısı, doğal sayıların toplamının karesidir, bu nedenle yukarıdaki denklem ispatlanabilir.
(2) Pisagor teoremi
Bu formül Pisagor teoremidir. Shang Hanedanlığı sırasında Çin, dik açılı üçgenin özel bir durumunu keşfetti - üç öğe, dört öğe ve beş öğe. Daha sonra Çinli ve yabancı matematikçiler bu formülü kanıtlamak için çeşitli yöntemler kullandı. Aşağıdakiler, Pisagor teoremini kolayca kanıtlayabilen Garfieldın ispat yönteminin bir çeşididir:
Büyük meydanın alanı:
(a + b) ^ 2
Büyük karenin alanı da dört üçgenin alanı ile küçük karenin alanı toplamına eşittir:
4 × (1 / 2ab) + c ^ 2
Bundan aşağıdaki formül elde edilebilir:
(a + b) ^ 2 = 4 × (1 / 2ab) + c ^ 2
Basitleştirdikten sonra, Pisagor teoremini elde edebilirsiniz:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
(3) Euler'in kimliği
Bu formül, en güzel matematiksel formül olarak bilinen ünlü Euler denklemidir. Çok basit bir formül matematikteki en önemli sabitleri - doğal sabit e, hayali sayı birimi i, pi, doğal sayı 1, doğal sayı 0 ve en önemli matematiksel semboller - artı işareti +, eşittir işareti = birleştirir.
Euler'in kimliği aşağıdaki Euler formülünden türetilmiştir:
Euler formülünün sol tarafında e ^ (i) Taylor açılımının gerçekleştirilmesi elde edilebilir:
Sonra sırasıyla cos ve sin üzerinde Taylor açılımını gerçekleştirerek şunu elde edin:
Açıktır ki, cos ve sin'nin toplamı, tam olarak e ^ (i) 'ye eşittir, bu da Euler formülünün geçerli olduğunu kanıtlar. O zaman Euler formülünde = olsun ve aşağıdaki formül elde edilebilir:
e ^ (i) = - 1 + 0
Yukarıdaki formülün terimlerini değiştirerek, sonunda Euler kimliğinin ortak biçimi türetilebilir.
(4) Pi'nin irrasyonel olduğunu kanıtlayın
İnsanlar Pi'yi üç bin yıldan daha önce kullanmış olsalar da, matematikçiler Pi'nin ilk kez irrasyonel bir sayı olduğunu iki yüz yıldan daha uzun bir süre önce kanıtladılar. Pi'nin irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlamanın birçok yolu vardır: Aşağıdaki matematikçi Ivan M. Niven tarafından verilen ispat yöntemi: Bu yöntem basit ve ustaca.
Eğer bir rasyonel sayı ise, aşağıdaki formülün geçerli olması için a ve b tam sayıları olmalıdır:
= a / b
Aşağıdaki iki işlevi oluşturun:
Burada n, pozitif bir tam sayıdır.
Açıkçası, f ^ k (0), f ^ k (), F (0) ve F () tam sayılardır. Ayrıca, f (x) ve f ^ k (x) 'in her ikisi de f (x) = f (-x)' i karşılar ve her ikisi de x = 0 ve x = 'da integrallenebilir.
Sonra G (x) = F '(x) sinx-F (x) cosx fonksiyonunu oluşturun ve şunu elde etmek için türetin:
Yukarıdaki formülün her iki tarafını 0 ile arasında birleştirmek, aşağıdaki formülü verir:
Hem F (0) hem de F () tam sayı olduğundan, F () + F (0) da bir tam sayıdır. X (0, ) olduğunda, açıkça f (x) > 0 ve sinx > 0, yani f (x) sinx > 0, yani F () + F (0) > 0 ve f (x) sinx'in integrali pozitif bir tamsayıdır.
X (0, ) olduğunda, açıkça a-bx vardır < a, bu nedenle (a-bx) ^ n < a ^ n. Çünkü x ^ n < ^ n, dolayısıyla aşağıdaki eşitsizlik elde edilebilir:
Açıktır ki, kenetleme teoreminden n + , f (x) sinx 0 olduğunda, f (x) sinx'in integrali de 0'a yönelecektir. Bununla birlikte, yukarıdaki türetme, bu integralin pozitif bir tamsayı olduğunu gösterir, bu nedenle ikisi arasında bir çelişki vardır. Bu, = a / b'nin geçerli olmadığı anlamına gelir, bu nedenle pi irrasyonel bir sayı olmalıdır.
