g u t x .com.tr İpek yolu - Çin'i anlamaya götürürüm

Sezgisel ve karmaşık bir problem: "asgari olma" arayışı

Bu makale, "İlkeler" in yetkisiyle çoğaltılmıştır (WeChat herkese açık hesap: principalia1687),

İkinci yeniden basım yasaktır.

1. Güzel baloncukların getirdiği matematik bulmacaları

Düzlemdeki iki nokta arasındaki en kısa yol nedir?

Düz bir çizgi.

Düzlemde A ve B iki noktası arasındaki en kısa yol düz bir çizgidir ve diğer herhangi bir yol açıkça daha uzundur. | Resim kaynağı:

Çoğu insan bunu hafife alırdı, aksi halde ne olabilirdi? Bunun gerçekten böyle olduğunu kanıtlamak için katı matematik de kullanabiliriz. İki nokta arasındaki herhangi bir bağlantı yolu için, yolun uzunluğunu verebilecek bir formül vardır (hesabı biliyorsanız, bu formülün bir integral olduğunu bileceksiniz). Bazı cebirsel adımlarla, o formülün minimumunu bularak en kısa yolu bulabilirsiniz. Bu kanıt şuna aittir Varyasyon Yöntemi . Varyasyon yöntemi bir matematik dalına aittir, belirli koşullar altında bir miktar bulmakla ilgilidir. ekstremum Yöntemler.

Sorunu başka bir boyuta taşırsak, benzer sorunlar bizi sabun köpüğünün güzel dünyasına götürecektir.

Sabun köpüğü mükemmel bir şekle sahiptir ve köpük filmin ön ve arka yüzeylerinden yansıyan ışık birbirini engelleyerek renkli renklerle sonuçlanır. Sabun köpüğü matematik dünyasında da güzeldir çünkü Minimal yüzey Harika bir örnek. Köpüğün içindeki kapalı hava hacmi sabitlendiğinde, filmin yüzeyindeki gerilim en aza indirilecek ve böylece sabun köpüğünü belirli bir hacim altında çok küçük eğimli yüzeyli bir şekle, ki bu mükemmel bir küresel şekle çekecektir.

Küçük bir halka alıp sabunlu suya daldırırsak, halkada bir sabun filmi tabakası oluştuğunu görürüz Halkada oluşan film mümkün olan en küçük alana sahiptir. Bu filmin çeşitli şekillerde olduğunu düşünebilirsiniz, örneğin bazı çıkıntılar içerir, ancak aslında düz bir yüzeydir, çünkü bu alanı, yüzey gerilimini ve enerji-doğa basitliği sever. .

Bu matematikçiler için çok büyük bir problem teşkil ediyor: Düzlemdeki iki nokta arasındaki en kısa yolu bulmak nispeten kolay olabilir, ancak bir çerçevede en küçük alan yüzeyini de bulabilir miyiz? ? Aslında, minimal kavisli yüzey sadece büyük bir çerçevede oluşturulmuş kavisli bir yüzey değildir, aynı zamanda birçok küçük minimal kavisli yüzeyden oluşur.

Minimal yüzeyler bulmak son derece zor bir sorundur. 19. yüzyıla kadar insanlar yalnızca üç tür minimal yüzey biliyorlardı: düz , Katener ile Spiral yüzey .

Katener yüzeyi. | Resim kaynağı: Soapbubble.dk

Spiral yüzey, spiralin üç boyutlu bir versiyonu olarak kabul edilebilir. | Resim kaynağı: Exploratorium

2. En küçüğünü takip edin

Matematikçi Karen Uhlenbeck (Karen Uhlenbeck) 2019'da Abel Ödülü'nü kazandı. 16 yıl sonra Abel Ödülü'nü kazanan ilk kadın. 1966'da Uhlenbeck doktora derecesini aldı. Tezi " Varyasyon Yöntemi ve Global Analiz ". 1970'lerde tanıştığında Jonathan Sachs (Jonathan Sacks) Ondan sonra dikkati son derece küçük yüzeyler üzerine çalışmaya yöneldi. Uhlenbeck 2018'deki bir röportajda şunları söyledi: "Minimal yüzeyler hakkında pek bir şey bilmiyorum, ancak tartışıp birlikte çalışacağız. Minimal yüzeyler hakkında bilgi getirdi ve bunu getirdim Araştırmanın ana fikri. "

Minimal yüzeyleri enerji ile tanımlamak, alandan daha kolay ele alınabilen bir yöntemdir. İki nokta arasındaki yol uzunluğunun integraller ile tanımlanması gibi, eğri bir yüzeyin enerjisi de olabilir. Tek yapmanız gereken enerji formülünü en aza indirecek bir yüzey bulmak.

Yalnızca yol işleneceği zaman, sorun nispeten basittir. Çünkü farklı yollar, nihayetinde bir sınır yoluna yakınlaşana kadar giderek daha da yakınlaşacak.

Kırmızı yola yakınsayan mavi yolun şematik diyagramı. Sonsuz sayıda mavi yolun kırmızı yola giderek yaklaştığını hayal edebiliriz. | Resim kaynağı:

Enerji kavramı yakınsama ile yakından ilgilidir: A ve B arasındaki düz yollar kümesinde, her yolun enerjisi bir eşikten düşükse, bu kümeye bir dizi yol eklediğinizden emin olabilirsiniz. A ve B arasında sürekli bir sınır yoluna yakınsar. Birincil sorun, A ve B noktalarını birbirine bağlayan sonsuz sayıda yoldan en kısa yolu bulmak olduğundan, bu Sıkılık (Kompaktlık denir çünkü bir sınır vardır) Sonuç çok önemlidir.

Ancak problem eğimli bir yüzeye çıktığında, enerji benzer bir sonuç vermek için yeterli değildir. Sorun, eğimli bir yüzeyin birçok şekilde tanımlanabilmesidir. Daha az uygun bir örnek için, yüzeyinde tümsekler olan bir patates veya sönük bir futbol topu gibi deforme olmuş bir top gibi görünen eğimli bir yüzey hayal edelim.

Patatesteki her bir x noktası küre üzerindeki bir noktayla ilişkilendirilmişse, küre patates yüzeyinin bir eşlemesi olarak kullanılabilir. Ancak, bu noktaların nasıl bağlanacağına dair birçok farklı seçenek vardır, bu nedenle birçok farklı eşleme vardır. | Resim kaynağı:

Böyle bir yüzeyle başa çıkmak için, küreden yüzeye bir eşleme oluşturabilirsiniz: küredeki her nokta, deforme olmuş küredeki her noktaya karşılık gelir. Tam olarak küresel olmayan bir dünyayı temsil etmek için küresel bir küre üzerinde bir harita kullandığımızda yaptığımız tam olarak budur. Ancak küre üzerindeki hangi noktanın yüzeydeki hangi noktaya karşılık geldiğine dair birçok farklı seçenek olabilir, bu nedenle haritalama için birçok farklı seçenek vardır.

3. Bozukluk enerjisi

Uhlenbeck ve Sachs'ın matematik dünyasında, üç boyutlu uzaydaki yüzey (veya başka herhangi bir manifold) da bir tür haritalama ile tanımlanır. Bu durumda, bir yüzeyin enerji formülü, kullanılan haritalama türü ile illa ki ilişkili değildir, özellikle de mesafe ölçeğiyle hiçbir ilgisi yoktur. Bununla birlikte, bir dizi eşleme için ölçek çok önemli olabilir: eşlemenin yakınsamasını bozabilir, böylece çok küçük yüzeylerin varlığını kanıtlamak için ihtiyaç duyduğumuz kompaktlık sonuçlarını alamayız.

Uhlenbeck ve Sachs, bu sorunu çözmenin akıllıca bir yolunu buldu. Yüzey enerjisi için olağan ifadeleri değiştirdiler ve biraz farklı ifadelerle sonuçlandılar. Bu yeni ifadeler, kompaktlık sonuçlarını kanıtlamak için kullanılabilecek ölçeğin etkisini ifade edebilir. Bu, biraz farklı olan her ifade için anlamlı bir minimal eşleme bulabileceğimiz anlamına gelir. Biraz farklı bir dizi enerji ifadesi oluşturabiliriz ve bunlar orijinal enerji ifadesine yakınsar. Biraz farklı olan her ifadenin kendi minimal eşlemesi vardır, bu nedenle bir sonraki fikir, bu minimum eşlemelerin orijinal enerji ifadesine kıyasla herhangi bir anlamlı sonuca yakınsayıp yakınlaşmayacağını kontrol etmektir.

Uhlenbeck ve Sachs, en azından çoğu durumda anlamlı sonuçlara yaklaştıklarını kanıtladı. Kürenin bazı noktalarında, bu minimal eşleme dizisi yakınlaşmayabilir, ancak bu tür noktalardan yalnızca sınırlı sayıda vardır ve bu garip noktaları tanımlamak hala mümkündür: bu noktaların etrafındaki küçük bir alanda eşlemeyi ayarlayın Bu alanların haritalama tarafından tanımlanan eğimli yüzeylerde "kabarcıklar" halinde genişlediğini göreceksiniz.

M yüzeyinden N'ye haritalama. Garip bir noktanın etrafındaki küçük alan baloncuklara dönüştü. | Resim kaynağı: Amerikan Matematik Derneği Bildirileri

Ölçeği ayarlamak, Uhlenbeck'in "ana fikir" dediği şeydir Bu fikir, Uhhlenbeck ve Sachs'ın minimal yüzeylerin varlığıyla ilgili önemli sonuçları kanıtlamasını sağlar. Diğer birçok problemde uygulamaları vardır. Uhlenbeck şöyle dedi: "Çoğu problem tamamen geometriktir (ölçeği umursamayın). Eğer bir ölçüm bulma probleminiz varsa ve bir şekilde içsel bir dış ölçek yoksa, o zaman gerçekten bu ölçeği değiştirebilirsiniz."

4 Sabun köpüğünün ötesinde

Minimal yüzeyler üzerindeki matematiksel araştırma geniş kapsamlı bir öneme sahiptir. Uhlenbeck ve Sachsın bu alandaki katkıları, sonraki birçok büyük ilerlemenin temelini atmıştır. Hatta sabun köpüğü sorununun çok ötesinde fizik alanını da içerir: fizik Sadece görebildiğimiz fenomeni tanımlayan değil, aynı zamanda asla deneyimleyemeyeceğimiz çok küçük ve çok büyük ölçekli dünyaları da açıklayan her şeyin teorisini oluşturmaya çalıştım.

İlgili kavramlar, sabun köpüğü kadar sezgisel olmaktan uzaktır, ancak minimal yüzey teorisi ile ayar teorisi tarafından tanımlanan kuantum fiziği arasında matematiksel benzerlikler vardır. Uhlenbeck şunları söyledi: "Güçlü bir matematiksel gerçek, sezginin ve teknolojinin minimal yüzey teorisi ile ayar teorisi arasında ileri geri aktarılabileceğidir."

Geç matematikçi tarafından Michael Attia 1970'lerin sonunda (Michael Atiyah) 'dan esinlenen Uhlenbeck, dikkatini parçacık fiziği anlayışımızı destekleyen Yang-Mills teorisine çevirdi. Fizikçi matematikten rahatsız olduğunda, Uhlenbeck Yang-Millsell denkleminin çalışmasına titiz bir matematiksel bakış açısıyla öncülük etti ve bu süreçte kabarcık fenomenini ve kompaktlık kavramını keşfetti. Bu alandaki çalışmaları, normatif teoride sonraki tüm çalışmaların temelini attı. Fizik problemlerinden esinlenerek instantonlar üzerine bir araştırma başlattı ve sonunda saf matematik alanını tamamen değiştirdi.

Uhlenbeck matematikte birçok farklı yön olduğuna inanıyor ve bu farklı yönler arasındaki bağlantıları görmeyi çok umuyor. Diğer alanlarla ilgili matematikle çok ilgileniyor ve kurduğu bağlantılar da Abel Ödülü'nü kazandı.

Derleme: Crow Boy

Referans bağlantısı:

https://plus.maths.org/content/abel-prize-2019

Kaynak: İlke