11² tren kalkmak üzere, lütfen hazırlıklı olun
Yazar: Shen Lei Tung
Kaynak: Fun Math (ID: mathfun)
11²? Herhangi bir hata var mı? Okuyucu arkadaşlar sormak isteyebilir. Doğru, buradan başlayacağız, sessizce harika matematik krallığına girip dolaşacağız ve eğlenceyi almak için yemyeşil Baicao Bahçesine geleceğiz. Tuhaf karakterler ve farklı nesnelerle tanışabilir, "Yılan Yiyen" ile karşılaşabilir, "Haliç Kralı" nda casusluk yapabilir, "Tavşan Ailesi" ni gözlemleyebilir, bir "piramit" inşa edebilir ve "yıldızlı gökyüzüne" bakabilirsiniz, belki başka bir şey bulacaksınız. Ne?
1
numara
Adamın başında gevezelik etti, kelimeleri ve sayıları okudu. "1" den sayıları öğreniyoruz. Bir parmak, bir insan, bir ağaç, bir çiçek, bir köpek yavrusu, bir ev, bir yıldız vb. Bize "1" sayısı kavramını verdi. Tao Te Ching'e göre, Dao bir, bir, iki, iki, üç ve üç, her şeyi üretir. "1" den başlayarak 10 içerisindeki sayıları ve bir, on, yüz, bin, bir milyon, yüz milyon vb. Taban sayılarını sonsuza kadar biliyoruz.
İlkokuldayken "+, -, ×, ÷" nin dört aritmetik işlemini ve kuvvet ve kare çıkarma gibi işlemleri öğrendik. Çarpma aritmetik problemleri yaparken, iki basamaklı çarpma biraz zahmetlidir. Ancak 11 çarpanıyla karşılaştığımızda nadiren nefes alırız; çünkü çarpan ne kadar büyük olursa olsun, çarpan 11 olduğu sürece çarpma toplama olur - sütun çarpımı dikey olduğunda, önce dikey yatayda Çarpılanı çubuğun altına yazın ve ardından çarpanın numarasını bir sonraki satırda soldaki bir basamağa taşıyın ve son olarak iki satırlık sayı ekleyin.
Kanıt olarak örnekler var:
Bu, makinelerin bile yapabileceği aritmetik bir sorundur. doğru değil mi? Elektronik bilgisayarlar bu şekilde çalışır. Sadece bu değil, aynı zamanda ikili sayılar üzerinde de çalışır.Sırasıyla "0" ve "1" sayılarını temsil etmek için "açık" ve "kapalı" olmak üzere iki devre durumu kullanır.
Çarpan da 11 ise, o zaman biz mutluyuz!
Bir tane daha, biraz daha karmaşık:
Bir tane daha say:
111² = 111 × 111'e ne dersiniz?
Bak! Sayılar sıralanır, simetrik uçtan uca! Burada herhangi bir kanun var mı?
11'in doğal sayı kuvvetini, yani 11 rakamları arasındaki ilişkiyi bulalım. Bu numaraları düzenler ve bir yapı bloğuna yerleştirirseniz ne olur?
Şekil (1-1) 'de 0-4. Katmanlardaki sayıların sırasıyla 11'in 0-4 üslerine karşılık geldiği ve dijital yapı bloğunun her katmanının ortasındaki sayının sol olduğu görülebilmektedir. , Sağ omuzdaki iki sayının toplamı (ilk katmandan ise, yapı bloğu dışındaki ilk (kuyruk) "1" olan sol (sağ) omuz numarası "0" olarak kabul edilir, ardından birinci (kuyruk) pozisyon Rakamlar da bu yasaya uygundur), " Obur yılan ", ilk iki sayıyı bir ısırıkta karnın içine yutun ve her biri yeni bir" kafa "ve" kuyruk "geliştirir. Örneğin, dördüncü katman numarası: 14 64 1, burada 4 = 1 + 3,6 = 3 +3, sol ve sağ omuzlarındaki iki sayının toplamıdır.
5. katman ne olacak? Beşinci katman, 11'in 5. kuvvetine karşılık gelir, aşağıdaki gibi hesaplamak için dikey formülü kullanırız:
(1-6) Formüle toplarken, yüzlerin ve binlerin üst ve alt rakamlarının toplamı 10'dan büyük veya 1 ondalık basamağı aşıyor, yine de 1'den fazla basamak toplamını orijinal basamağa yazıyoruz. 11'in kuvvetinin sonucunu etkilemez, ancak polinom güç genişlemesinin katsayıları yasasını araştırmamız için bize kolaylık sağlar.
Farklı basamaklar arasındaki aralığı korumak için, 11'i 1 + i'ye (burada i bir harftir) değiştiririz, böylece iki terimli güç genişlemesinin katsayılarını çözebiliriz veya (1 + i) genişlemesini çözebiliriz.
2
formül
Sayıları temsil etmek için harfleri kullanın. Örneğin, sayıları temsil etmek, dört aritmetik işlemi, üsleri, kökleri vb. Gerçekleştirmek için a, b, c vb. Kullanın. Tek terimlilerimiz (a, ab, vb.) Ve polinomlarımız (a + b, a + b + gibi) c vb.).
Ayrıca toplama ve çarpma işlem yasasına göre:
Bu geçici yeterlidir, iki terimli gücü (a + b) genişletiriz. Gözlemi kolaylaştırmak için dikey formu listeleriz:
Tekrar
Karşılaştırma, bu bölümdeki polinom çarpım dikey ifadesinin esasen birinci bölümdeki çok basamaklı çarpma dikey ifadeyle aynı olduğunu göstermektedir: a harfinin azalan kuvvetinde düzenlenen polinomların katsayılarını alıp bunları ayrı ayrı düzenleriz. A + b katsayıları gibi bir satır şu şekilde düzenlenir:
11
Sonra onu bir sıra sola hareket ettirin (buradaki bit a harfinin gücünü temsil eder) ve orijinal sayıya bit şeklinde ekleyin, örneğin (1-2),
12 1
Benzetme yoluyla, ilk bölümdeki dijital yapı bloğunun (Şekil (1-1)) karşılık gelen katmanındaki sayılarla tutarlı olan binom formülünün n'inci güç genişlemesinin katsayıları elde edilir.
Şimdi, kombinasyon bakış açısından iki terimli güç genişlemesinin koşullarını gözlemliyoruz:
İlk olarak (a + b) ²'nin açılımına bakın, bu 3 ikinci dereceden terimden oluşur, bu 3 ikinci dereceden terim a harfinin azalan kuvvetine göre (a'nın üsleri sırasıyla 2, 1, 0'dır ve aynı zamanda harflerdir) b yükseltilmiş güç) düzenleme, yani
a² ab b²
Ve ikinci dereceden terimin katsayısı nedir?
(A + b) ² = (a + b) (a + b) düşünün, genişlemesinin her bir terimi 2 binom çarpandan 1 harf alıp sonra bunları çarparak elde edilir. A² teriminin katsayısı 1 ise, yalnızca bir seçenek vardır: iki iki terimli faktörden 2 çarpanı çıkarın (bir seçenek vardır) ve her iki terimli faktörden a + b 1'i çıkarın Öğe a (yalnızca bir seçenek). Ab teriminin katsayısı 2'dir ve bunu almanın iki yolu vardır: iki iki terimli faktörden bir faktör alın (onu almanın iki yolu vardır) ve faktörden bir a terimi çıkarın (onu almanın tek yolu), Ve başka bir faktörden 1 terim b çıkarın (sadece 1 yol). Aynı şekilde b² teriminin katsayısı 1'dir ve tek seçenek vardır.
Genellikle bizde
Aranan Binom teoremi , N öğeden alınan k öğenin kombinasyon sayısı nerede:
Burada n! = 1 × 2 × 3 × ... × n, n'nin faktöriyeli.
tatmin etmek Yang Huiheng denklemi :
(A + b) genişlemesinde ak (yani akbn-k) içeren toplam monomlar vardır, yani k faktörleri çarpılacak n faktör (a + b) arasından seçilir ve bunu başarmanın iki yolu vardır. İki yol vardır: Birincisi, k faktörlerinin n faktör arasında belirli bir faktörü içermesi ve k faktörlerinin belirli faktörü içermemesidir. İlk olarak, zaten 1 faktör olduğundan, kalan n-1 faktörlerinden k-1'i seçin (
N ve k açı çiftlerinin değerlerini düzenliyoruz (let
Bir üçgendir, yani ilk bölümdeki dijital yapı taşıdır (Şekil (1-1)) Yanghui üçgeni . " Haliç "Sonunu görmez ve genellikle sadece bir tarafı gösterir. İçinde kaç tane sır gizlidir?
İki terimli kuvveti bırakarak, polinom kuvveti durumunu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. En basit üç terimli gücün (a + b + c) genişlemesi nedir? Genişlemesinin katsayıları nelerdir?
Okuyucular kalemlerini hesaplamaları kontrol etmek, çizim yapmak ve "ünlü duruşu" hakkında sessizce casusluk yapmak için kullanabilirler.
3
Sütun
Şimdi Yanghui üçgenini görmek için "x-ışınları" kullanıyoruz. Yang Hui üçgeninde sol beldeki sayı
11 11 1
Sabit bir sütundur;
Sol bele bitişik ilk paralel çizgideki numara
12 34 5
Yani, aritmetik bir dizi olan doğal sayılar dizisi;
Ve alt kenar ve onun paralel çizgileri, sırayla her bir satırdaki sayıların toplamıdır (lütfen nedenini düşünün?)
12 4 2
Biyolojik dünyadaki hücre bölünmesini vb. Tanımlayan geometrik bir seridir;
Şimdi "röntgen" in olay açısını sol bel ile alt taraf arasındaki açının yarısına ayarlayın ve olay ışını ve paralel çizgilerindeki sayıların toplamı sırayla
11 23 58
Fibonacci dizisidir.
Birinci bölümde, "Yılan" sayı dizisindeki arka sayının, önündeki iki bitişik sayının toplamı olduğunu görüyoruz.Fibonacci dizisi, uçtan uca bağlantılı bu tür sayı dizgisi ve tekrarlama ilişkisidir. Formül
Fibonacci dizisini canlı bir şekilde tanımlamak için tavşan ailesinin üremesini kullanın: İlk ayda bir çift tavşan olduğunu ve her ay yetişkinliğe dönüştüklerini ve ardından her ay bir çift tavşan doğurduklarını varsayalım. Tavşan logaritması, Fibonacci dizisidir. Buna karşılık, Fibonacci sayısı biyolojik üreme için matematiksel bir model olarak listelenir; açıkçası, biyolojik yaşlanma ve ölüm gibi faktörleri dikkate almaz.
İlk tavşan çifti, bir ay sonra başka bir çift tavşan doğurdu. Üreme (veya kopyalama) eğilimini belirtmek için "" kullanıyoruz ve dijital akış şeması aşağıdaki gibidir:
Bu bitteki "1" i tutun, bir kopya oluşturun ve sağdaki "0" a ekleyin:
Orijinal "1" ve "1" i saklayın ve bir kopyasını alın ve bunları sağdaki "1" ve "0" a ekleyin. (Ayrıca "11" i bir bütün olarak koyabilir, 1 biti sağa kaydırabilir ve bir kopyasını oluşturabilirsiniz. Numara ekleyin):
Orijinal "1", "2" ve "1" i saklayın ve bir kopyasını alın ve bunları sağdaki "2", "1" ve "0" a (veya "12 1" 1 bit sağa kaydırılmış ve orijinal numaraya eklenmiş bir bütün:
Ve bunun gibi.
Basit işlemlerle (kopyalama, kaydırma ve toplama), binom teoreminin genişleme katsayılarını elde ederiz.
Resimde (3-5), orijinal tavşanı işaretlemek için dikey bir çizgi (|) ve yeni doğan tavşanı işaretlemek için yatay bir çizgi (-) kullanıyoruz. İlk ayda 1 çift tavşan (F1) vardı, 1 ay sonra ikinci ayda hala 1 çift tavşan vardı (F2) ama şimdi bir çift yetişkin tavşan ve üçüncü ayda doğurdular 1 çift küçük tavşan, şimdi 2 çift tavşan var (F3). Bunu benzetme yoluyla yapıyorum.
Daha fazla analiz için, bir tavşanın bir ayda bir yaşında olduğunu varsayıyoruz Şekil (3-5) 'deki dikey çizgi (sütun) tavşanın neslidir, yani birinci nesil, ikinci nesil, üçüncü nesil vb. Noktalı eğik çizgi tavşanın büyüme ayıdır.Her aydaki F1, F2, F3 vb. Önündeki sayıların toplamı tavşanın bu aydaki logaritmasını temsil eder yani Fibonacci dizisi elde edilir ve F1, F2, F3 vb. Önündeki sayılar her satırda düzenlenir. Yanghui Üçgeni. Okuyucular, resimdeki yatay çizgilerin (satırların) hangi etik ilişkiyi temsil ettiğini biliyor musunuz? 4. ay eğik çizgi ile 2. nesil dikey çizginin kesişme noktasındaki 2 F4 ne anlama geliyor?
Fibonacci dizisinin genel terimi nasıl türetilir? Bu temelde temel matematik bilgisini kullanır. Bunu bağımsız düşünme, tahmin etme ve doğrulama yoluyla yapabilirsiniz. Okuyucular da deneyebilir. Cevabı buraya yazmanız yeterli:
4
Dizi
Binom teoreminin genişlemesinde, ikili n'inci mertebeden terimi a harfinin azalan kuvvetine göre alırız (a'nın üsleri sırasıyla n, n-1, ..., 1, 0 ve aynı zamanda b harfinin artan kuvveti) ) Düzenleme, ikili n'inci sıra matrisi olarak adlandırılır, örneğin
Bunlar arasında T, matris transpozisyonunu, yani matris satırı ve sütun değişimini temsil eder.
Yanghui üçgeninin n'inci katmanından oluşan matrise, Y ile gösterilen tek boyutlu bir doğrusal matris, bir satır matrisi olan ikili n'inci derece katsayı matrisi olarak adlandırıyoruz.
N = 2,3 olduğunda
(A + b) , X olarak gösterilir ve alt simge atlanırsa, iki terimli teorem matris biçiminde basitleştirilebilir:
Üç terimli teoremin matris formu nedir?
N = 0,1,2,3 durumu
Üç terimli kuvveti hesaplarken, genişlemedeki üç terimli n'inci terimin ikili n'inci terimini (yani, a, b ve c'de yalnızca 2 harf alabilirsin) ve üç terimli n'inci sıranın katsayı matrisini içerdiğini düşünürsek Düzenleme, Yang Hui üçgeni olarak adlandırılan ikili bir n-inci derece katsayı matrisi içerir. Ayrıca, üç terimli bir güç (a + b + c) genişlemesidir. Üç terimli n'inci dereceden katsayı matrisinin düzenlemesi bir iki terimli güç içerir. (a + b) , (b + c) , (c + a) Genişlemenin ikili n'inci sıra katsayı matrisinin düzeni 3 Yanghui üçgenidir, bunlar aynı köşedir, n'inci sıranın alt kısmı bağlanır, Şekil (4-1) 'de gösterildiği gibi:
Önümüzde üç boyutlu bir dijital "piramit" göze çarpıyor, daha yakından bakalım: şekli aynı tepe noktasında üç kenardan oluşan üçgen bir piramit, her bir tarafı Yang Hui üçgeni ve her katmanın altı da bir üçgendir. Yanghui Üçgeninin üç boyutlu durumda genelleştirilmesidir.
Her katmanın altındaki durumu araştırmaya devam ediyoruz, yani üç terimli teoremin genişlemesi nedir?
Benzer şekilde, n'inci üçlü terimi a harfinin azalan gücüne göre düzenleriz (a'nın yukarıdan aşağıya azalan gücü aynı zamanda b harfinin artan gücü ve b'nin soldan sağa alçalan gücü de c'nin yükselen gücüdür) Üçlü n-inci dereceden bir matristir. Gözlem kolaylığı sağlamak için öğeleri Yang Hui üçgeni şeklinde düzenledik Üçgen dizideki öğelerin sırası: sütunlarda soldan sağa ve sütunlarda yukarıdan aşağıya. Genel matristen farklıdır, esasen tek boyutlu bir dizidir, örneğin
Üçlü 1. etkinlik
Üçlü 2. derece
Üçlü 3. etkinlik
Üçlü n'inci sıra matrisi
Üçlü n inci dereceden katsayı matrisi nedir?
Üçlü 1. etkinlik
Üçlü 2. derece katsayı matrisi
Üçlü üçüncü dereceden katsayı matrisi
Üçlü n-inci derece katsayı matrisi, üçlü n-1 sıra katsayı matrisinin kopyalanması, ardından 1 bit sağa ve aşağı kaydırılması ve orijinal katsayı matrisine eklenmesiyle elde edilir. Bölüm 2'deki yönteme göre, üçlü üçüncü derece katsayı matrisini oluşturmak için üçlü ikinci derece katsayı matrisinin dijital akış diyagramı şöyledir:
Üçlü n sıralı katsayı matrisi
Üçgen şeklinde düzenlenmiş, iki belindeki sayılar
K'inci alt tarafındaki sayı, en büyük ortak bölen olarak alınır ve çıkarıldıktan sonra, Yang Hui üçgeninin aynı konumundaki sayıya eşittir, yani, her bir alt tarafındaki üçlü n'inci sıra katsayı matrisinin sayısı karşılıklı olarak Yang Hui'ye hazırlanır. Üçgen, buna ağırlıklı Yanghui üçgeni diyoruz. Yang Hui üçgeninin polinom teoreminin "geni" olduğu görülebilir.
Üçlü n derece katsayı matrisindeki öğelerin düzenlenme sırası şöyledir: satırlarda yukarıdan aşağıya ve satırlarda soldan sağa, esasen tek boyutlu bir satır matrisidir. Üçlü n-inci dereceden terim matrisindeki elemanların sırası ve onun katsayı matrisi, üçgenin çevresi boyunca dışarıdan içe doğru saat yönünün tersine veya saat yönünde de olabilir. Bu, üçgen matrisin simetrisinden kaynaklanmaktadır.
Yukarıdaki analiz sayesinde, tanıtmak kolaydır
Üç terimli teorem denir. N'inci üçlü terim
Kanıtlaması kolay
Benzer şekilde, üç terimli teorem de denklem (4-3) 'te olduğu gibi bir matris formuna basitleştirilebilir.
5
Uzay
Polinom kuvvetindeki bir elementin durumunu inceliyoruz, yani tek terimli
Tek terimli bir dizi oluşturulur, a (a 0, n = 0,1,2, ), dizinin farklı noktalarını (koordinatları) temsil eder ve dizi, tek boyutlu ayrık nokta alanı olan a tarafından oluşturulan konum uzayı olarak kabul edilir. , Noktanın konumu koordinat n ile gösterilebilir; örneğin, yaşamın temelinin hücre bölünmesi, ayrık noktaların tek boyutlu bir alanını oluşturur. Tek terimlilerin katsayı dizisi
11 11
Bu, ayrı noktalardan oluşan bir çizgi oluşturmak için her noktanın 1 değerini aldığı anlamına gelir; bu, aynı zamanda ikili n'inci sıra katsayı dizisini temsil eden Yang Hui üçgeninin belini veya üçlü n'inci sıra katsayı dizisini temsil eden "piramidin" kenarı olur.
A = 2 ise, 2 tarafından üretilen konum uzayı bir ikili sayı sistemi oluşturuyorsa veya a = 10 ise, 10 tarafından üretilen konum uzayı bir ondalık sayı sistemini oluşturur. İlk çeyrekte rakamlara geri döndük.
N. boyut
(N = 0,1,2, ) şu şekilde düzenlenmiştir:
Konum (koordinat) uzayının bakış açısından gözlemleyin: ikili n'inci sıra terimi farklı noktaları (koordinatları) temsil eder, ikili n'inci sıra terim matrisinin düzenlenmesi, iki boyutlu ayrık bir konum uzayı olan bir tür vektör olarak kabul edilebilir. Buna ikili n'inci sıra yıldızlı gökyüzü diyoruz; ikili n'inci sıra katsayıları konum uzayındaki farklı noktaların (koordinatlar) değerleri olarak kabul edilirse, Yang Hui üçgeni iki boyutlu ayrık bir atama konum uzayı olarak kabul edilebilir, Buna ikili n'inci derece galaksi deyin.
İkili n'inci terim
Örneğin, Şekil (2-1) 'de, ikinci satırdaki ve birinci sütundaki "2" sayısı (sol bel 0'ıncı sütun ve bitişiğindeki ilk paralel çizgiyi ilk sütun olarak kabul ediyoruz vb.).
Buna bağlı olarak, Yang Huiheng denklemi,
Benzer şekilde, farklı noktaları (koordinatlar) temsil etmek için üçlü n-inci derece terimini kullanırız ve üçlü n-inci derece terim dizisi de üç boyutlu bir ayrık konum uzayına genişletilir, biz buna üçlü n-inci derece yıldızlı gökyüzü diyoruz; üçlü n-inci sıra olarak Katsayı dizisi teriminin "piramidi", üç boyutlu bir atama konum uzayı olarak kabul edilebilir; bu, üç boyutlu bir n-inci dereceden galaksi olarak adlandırılan, ayrı noktalardan oluşan üçgen bir piramittir.
İkinci bölümde olduğu gibi, fiili dikey hesaplama yoluyla, polinom çarpımının kaydırma ve toplama gibi adımlara dönüştüğünü görüyoruz. Çok değişkenli n'inci sıra terim pozisyon uzayında, bir harfle (a gibi) çarpılan belirli bir çok değişkenli n'inci sıra terim matrisi, çok değişkenli n + 1'inci sıra terim matrisi haline gelmek için harfin artan güç yönünde bir bit hareket eden matrise eşdeğerdir.
Üçgen piramit konum uzayındaki üçlü n-inci derece terim katsayısının koordinatı (n, k, l) 'dir ve Y (n, k, l) olarak gösterilir. Yani
Denklemden (4-10), üçlü n'inci sıranın katsayıları aşağıdaki tekrarlama ilişkisini karşılar:
Denklem (5-5) şunu göstermektedir: Üç terimli teoremin genişleme katsayılarından oluşan sayısal üçgen kulenin n'inci tabakası, k'inci sıra ve l'inci sütunun değeri (n'inci ağırlıklı Yanghui üçgeni) üstündeki n'inci sütuna eşittir. -1 katman, (n-1 katman ağırlıklı Yang Hui üçgeni) k. Satır ve sütun değeri (
Sevgili okurlar, biz bu gezi için buradayız, nasıl hissediyorsunuz? Matematiğin büyülü krallığı bir labirent gibi keşfetmenizi bekliyor.
Referanslar:
1. Hua Luogeng "Yang Hui Üçgeni'nden Konuşuyor"
2. Chen Xiru "Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik"
orjinal başlık: 11²'den kalkış
Kaynak: Fun Math
Eğlenceli matematik, matematik öğrenmeyi teması olarak alır, misyonu olarak matematik kültürünün yayılmasını alır ve öğrencilerin matematik öğrenmeye olan ilgisini artırmayı amaçlar. Size ilginç bir şey göstermek için yararlı matematik bilgileri, ilginç matematik hikayeleri, efsanevi matematiksel rakamlar vb. Paylaşır. Matematiğin eğlenceli ve renkli dünyası. WeChat eğlenceli matematik arayışı sizi farklı bir matematik dünyasına götürecek! Bu makale yayınlama yetkisine sahiptir, lütfen yeniden yazdırmak için Fun Mathematics genel hesabıyla iletişime geçin.
Editör: Binbaşı Tom
En Yeni 10 Popüler Makale
Görüntülemek için başlığa tıklayın
1. Fizik yasaları size aşk gerçeğinin ne kadar acımasız olduğunu söyler!
2. Yeşim İmparatoru stratosferde mi yoksa troposferde mi yaşıyor?
3. Cam küre içindeki desen nasıl girdi? Çocukluğun gizemini okuduktan sonra nihayet çözüldü
4. Taklit etmeyin! Mikrodalgaya iki üzüm koyun, evinizi yakar
5. 100 yıldır yıldızlara bakmak
6. Bunu bilmeyin, "Dolaşan Dünya" yı anladığınızı söylemeyin
7. Toplu olarak elmas nasıl yapılır
8. Yang-Mills teorisi ne diyor? Bu Yang Zhenning'in katkısı neden Nobel Ödülü'nün ötesinde?
9. Tuvalette kağıt olmaması nasıl önlenir? Bu makaleyi okuduktan sonra anlayacaksınız
10. Newton'un tabut tahtası tutulamadığında, lütfen kendinizi savunmak için bu şeyi teklif edin!
