Profesör Gu Xianfeng: Tıbbi görüntü kaydının temel algoritmasını yorumlama
Bu makale, Profesör Gu Xianfeng tarafından yazılan ve Gu Xianfeng'in izniyle Leifeng.com tarafından yeniden basılan WeChat "Geometri Hakkında Eski Gu Talking" hesabından alınmıştır.
Profesör Gu Xianfeng, New York Eyalet Üniversitesi, Stony Brook Bilgisayar Bilimleri ve Uygulamalı Matematik Bölümü'nde kadrolu profesör ve Tsinghua Üniversitesi, Qiu Chengtong Matematik Bilimleri Merkezi'nde misafir profesördür. Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Doğa Bilimleri Vakfı KARİYER Ödülü'nü, Çin Ulusal Doğa Bilimleri Vakfı'nın Üstün Gençlik Ödülü'nü (Profesör Hu Shimin ile işbirliği içinde) ve "Çin Alanları Ödülü": Morningside Uygulamalı Matematik Altın Ödülü'nü kazandı.
Bay Chengtong Qiu ve Dr. Xianfeng Gu'nun ekibi, bilgisayar grafikleri ve bilgisayarla görmede yaygın olarak kullanılan disiplinler arası bir konu olan "Hesaplamalı Konformal Geometri" oluşturmak için diferansiyel geometri, cebirsel topoloji, Riemann yüzey teorisi, kısmi diferansiyel denklemler ve bilgisayar bilimini birleştirdi. , Geometrik modelleme, kablosuz sensör ağları, tıbbi görüntüleme ve diğer alanlar. Şimdiye kadar 200'den fazla uluslararası makale yayınlandı.Akademik monograflar arasında "Hesaplamalı Konformal Geometri", "Yüzey Kaydı ve Şekil Analizi için Ricci Akışı" vb.
Profesör Gu Xianfeng'in çalışmasının orijinal metni aşağıdadır:
Long Island, New York, ılıman bir iklime ve uzun bir sahil şeridine sahip benzersiz doğal koşullara sahiptir. Güzel Stony Brook Üniversitesi, özel bir plaja sahip Long Island'ın ortasında yer almaktadır. Bu kumsal bilinmeyen, boş ve yalnız, derin ve sessiz. Okul öğretmenleri ve öğrencileri, doğanın hakikatini düşünmek ve anlamak için sık sık buraya deniz melteminde yıkanmaya ve özellikle gün batımının ardından gün batımının ardından günbatımında okyanusa bakmaya gelirler.
1970'lerin başında, Kimya Bölümü'nde genç bir yardımcı doçent olan Dr. Paul Lauterbur, kızını sık sık buraya yürüyüşe ve düşünmeye götürürdü. Bir gün, üç yaşındaki bir kız kıyıda minik siyah bir midye aldı.Paul, bu midyenin insanlık tarihindeki ilk canlı tomografik görüntüsünü aldı. Kısa görüşlü Stony Brook Üniversitesi'nin Paul'ün icadı için patent başvurusunda bulunmayı reddetmesi üzücü. Uzmanlar, "bu buluşun getirebileceği devir ücretinin patent başvuru ücretini karşılamayacağını" kabul etti. Sonunda Stony Brook, Dr. Lauterbur'u kaybetti ve onu kaybetti. Ekonomik kalkış için bir fırsat. Tarih adil. MRI teknolojisinin icadı nedeniyle Dr. Paul Lauterbur 2003 yılında Nobel Tıp Ödülü'nü kazandı.
On yıllardır, MRI teknolojisi ve CT tomografi teknolojisi tıpta devrim yarattı.Medikal görüntüleme teknolojisi, doktorların hastanın vücudunu doğrudan görerek doğru bir şekilde teşhis etmesine, tedavi planlarını formüle etmesine ve tedavi etkilerini test etmesine olanak tanır. Birçok hastalık, organların ve dokuların deformasyonuna neden olabilir veya organların deformasyonuna neden olabilir. Örneğin, serebral korteksin atrofisi ve dejenerasyonu yaşlılarda demansa neden olur. Çeşitli tümörler, organların yüzeyinde çıkıntılar oluşturur ve kemik kaybı kemik deformasyonuna neden olur. Bu nedenle doktorlar, organların geometrik şekillerini doğru bir şekilde karşılaştırarak organın anormal olup olmadığına karar verebilirler; tümörün geometrik özelliklerini analiz ederek, tümörün iyi huylu mu yoksa kötü huylu mu olduğuna karar verebilirler. Bunlar, tıbbi görüntülerin kaydı ve analizine bağlanabilir.
Tıbbi görüntüleme, çok çeşitli hesaplama yöntemlerine sahip çok geniş bir konudur. Görüntü kayıt yöntemleri de son derece zengindir, teoride titizdir ve pratik sonuçlarla doludur. Temel metodoloji perspektifinden bakıldığında, daha evrensel yöntemler temelde diferansiyel geometriye, akışkanlar mekaniğine dayalı yöntemlere ve olasılık ölçüm teorisine dayanan yöntemlere dayanmaktadır. Bu yaklaşımlardaki problem formülasyonları, matematiksel araçlar ve bilgisayar algoritmaları çok farklı olsa da, hepsi geometrik kısmi diferansiyel denklemlere atfedilebilir ve daha sonra varyasyonel optimizasyon problemlerine dönüştürülebilir. Bu üç yöntemin kendi avantajları ve dezavantajları vardır, birbirini tamamlar ve büyük pratik değeri vardır. Her yöntem, birçok dalla birlikte hızla gelişmektedir. Aşağıda, bu üç yöntemin temel fikirlerini ve en basit algoritmasını kısaca tartışıyoruz. Her yöntem geniş bir okyanusun derinliklerine gider.
Diferansiyel geometri yöntemi
Öncelikle ilgilendiğimiz organları medikal görüntülerden çıkararak iki boyutlu eğimli yüzeyler veya üç boyutlu varlıklar olarak ifade ediyoruz. Örneğin, serebral korteksin yüzeyini incelemek istiyoruz. Önce tüm kafatasının MRI tomografi görüntüsünü alın; ardından her tomografik görüntünün segmentasyonu, farklı dokuları ayırt edin, kemikleri, beyin gri cevherini ve beyaz maddeyi ayırın; ikincisi, ilgilendiğimiz dokuları çıkarın. Kontur esas olarak beynin gri maddesidir; daha sonra her tomografik görüntüdeki kontur çizgileri kapalı bir yüzey oluşturmak için üst üste dizilir. Elbette, gerçek algoritma ideal açıklamadan çok daha karmaşıktır ve her adımda çok sayıda geometrik ve topolojik hata ortaya çıkar ve kararlılığı ve doğruluğu artırmak için karmaşık ve titiz yöntemler gerekir.
Şekil 1. Tıbbi görüntülerden yeniden yapılandırılan serebral korteksin yüzeyi (Wang Yalin)
Örneğin, beyin atrofisini nicel olarak analiz etmek için aynı kişi tarafından farklı dönemlerde taranan serebral korteksin yüzeyini karşılaştırıyoruz. Temel düzeyde, birinci serebral korteksteki her hücreyi ikinci serebral korteksteki aynı hücre konumuna eşlemek istiyoruz. Elbette mevcut teknik gerçeklikte bu gerçekten başarılamaz, ideal duruma çeşitli enerjiler tasarlayarak ve bazı kısıtlamalar ekleyerek yaklaşabiliriz. Serebral kortekste sulkus kıvrımları gibi anatomik özellikler vardır ve ana sulkusu karşılık gelen sulkusa eşlemek için diferansiyel homeomorfizme ihtiyaç duyarız. Aynı zamanda, yüzey haritalamasında minimum geometrik distorsiyona ihtiyacımız var. Serebral korteksin yüzeyinin elastik olduğunu varsayarsak, haritalamanın neden olduğu elastik deformasyonun potansiyel enerjisinin en aza indirilmesini isteriz. Elastik potansiyel enerji genellikle harmonik enerji cinsinden ifade edilir. Farklı tıbbi uygulamalara göre farklı enerjiler tasarlayabiliriz. Aynı organın farklı yüzeylerini veya iki üç boyutlu varlığı elde ettiğimizi varsayarsak, kayıt probleminin diferansiyel geometri formülasyonu aşağıdaki gibidir:
Teorik bir bakış açısıyla, bu sorunun çözümünün varlığını, benzersizliğini, istikrarını ve düzenliliğini açıkça bilmemiz gerekir. Algoritma perspektifinden, birinci dereceden varyasyonu ve ikinci dereceden enerji varyasyonunu elde etmemiz gerekir. Pek çok teorik zorluk vardır.Normal olarak, manifoldlar arasındaki fonksiyonel uzay-diferansiyel homeomorfizm boşluğunu dikkate alırız.
Kompaktlığın kendisi yoktur.Enerji minimizasyon dizisini bulsak bile sınırının diffeomorfizm olması gerekmez.Bu nedenle çözümün varlığını kanıtlamak zordur; enerji dışbükey değilse çözümün benzersizliğini garanti etmek zordur. Dışbükeyliği genellikle manifoldun kendisinin geometrik özelliklerine bağlıdır, örneğin Gauss eğriliği gibi; öznitelik noktalarının yazışması gibi çeşitli sezgisel geometrik kısıtlamaların analitik bir biçime dönüştürülmesi zordur. Bunlar genellikle kısmi diferansiyel denklemler veya değişkenle ifade edilirler. İfadeyi göstermek için noktaların yerel doğrusal yaklaşımı. Algoritma perspektifinde de birçok zorluk vardır.Bilgisayarın üstesinden gelebileceği hesaplamalar ayrıktır. Kalkülüs ile ifade edilen kavramların ayrık olarak nasıl tahmin edileceği, yakınsamanın nasıl hızlandırılacağı ve basit komplekslerin (ayrık polihedronlar) birleşik yapısı ile manifold yapısının nasıl tanımlanacağı , Sayısal kısmi diferansiyel denklemler için uygun üçgenleme veya eğri gösterimi nasıl bulunur, bu problemler doğası gereği zordur.
Ayrıca diferansiyel geometriye dayalı birçok kayıt yöntemi vardır Daha yaygın olarak kullanılan, konformal geometriye dayalı içsel yöntemdir Bu yöntem sadece yüzeyin Riemann metriğine dayanır ve yüzeyin gömülmesini gerektirmez.
Şekil 2'de gösterildiği gibi, temel yöntem aşağıdaki gibidir:
Şekil 2. Konformal geometriye dayalı yüzey kayıt yöntemi
Şekil 3. Yüzey tekilleştirme
İkinci adımda, standart uzayın otohomeomorfizmini ifade etmek için ilk önce yarı-konformal haritayı kullanıyoruz. Tüm K-yarı-uyumlu haritaların oluşturduğu alan, çözümlerin varlığını garanti edebilen kompaktlığa sahiptir. Her bir kendi kendini eşleme Beltrami diferansiyeli ile temsil edilebilir, bu nedenle, sınırı elde etmek için minimum enerji dizisi oluşturmak için Beltrami diferansiyel uzayında karşılık gelen enerjiyi değiştiririz. Buradaki sorunun anahtarı, Beltrami diferansiyeli ile kısıtların nasıl ifade edileceği ve Euler-Lagrangian denkleminin nasıl elde edileceğidir. Çözümün homeomorfizm olmasını istersek, Beltrami diferansiyelinin modülü 1'den küçüktür, çözüme uyumlu bir yapıyı sürdürmek için çözüme ihtiyaç duyarsak, Beltrami diferansiyelinin ve kaynak yüzeyindeki holomorfik ikinci diferansiyelin işlevi 0'dır ve bu böyle devam eder. Çoğu durumda, çözümün benzersizliği ve düzenliliği, hedef yüzeydeki Gauss eğriliğine bağlıdır. Örneğin, 1'in yüzeyleri arasında bir dereceye sahip harmonik bir harita, hedef yüzeydeki Gauss eğriliği her yerde negatifse, bu bir diffeomorfizm olmalıdır. Başka bir örnek olarak, yüzeyler arasındaki herhangi bir homotopi haritalama sınıfında, yüzeyin konformal yapısının bozulmasını en aza indiren benzersiz bir Teichmuller eşlemesi vardır. Harmonik haritalama ve Teichmuller haritalama genellikle tıbbi görüntü kayıt problemlerinde kullanılır. Bu eşleştirmeleri çözme sürecinde, yüzeyin topolojisi, Riemann metriği ve konformal yapısı, optimum hedefe ulaşmak için genellikle esnek bir şekilde değiştirilir.
Şekil 4. Lomber kemik kaybı ölçümü, konformal geometrik yöntem (Reynolds)
Akış alanı yöntemi
Büyük Deformasyon Diferansiyel Homeomorfizm Metrik Haritalama (LDDMM) yöntemi uzaydaki akış alanını göz önünde bulundurur.Her parçacık havada akar ve her an akış alanı parçacık hızı vektör alanı ile tanımlanır. Sabit bir zamanda, parçacık başlangıç konumundan bitiş konumuna hareket eder, bu da uzaydan kendisine farklı bir homeomorfizm verir.
Şekil 5. Gebelik sırasında bebek serebral korteksinin 36 haftadan 43 haftaya kadar büyümesi (Laurent Risser, LDDMM yöntemi)
Olasılık ölçüm yöntemi
Temel düzeyde, CT görüntüleri ve MRI görüntüleri insan vücudunun iç dokularının yoğunluğunu yansıtır. Bu nedenle, tıbbi görüntülerin gri değerini bir olasılık ölçüsü olarak kabul edebiliriz. İki görüntü arasındaki eşleştirme aşağıdaki koşulları karşılamalıdır: benzer yoğunluktaki noktalar birbirine karşılık gelir ve her orijinal görüntü noktası ile görüntü noktası arasındaki mesafe mümkün olduğu kadar yakındır. Bu perspektiften, insanlar optimum ulaşım teorisine dayanan bir görüntü eşleştirme yöntemi önermişlerdir.
Şekil 6. Beyin beyaz cevher görüntü eşleştirme (Allen Tannenbaum, optimum iletim yöntemi)
özet
Bu üç tür yöntem, farklı fizik ve geometri anlayışlarına dayanmaktadır ve kullanılan teorik araçlar birbirinden çok farklı stillere sahiptir ve her birinin kendine özgü avantajları vardır.
Diferansiyel geometriye dayalı yöntem, güçlü geometrik sezgiye sahiptir, sadece Riemann metriğini kullanır, manifoldların Öklid uzayına gömülmesini gerektirmez, özlü, titiz ve evrenseldir ve yüksek hesaplama verimliliğine sahiptir. Bununla birlikte, daha soyut bir Riemann geometrik konseptine ihtiyaç vardır ve önce organ yüzeyinin görüntüden çıkarılması gerekir. Akış alanına dayalı yöntem doğrudan ve esnektir ve çeşitli veri türleri için uygundur, ancak manifoldların gömülmesini gerektirir ve yüzey deformasyon işlemi sırasında kendi kendine kesişmeye izin vermez. Aynı zamanda, iki boyutlu yüzeyi eşleştirmek için, büyük miktarda hesaplama gerektiren üç boyutlu arka plan uzayının otohomeomorfizminin hesaplanması gerekir. Optimal iletime dayalı yöntem, fiziksel sezgiyi dikkate alır ve doğrudan daha yüksek boyutlara genişletilebilir, ancak çözülen denklem oldukça doğrusal değildir. Öte yandan, bu yöntemler doğası gereği yakından ilişkilidir: Optimal aktarımın Monge-Ampere denklemi diferansiyel geometride Alexandrov teoremine eşdeğerdir; Optimal iletim için akışkanlar mekaniğinin bir açıklaması vardır. Kısacası, diffeomorfizm grubunda tüm yöntemler optimize edilmiştir ve sorun doğası gereği zordur.
