Bir elipsin çevresini hesaplamak için doğru bir formül var mı? Göksel operasyonların kullanımı nedir?
Bir çemberin çevresinin hesaplanması çok kolaydır, çünkü bir çemberin çevresinin çapına oranı sabit bir çevre oranıdır, bu nedenle çevre, çemberin çapının çevre oranı ile çarpılmasıyla hesaplanabilir. Bir bakıma, daire bir elipsin özel bir şeklidir.İki odak noktası çakışan ve yarı büyük ekseni (a) yarı küçük eksene (b) eşit olan bir elips bir dairedir.
Bir dairenin çevresi için temel fonksiyon ifadeleri olmasına rağmen, bir elipsin çevresi için basit bir hesaplama formülü yoktur. Ancak bu, bir elipsin çevresini hesaplamak için bir formül olmadığı anlamına gelmez. Aslında, bir elipsin çevresi için formül, tam olarak tam bir formda ifade edilebilir:
E, elipsin eksantrikliği nerede:
Sadece bu ikinci tip tam eliptik integraldir ve analitik bir çözüm yoktur, bu da onun temel fonksiyonlarla ifade edilemeyeceği anlamına gelir, sadece bir daire durumunda. Ancak bir bilgisayar yardımıyla elipsin çevresi belirli bir doğrulukla interpolasyon gibi sayısal yöntemlerle hesaplanabilir. Veya, elipsin çevresini hesaplamak için diğer yaklaşık temel fonksiyon formülleri kullanılabilir.
Ramanujan, kısa yaşamında çok hızlı yakınsayan pi formülü ve bir elipsin çevresinin yaklaşık formülü dahil olmak üzere birçok klasik formülü keşfetti. Bunlardan en örnek olanı aşağıdaki formüldür:
H'nin anlamı:
Bu formülün hatası çok küçüktür, pi oranı sadece 3.14 olsa bile iyi bir doğruluk elde edilebilir.
İkinci tip tam eliptik integral genişletilirse, elipsin çevresi için formül sonsuz seriler şeklindedir:
Yukarıdaki formülde, ne kadar çok madde alınırsa, hesaplama sonucu o kadar doğru olacaktır.
Gerçekte, gök cisimlerinin yörüngeleri tam olarak yuvarlak değildir, ancak çoğunlukla eliptiktir. Elips çevresinin sonsuz seri formülünü kullanmak, gök cismi hareketinin hesaplanması için yeterli olan son derece yüksek doğruluk elde edebilir.
Ayrıca yerçekiminin neden olduğu günberi devinimi nedeniyle, gök cisimlerinin her bir yörüngesi aslında çakışmaz. Örneğin, Dünya'nın günberi ile aphelion arasındaki konum ve mesafe her yıl değişiyor; Merkür'ün günberi devinimi, güneşe en yakın olduğu için sekiz gezegen arasında en büyüğüdür.
