Basit bir gezegensel yörünge, uzay ve zamanı keşfetmemiz için bizi nasıl yönlendirir?
Düz bir çizgi elde etmek için iki noktayı bir dizeyle birleştirin. İpin bir ucundan diğer ucuna bir daire alın ve bir daire elde edersiniz. Düz bir çizgi ve bir daire, bu kadar basit ve yaygın iki şekil, geometrideki en temel şekli oluşturur.
Erken astronomi, yükselen güneşin en kuzey noktasında ne zaman görüneceği veya yeni bir ayın tekrar görüneceği gün sayısı gibi zamanı işaretlemeye odaklandı. Ve bu basit kavisli geometriler bize dünyayı ve gökyüzünü birbirine bağlama fırsatı veriyor. Ay, güneş ve hatta diğer yıldızlar, dünyanın etrafında bir daire şeklinde hareket ediyor gibi görünürler. Benzer şekilde, düşen bir top yere doğrudan çarpacak ve yanan alev doğrusal olarak yükselecektir. Daireler ve çizgiler, cennet ile yeryüzü arasındaki kutsal geometrik şekiller gibidir.
"Geometrik Orijinal". (Resim kaynağı: Biyografi Çevrimiçi)
MÖ 300 civarında Öklid, uzaysal düzen için en uzun ve en yetkili mantıksal kesinti dil sistemini kuran ölümsüz bir eser olan "Geometrik Öğeler" (toplam 13 cilt) yazdı. Doğrular ve daireler hakkında beş temel varsayımla (aksiyomlar) başladı:
Herhangi iki nokta düz bir çizgi ile birleştirilebilir.
Herhangi bir çizgi parçası süresiz olarak düz bir çizgiye uzatılabilir.
Herhangi bir çizgi parçası verildiğinde, uç noktalarından birini dairenin merkezi olarak ve çizgi parçasını daire yapmak için yarıçap olarak kullanabilirsiniz.
Tüm dik açılar uyumludur.
Düz bir çizgi, aynı düzlemdeki diğer iki çizgi ile kesişir.Düz çizginin aynı tarafındaki iki iç açının toplamı 180 dereceden az ise, iki düz çizgi süresiz uzatıldıktan sonra bu tarafta kesişmelidir.
Öklid'in beş aksiyomu. (Resim kaynağı: Bir Seferde Bir Evren)
Bu aksiyomlardan, bir dizi kanıtlama yöntemi ve teorem geliştirdi.Bu ilk aksiyomlar doğruysa, geometrinin diğer yönlerinin de doğru olması gerekir. Öklid bize geometri dilini verdi ve ancak o zaman modern matematiğin diline sahip oldu. Bu geometrik diller, gök cisimlerinin hareketini tanımlamak için kullanılabilir. Mars ve Jüpiter'in ne zaman bize en yakın olduğunu veya Venüs'ün sabah yıldızı gibi göründüğünü bilmek istiyorsanız, hesaplamak için geometri kullanmanız gerekir.
Bu basit geometrileri kullanarak, bu gök cisimlerinin dünya etrafındaki gerçek yörüngeleri hesaplanabilir. Ancak, insanlar kısa sürede gezegenin dünya etrafındaki hareketinin dairesel bir yörünge olmadığını anladılar. Geçmişte, çizgiler ve çemberler problemleri çözmede o kadar etkiliydi ki, çoğu insanın çözümü onlara odaklandı. Örneğin, gezegenler aslında güneşin veya mevcut çark ve dengeleme çarkının etrafında bir çember şeklinde hareket ediyordu. . Önerilen modellerin çoğu öncekilerden daha karmaşık olsa da hiçbiri gerçek sorunu açıklayamıyor.
Mevcut tekerlek (küçük noktalı daire) ve ekolayzer (büyük noktalı daire) üzerinde bir gezegen var. (Resim kaynağı: Wikipedia)
Son cevap, gezegenin güneşin etrafında bir daire değil, bir elips şeklinde hareket ettiğine inanan Kepler'den geliyor.
Dört konik bölüm. (Resim kaynağı: Bir Seferde Bir Evren)
Elips, konik kesitin bir üyesidir.Bir koninin farklı açılardan kesilmesiyle dört tip eğri elde edilebilir: daire, elips, parabol ve hiperbol. Dairenin genişlemesinden elipse kadar, Kepler gezegen hareketinin üç temel yasasını keşfetti. Kepler Yasası . Bu yasalar yalnızca gezegenlerin hareketini doğru bir şekilde tanımlamakla kalmaz, aynı zamanda diğer modellerden daha basittir.
Kepler'in ikinci yasası: Aynı zamanda, gezegenlerin taradığı alan eşittir. (Resim kaynağı: Bir Seferde Bir Evren)
Aynı zaman zarfında Descartes, geometriyi tanımlamak için yeni bir yöntem geliştirdi. Geometrik figürler konusundaki anlayışımız geçmişte büyük ilerleme kaydetmiş olsa da, hepsi Öklid'in yöntemine güveniyor. Bir çizginin bir daireyi ikiye böldüğünü ve bir çemberin bir küpün içine gömülü olduğunu hayal edin. Geometri tamamen çizgiler, eğriler ve farklı şekiller arasındaki bağlantılarla ilgilidir ve bu genellikle karmaşıktır. Örneğin, Kepler'in ikinci yasası, gezegen ve güneşi birbirine bağlamak için bir çizgi kullanır.Aynı zamanda, bu çizginin taradığı alan eşittir.
Uzaydaki her noktanın benzersiz bir koordinatı vardır. (Resim kaynağı: Bir Seferde Bir Evren)
Ve Descartes, alanı bir referans çerçevesi olarak ızgaralarla dolu hayal etti. Bu şekilde, uzaydaki her nokta benzersiz bir sayı kümesiyle (koordinatlar) temsil edilebilir ve bir eğri, farklı koordinatları birbirine bağlayan bir işlevi temsil edebilir. Bu analitik geometri ile Descartes, geometri ve cebiri birbirine bağlayarak bize eğrileri ve şekilleri tanımlamak için daha fazla araç sağlar.
Analitik geometri, hareketi yalnızca uzayda bir yol olarak değil, aynı zamanda zaman içinde bir yol olarak da görür. Uzaydaki her nokta, konumunu belirtmek için üç koordinat numarasıyla temsil edilebilir.Zamanı temsil eden dördüncü bir koordinat ekleyerek, nerede ve ne zaman geometrisini oluşturuyoruz. Newton hareket yasalarını geliştirdiğinde, hareketi tanımlamak için hız ve ivmeyi kullandı. Analitik geometri kullanarak, uzaydaki zaman ve eğrilerin bu işlevlerini birbirine bağlayabilir, böylece nesnelerin uzay ve zamandaki yolunu hesaplayabilir. Bu yöntem, Newton tarafından Kepler'in hareket yasasının aslında evrensel çekimin sonucu olduğunu kanıtlamak için de kullanıldı.
Newton'un uzay ve zaman geometrisi bugün hala kullanılıyor. (Resim kaynağı: Bir Seferde Bir Evren)
Öklid geometrisi o kadar güçlü ki etkinliği şüphesiz görünüyor. O zamanki Newton mekaniğinin konumu ile birleştiğinde, bir anlayış zirvesine ulaşmış gibi görünüyoruz.
Bununla birlikte, 19. yüzyılda, genç bir matematikçi Öklid geometrisinin alternatiflerini keşfetmeye başladı ve o Riemann'dı. Kartezyen koordinat sistemi Öklid geometrik uzayını tanımlamak için kullanılabilir, ancak ya bu koordinatlar arasındaki bağlantı bozulabilirse? Öklid'in yüzeyini ızgaralarla boyanmış bir kağıt parçası olarak düşünebiliriz. Ancak kağıt gerçekten kauçuktan yapılmışsa, kağıdın gerilmesi veya bükülmesi ızgaranın şeklini bozabilir. Bu makaleye hala uygulanabilecek bazı geometrik kurallar vardır, ancak Öklid'in beş temel teoremi zorunlu değildir. Dairenin bir konik bölüme örnek olması gibi, Öklid geometrisi de daha geniş bir geometri ailesinin sadece bir üyesidir.
Riemann geometrisinin birçok farklı şekli vardır. (Resim kaynağı: Bir Seferde Bir Evren)
Riemann, geometride yeni bir bölüm açtı. Riemann geometrisinde uzay artık sabit bir arka plan değil, dövülebilir bir manifolddur. Uzaydaki noktalar arasındaki bağlantı, manifoldun yapısı tarafından belirlenir. Öklid'in kuralları sınırlarını ortaya koydu. İki paralel çizgi kesişebilir, üçgenin iç açılarının toplamı artık 180 derece değildir ve aynı çevreye sahip iki dairenin farklı yarıçapları olabilir. Descartes'ın geometri ile cebiri birbirine bağlaması gibi, Riemann da geometri ve topolojiyi birbirine bağlar. Geometri artık sabit bir arka plan ızgarasıyla sınırlı değil.
Fakat Riemann geometrisinin evreni anlamamız üzerinde herhangi bir etkisi var mı? Öyle görünmüyor, çünkü bir kağıt parçası ve bir lastik top farklı şekillerde bükülebilir, ancak boşluk bir madde değildir. Elbette sabit ve mutlak olmalıdır. Uzay ve zaman da Öklid geometrisine sahip olmalıdır.
Bununla birlikte, Öklid'in aksiyomlarının sadece hipotezler olduğunu belirtmekte fayda var. Sezgisel olarak uzay ve zaman için doğru olsalar da varsayımlar yanlış olabilir. Önemli varsayımlardan biri, zamanın evrenin her yerinde aynı olduğudur. İki saati, farklı hızlarda veya ışık yılı aralıklarla hareket etsinler, senkronize ederseniz, seyahat süresi oranları aynıdır. Ancak uzay ve zamanı mutlak bir ızgara olarak düşünürsek, o zaman bir nesnenin hızını bu ızgaraya göre ışık hızı da dahil olmak üzere ölçmeliyiz. Diğer bir deyişle, arka plan ızgarasına göre hareket ediyorsanız, ölçtüğünüz ışığın hızı sabit olduğunuzdakiyle aynı değildir. Bununla birlikte, deneysel sonuçlar bize uzay ve zamanın mutlak olmadığını, sadece ışık olduğunu söylüyor. Işık, uzay ve zaman arasında geometrik bir bağlantı yaratır Uzay ve zamanı birbirine bağlayan geometrik kural, ışık hızının sabit olmasıdır.
Uzayın geometrisi artık Öklidsel değil. (Resim kaynağı: Bir Seferde Bir Evren)
Bu, Einstein'ın derin fiziksel iç görüsüdür. Riemann haklı. Geometrinin anahtarı, manifoldların topolojik olarak nasıl bağlantılı olduğudur. Evrenimiz için ışık bir bağlantıdır ve bu bağlantı, uzay ve zaman ne kadar bozulsa da korunmalıdır.
Einstein'ın teorisinin belki de en büyüleyici yönü, yerçekiminin - gezegenlerin güneş etrafında eliptik bir yörüngeyi takip etmesine neden olan kuvvetin - sadece geometrinin bir sonucu olmasıdır. Uzay ve zamanın bozulması, nesnelerin her zaman düz çizgiler halinde hareket etmediği anlamına gelir. Yolları bükülebilir ve yerçekimi tarafından çekici görünmelerine neden olabilir. Geometrinin sürekli keşfi, uzay ve zamanın daha derin bir şekilde anlaşılmasını tetikledi.
Ve şimdi, bir sonraki geometrik devrimi bekliyoruz.
