Milyonlarca dolar değerinde altı çözülmemiş matematik gizemi
Belki hepiniz bu hikayeyi duymuşsunuzdur. 2006'da Rus matematikçi Grigori Perelman ünlü Poincaré Varsayımı . Perelman için onur ve para el altında. Ancak "sıradan insanlarla" oynamak istemediğini söyledi, sadece 1 milyon dolarlık ödülü reddetmekle kalmadı, aynı zamanda matematikteki en yüksek onurlardan biri olan Fields Madalyasını da reddetti.
Perelman'ın çözdüğü problem, Caly Matematik Enstitüsü'nün 2000 yılında açıkladığı yedi matematik probleminden biriydi. Bu soruların önemini vurgulamak için, biri bunlardan herhangi birine doğru ve ayrıntılı bir cevap verebildiğinde, 1 milyon dolarlık bir bonus alacak. Her sorunun cevabına verilen bonus sınırlı olsa da bu sorunların çözülmesiyle elde edilebilecek değer paha biçilmezdir.
Duyurudan bu yana, Poincarénin varsayımının yanı sıra diğer altı konu çözülmedi.
2018'in başında, şu altı ana konuyu tekrar gözden geçirelim:
1. P - NP sorunu
Matematik ve bilgisayar bilimi dünyasında, temel aritmetik, sıralama problemleri, veri arama vb. Gibi bilgisayar programları aracılığıyla nasıl hızlı bir şekilde çözüleceğini bildiğimiz birçok problem vardır. Bu sorular " Polinom zamanı "(Kısaltılmış P ). Bu, listeleri eklemek ve sıralamak gibi görevleri tamamlamak için gereken adımların, polinom düzeyinde sayı sayısı ve listenin uzunluğu gibi faktörlerden etkilendiği anlamına gelir. Örneğin, veri boyutu arttıkça programın çalışma süresi aynı miktarda artarsa, bu programın zaman karmaşıklığına O (n) diyoruz. Örneğin, n sayı arasında maksimum değeri bulmak için bir algoritma. Programın tüm değerleri geçtikten sonra maksimum değeri alması gerekir. Giriş verilerinin n ölçeği arttıkça, geçiş yapmak için gereken süre de aynı miktarda artar.
Ama bir sorun daha var: Bu sorunlar için olası çözümlerinin doğru olup olmadığına kolaylıkla karar verebiliriz, ancak bir çözümü verimli bir şekilde nasıl bulacağımızı bilemeyiz. Örneğin, büyük bir sayının asal çarpanını bulmak bu tür bir soruna aittir.Bir olası asal çarpanlar dizisi varsa, sayının orijinal sayı olup olmadığını bunları çarparak kontrol edebilirsiniz; ancak herhangi bir sayının asal çarpanını hızlıca bulmanın bir yolu yoktur. . İnternet güvenliği için teorik bir temel sağlayan bu gerçektir. Yaygın olarak kullanılan RSA algoritması, büyük sayıların asal faktörlerini bulmanın karmaşıklığından yararlanır ve genellikle en iyi İnternet genel anahtar oluşturma şemalarından biri olarak kabul edilir. Olası çözümleri hızlı bir şekilde kontrol edebileceğimiz ancak hızlı bir şekilde cevaplanamayan bu sorulara "ihtiyaç" denir Belirsizlik polinom zamanı "(hangisi NP ).
Doğal olarak, tüm P-tipi problem setleri otomatik olarak NP-tipi problem setine dahil edilir, çünkü bir problem hızlı bir şekilde çözülebilirse, doğrudan çözerek çözümün doğru olup olmadığını hızlıca kontrol etmek doğaldır. P ve NP problemlerinin özü, tüm NP problem setlerinin de otomatik olarak P problem setine dahil edilip edilmediğidir: Bir sorunun çözümlerini hızlı bir şekilde kontrol etmenin bir yolu varsa, bu çözümleri bulmanın etkili bir yolu var mı?
Çoğu bilim adamı ve bilgisayar bilimcisi cevabın hayır olduğunu düşünüyor . NP problemini polinom zamanında (P) çözebilen bir algoritma, biyolojik gen dizisi hizalaması, ekonomik Nash dengesi hesaplaması ve hatta matematik, bilim ve teknolojinin tüm alanında ölçülemez uygulama değerine sahiptir. Bilgisayar alanında devre optimizasyonu ve doğrulama. Ve bu uygulamalar insanların hayal gücünü çok aşabilir, böylece insanlar bunların mümkün olup olmadığını sorguluyor.
Elbette böyle bir algoritmanın olmadığını ispatlamak ürkütücü bir sorundur. Bu konuda doğru bir yargıya varmak için, bilgi ve hesaplamaların doğası hakkında şimdi olduğundan çok daha derin bir anlayışa sahip olmalıyız ve sahip olduğu anlam derinliğinin kıyaslanamaz olduğu neredeyse kesindir.
2. Navier-Stokes denklemi
Dan Lacher
Sabah bir fincan kahveye biraz süt ekleyin ve karıştırın, ne olacak? Bu, günlük hayatta çok yaygın bir fenomendir, ancak beklenmedik bir şekilde açıklaması son derece zor olan bir sorundur.
Navier-Stokes denklemi (kısaltılmış NS denklemi Akışkanlar mekaniği alanında, Newton'un klasik mekanikteki üç hareket yasasına eşdeğerdir.Gaz ve sıvının hareketinin farklı ortamlarda nasıl gelişeceğini açıklarlar. Tıpkı Newton'un ikinci hareket yasasının, bir nesnenin hızının dış kuvvetlerin etkisi altında nasıl değiştiğini tanımlaması gibi, NS denklemi de sıvı akış hızının basınç ve viskozite gibi iç kuvvetlerden ve yerçekimi gibi dış kuvvetlerden nasıl etkilendiğini açıklar.
NS denklemi bir kümedir Diferansiyel denklem . Diferansiyel denklemler, belirli bir miktarın belirli başlangıç koşulları altında zamanla nasıl değiştiğini açıklamak için kullanılır ve neredeyse tüm fiziksel sistemleri tanımlamak için kullanılabilirler. NS denklemi örneğinde, sıvının ilk akışından başlayarak, sıvı akışının zaman içindeki gelişimini açıklamak için diferansiyel denklemleri kullanabiliriz.
Diferansiyel denklemi çözmek, ilgilendiğimiz miktarı tanımlayan denklemler aracılığıyla istediğimiz miktarı elde edebilecek matematiksel bir denklem bulmak anlamına gelir. Birçok fiziksel sistem, ister titreşen bir gitar teli olsun, ister yüksek sıcaklıktaki bir nesneden düşük sıcaklıktaki bir nesneye ısı transferi olsun, diferansiyel denklemlerle tanımlanır.
Ancak NS denklemi çok daha zordur: matematiksel bir bakış açısından, diğer diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılan mevcut teknikler onun için etkili değildir; fiziksel bir bakış açısıyla, sıvılar, mum ve sigaralardan duman gibi kaotik ve çalkantılı davranışlar sergileyebilir. İlk akış kararlı ve öngörülebilir olma eğiliminde olacak, ancak yakında öngörülemeyen bir girdap içine düşecektir.
Bu türbülans ve kaotik davranış, NS denkleminin her durumda doğru bir şekilde çözülemeyeceği anlamına gelir. Belki bu denklemleri izleyen bazı ideal matematiksel sıvılar oluşturabiliriz.
NS denklemine her koşulda bir çözüm bulabilen veya NS denkleminin çözülemediği bir örnek verebilen herkes 1 milyon doları kazanabilir.
3. Yang Mills'in varlığı ve kitle farkı
Matematik ve fizik her zaman karşılıklı yarar sağlayan ve kazan-kazan ilişkisi içinde olmuştur. Matematiğin gelişimi genellikle fiziksel teoriler için yeni araştırma yolları açabilir ve yeni fiziksel keşifler genellikle daha derin temel matematiksel açıklamalara ilham verir.
Kuantum mekaniği, tarihteki en başarılı fizik teorilerinden biridir. Madde ve enerji, atomik ve atom altı ölçeklerde çok farklı davranır ve 20. yüzyılın en büyük başarılarından biri, bu davranışı anlamak için bir dizi teori ve deneyin geliştirilmesidir.
Modern kuantum mekaniğinin en önemli temellerinden biri Young Mills Teorisi (Yang-Mills teorisi), elektromanyetik kuvveti, zayıf nükleer kuvveti ve güçlü nükleer kuvveti tanımlamak için geometrik simetriden türetilen matematiksel yapıyı kullanır. Yang Mills'in teorisinin yaptığı tahminler, birçok deneysel doğrulamaya dayanmıştır ve atomların nasıl birbirine bağlandığını anlamanın önemli bir parçasıdır.
Fiziksel başarının yanı sıra, teorinin matematiksel temeli hala belirsizdir. Özellikle endişe verici konulardan biri " Kütle boşluğu "(Kütle boşluğu), bazı atom altı parçacıkların kütlesiz bir dereceye kadar fotonlara benzer olmasını gerektirir. Kütle boşluğu, nükleer kuvvetin gücünün neden elektromanyetik kuvvet ve yerçekiminden çok daha yüksek olduğunu, ancak etki aralığını açıklamak için kullanılır. Çok kısa ve önemli bir kavram.
Bu nedenle, bu bin yıllık problem, Yang Mills'in fizik teorisinin arkasındaki matematiksel temeli göstermek ve kütle boşluğu için tam bir matematiksel açıklama sağlamaktır.
4. Riemann hipotezi
Riemann. | Resim kaynağı: Wikimedia Commons
asal sayı (Asal sayılar) her zaman matematikçilerin en çok ilgilendiği konulardan biri olmuştur. Temel bir seviyeden, asal sayılar, fiziksel dünyadaki her şeyi inşa etmek için kullanılan atomlar gibidir.Tüm tam sayılar, benzersiz bir asal sayılar kümesine ayrıştırılabilir.
Matematikteki asal sayıların temel konumuna bağlı olarak, asal sayıların düz bir gerçek sayı çizgisi boyunca nasıl dağıldığını (veya her asal sayı arasındaki mesafenin ne kadar uzakta olduğunu) incelemek matematikçilerin ilgisini çeker.
19. yüzyılda matematikçiler, asal sayılar arasındaki yaklaşık ortalama mesafeyi veren birçok formül keşfettiler. Bununla birlikte, asal sayıların tam dağılımının bu ortalama değerden ne kadar uzakta olduğu, yani, bu ortalama değer formüllerine göre, gerçek satırda "çok fazla" veya "çok az" asal sayı olup olmadığı hala bilinmemektedir.
Riemann hipotezi, asal sayıların dağılımının ortalamasından uzaklığa dayalı aralıklar oluşturarak bu varoluşları sınırlandırır. Riemann işlevi Riemann'ın matematiksel yapısının sıfır noktası dağılımı varsayımı. Riemann fonksiyonu, karmaşık düzlemde özel bir eğridir. fonksiyonu ayrıca matematik alanında bağımsız bir araştırma konusu haline gelmiştir. Bu, Riemann hipotezini ve ilgili problemleri yapar Daha önemli görünüyor.
Diğer birkaç milenyum meselesi gibi, birçok kanıt Riemann'ın hipotezinin doğru olduğunu öne sürüyor, ancak tam ve ayrıntılı bir kanıt hala ortaya çıkmadı. Şimdiye kadar, bilgisayar yöntemleri zeta işlevi için yaklaşık 10 trilyon çözüm buldu ve karşı örnek yok.
Ayrıca, Riemann'ın hipotezinin birçok başarısız kanıtı vardır: En ünlü hata Fransız matematikçi Alan Connes tarafından yapılmıştır. Connes çok prestijli bir matematikçi, 1982 Fields Madalyası kazananı. Adlı bir set geliştirdi Değişmeli olmayan geometri Ve bu teoriyi Riemann hipotezini kanıtlamak için kullanmak istiyor. 1997 yılında, başarılı bir şekilde kanıtladığını düşündüğünde, sonucu bildirmek için Princeton'a uçtu. Birisinin hatayı çabucak işaret etmesi üzücü ve bu yazma hatası bugüne kadar kaydedilemez. Daha sonra bir matematikçiye bu hatanın neden olduğu hayal kırıklığı hakkında bazı makaleler yazdı ve bir makalesinde şöyle dedi: "İlk hocam Gustave Choquet'e göre, açık bir şekilde ünlü bir Çözülmemiş sorunlar bir tür risktir, çünkü diğerleri başarısızlığınızı diğerlerinden daha fazla hatırlayacaktır ... Belli bir yaşa geldikten sonra, hayatımın sonunu güvenle beklemenin de bir Bu, kendinizi başarısızlığa uğratmak için bir seçim. Sonraki 20 yıl içinde, hataları düzeltmeyi bırakmadı.
Purdue Üniversitesi'nden profesör Louis de Branges, "kimsenin umursamadığı" çok iyi bilinen bir durum da var 2004'te Riemann hipotezini kanıtladığını ancak kimsenin dikkatini çekmediğini açıkladı. ABC varsayımını kanıtladığına inanan Mochizuki Shinichi'ye benzer şekilde, bunu kanıtlamak için yeni teoriler geliştirdi; ancak Mochizuki'nin aksine, akademik itibarı iyi değildi, bu yüzden herkes bunun yanlış olduğunu düşündü.
Elbette matematiksel bir bakış açısıyla, 10 trilyon gerçek örneği olan bir hipotez, hiçbir şekilde tam bir kanıta sahip olmakla eşdeğer değildir, bu da Riemann hipotezini hala çözülmemiş problemler arasında yapar.
5. Beh ve Swinerton-Dyer varsayımı
Flickr / Ozzy Delaney
Matematiksel araştırmanın en eski ve en kapsamlı nesnelerinden biri Diyofant denklemi Veya bir tamsayı çözümü bulmak istediğimiz bir polinom denklemi. En klasik örnek, ortaokul geometri dersinde öğrendiğimiz Pisagor üçlülerinin sayısı veya Pisagor teoremini sağlayan üç tam sayı grubu, yani Pisagor teoremi x² + y² = z²'dir.
Eliptik eğrinin araştırma geçmişi 200 yıldan fazladır. Eliptik bir eğri, özel bir Diophantine denklemi türü tarafından tanımlanan bir eğridir. Bu eğrilerin sayı teorisi ve kriptografide önemli uygulamaları vardır ve bu eğrilerin tamsayı veya rasyonel sayı çözümlerini bulmak bu alandaki ana araştırmadır.
Son yıllarda matematikteki en parlak gelişme Andrew Wiles'ın klasik Fermat'ın Son Teoremi'nin kanıtıdır, bu da Pisagor üçlü sayısının üst düzey versiyonunun var olmadığını kanıtlar. Wiles'ın Fermat'ın son teoremine dair kanıtı, eliptik eğri teorisinin daha geniş bir gelişimine yol açtı.
ve Beh ve Swinnerton-Dyer Varsayımı (BSD varsayımı) Eliptik eğri ile tanımlanan denklemin çözümünü anlamak için bir dizi ek analiz aracı sağlar.
6. Hodge Varsayımı
Claudio Rocchini, Wikimedia Commons aracılığıyla
Genel olarak, cebirsel geometrinin matematiksel kuralı, cebirle tanımlanabilen cebirsel denklemlerin çözüm setinin yüksek boyutlu şeklini incelemektir.
En basit örnek olarak, ortaokul cebirinde öğrendiğiniz y = x² hatırlarsanız, denklemin çözümü bir kağıda çizildiğinde parabolik bir şekil elde edersiniz. Cebirsel geometri, çok değişkenli polinom karmaşık sayı denklem sistemi dikkate alındığında eğrinin daha yüksek enlem versiyonu ile ilgilenir.
20. yüzyılda matematikçiler, eğriler, yüzeyler ve hiperboloidler gibi cebirsel geometrinin araştırma nesnelerini daha iyi anlamak için çok daha olgun teknikler geliştirdiler. Bu hayal edilemez şekiller, karmaşık hesaplama araçlarıyla daha kabul edilebilir hale getirilebilir. Belirli geometrik yapıların, bu şekilleri daha iyi incelemek ve sınıflandırmak için kullanılabilecek özellikle yararlı bir cebirsel karşılıklara sahip olduğu varsayımlarını hodge.
Hodge'un varsayımı için geçerli bir hesaplama kanıtı yoktur, çünkü genel hesaplamalar için doğru yöntemi bulmak imkansızdır. Bu nedenle, matematikçiler Hodge'un varsayımının doğru olup olmadığından hala emin değiller. Ek olarak, Riemann'ın varsayımına kıyasla başka bir bakış açısından, Hodge'un varsayımı yanlış olabilir, ancak Riemann'ın varsayımı yanlış olabilir. Çünkü Riemann'ın varsayımı yanlışsa, sonuç dünyanın çöküşü olacaktır; Hodge'un varsayımı yanlışsa, sonuç dünyayı yalnızca daha karmaşık hale getirecek, çöküşü olmayacaktır.
Yukarıdakiler, altı bin yıllık matematik bulmacasının kısa bir açıklamasıdır. Problemlerden birini çözmekle ilgilenen herhangi bir okuyucu, Cray Institute of Mathematics'in resmi web sitesinde bu altı problemin ayrıntılı bir tanımını okuyabilir.
