Deseni asla tekrarlama
1
Okulda kullandığınız resim kağıdını hatırlıyor musunuz? Üzerinde küçük kareler olan türden. Matematikçiler buna " Periyodik Uzay Yoğunluğu "" İçin mükemmel bir örnek, tüm alanın periyodik olarak farklı şekillerle kaplandığı ve şekiller arasında örtüşme olmadığı ve boşluk olmadığı anlamına gelir. Tüm desen bir döşemenin uzunluğu tarafından çevrilirse veya 90 ° döndürülürse, Aynı model elde edilebilir.
Karelere ek olarak, eşkenar üçgenler ve düzgün altıgenler kullanarak bu tür desenleri kolayca elde edebiliriz. Bu ortak seramik karolar aşağıdaki özelliklere sahiptir: Her iki tarafı aynı uzunluktadır ve kenarlar arasındaki açı da aynıdır. .
Öyleyse, tüm normal çokgen karolar periyodik, örtüşmeyen, kesintisiz desenler halinde döşenebilir mi?
Yapma, Düzenli beşgen Belli ki değil. Gerçekler, banyo duvarlarını üst üste binmeden ve sorunsuz bir şekilde kaplamak için normal beşgen fayans kullanamayacağımızı kanıtladı. Bunun arkasındaki nedeni anlamak aslında zor değil: sıradan bir düzgün beşgenin 108 ° lik 5 iç açısı vardır.Bir noktanın etrafına düzgün bir beşgen döşemeye çalışırsak, her üçünün de Bir boşluk var çünkü 3 × 108 ° = 324 °, tam bir daire için 360 ° 'den daha küçük; ancak bir noktanın etrafına döşenmiş dört düzgün beşgen kaçınılmaz olarak üst üste binecektir çünkü 360 °' den büyük olan 4 × 108 ° = 432 °.
2
1974'te fizikçiler Roger Penrose (Roger Penrose) Normal beşgeni temel alarak harika bir çini deseni tasarladı. Yalnızca iki farklı şekil kullanarak, beş kat simetriye ulaşabilen ve kendini tekrar etmeden sonsuza kadar devam edebilen bir model oluşturabileceğini buldu. Diğer bir deyişle, iki karo şekli ile döşeme sonunda periyodik olmayan bir desen elde edecektir.
Düzenli bir beşgenin, tepe açısı 36 ° olan 6 küçük düzgün beşgen ve 5 ikizkenar üçgenden oluşabileceğini gözlemledi (yukarıdaki şekilde gösterildiği gibi). Bundan sonra, işlemi aynı şekilde tekrarlayın, böylece bir sonraki yinelemeden sonra oluşan 6 normal beşgen içinde elmaslar görünecektir (aşağıdaki şekilde solda).
Bir sonraki yinelemede, eşkenar dörtgen sivri bir şekle (yukarıda) dönüşecek ve ortadaki boş kısım düzgün bir beşgene ve bir beşgene bölünebilmesi için ona düzenli bir beşgen eklenebilir. Yıldız ve gemi benzeri bir desen (sağ üstte).
Yeni düzenli beşgenin yerleştirilmesi, beş köşeli yıldız ve "gemi" nin yerleştirme kurallarını da müjdeledi. Bu şekilde, bu kuralı kullanarak, döşemek için dört şekil kullanabiliriz.
Aşağıdaki şekil, bu kural kapsamında bu dört şekil kullanılarak elde edilebilecek çini desenidir.
Penrose, bu şekillerde bazı basit değişiklikler yaparak, periyodik olmayan, tekrar etmeyen desenleri başarıyla oluşturdu. Daha sonra sadece iki tane kullandı elmas Bu periyodik olmayan model oluşturulmuştur.
Yukarıdaki resimde gösterilen Penrose karoları, beş kat simetriye sahip olmayan iki eşkenar dörtgenden oluşur.
3
Doğa, tüm olası düzenlemeler arasında bu tür düzenli düzenlemeleri tercih eder, bu da onları bir araya getirmek için gereken enerjinin en az olduğu gerçeğiyle ilgilidir. Son birkaç on yıla kadar, bu periyodik olmayan ve asla tekrar etmeyen düzenleme modelinin kristallerde de var olabileceğini fark etmedik.
1980'ler, Dan Shechtman (Dan Schechtman) her yönde periyodik olmayan desenlere sahip olan ve 72 ° döndürüldüğünde hala dönme simetrisine sahip bir "alüminyum-manganez" alaşım keşfetti. Bu sonuç için, birçok bilim adamı buna inanamayacaklarını söyledi, çünkü ondan önce, öteleme simetrisi olmayan, ancak dönme simetrisi olan bir kristal aslında düşünülemezdi. Ancak böyle bir yapının bir tür Penrose karoları ile açıklanabileceği ortaya çıktı. Şimdi, bu tür alışılmadık simetri yapılarına sahip kristallere " Kuasikristal ".
Resim kaynağı: Nobelprize
Yarı kristallerin asla tekrarlanmayan modeli, yapısının özündeki irrasyonel sayıdan kaynaklanır.Bu irrasyonel sayı, Penrose mozaiğinde defalarca tekrarlanır. altın Oran ( ). Penrose mozaiğinde, kalın elmas sayısının ince elmaslara oranı 'dir; yarı kristallerde atomlar arasındaki çeşitli mesafelerin oranı her zaman ile ilgilidir.
değeri yaklaşık olarak 1.618'dir ve = 1 + 1 / relationship ilişkisini sağlar. Düzenli bir beşgen için, içerdiği beş köşeli yıldızın kenar uzunluğunun kendi kenar uzunluğuna oranı 'ye eşittir. Bu nedenle, bir yarı kristal düzgün bir beşgenden oluştuğunda, 72 ° dönme simetrisini gözlemleyebiliriz.
Yarı kristal malzemelerin aşınma direnci, birçok pratik uygulamaya sahip olmalarını sağlar.Günlük hayatımıza yakın bir örnek, tavalar için çizilmeye dayanıklı kaplamalar olarak kullanılabilmeleridir. Bu nedenle, Penrose tarafından başlatılan araştırma sadece kavramsal bir matematiksel zorluk değildir, yüksek verimli yarı kristal lazerlerin üretimi de dahil olmak üzere birçok pratik uygulamada büyük beklentilere sahiptir. Ek olarak, bazı araştırmacılar, istenen yansıtıcı etkiyi elde etmek için ev kaplamalarına yarı kristallerin nasıl ekleneceğini de düşünüyor.
Metin: Zuoyou
Referans kaynağı:
https://theconversation.com/the-maths-behind-impossible-never-repeating-patterns-63801
https://plus.maths.org/content/trouble-five
https://www.maths.ox.ac.uk/about-us/life-oxford-mathematics/oxford-mathematics-alphabet/aperiodic-tiles
https://www.wadham.ox.ac.uk/news/2014/january/non-repeating-patterns
https://plus.maths.org/content/os/issue16/features/penrose/index
https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-chemistryprize2011.pdf
