Değişmeyen
1
Çağlar boyunca, insanlar doğal dünyayı incelemeye takıntılıydı simetri . Çevremizdeki dünyada simetrik şeyler çoktur, çok farklıdırlar ve genellikle kendilerine özel statüler verilir. Birçok kültürde, insanlar hayatlarını temsil etmek için simetrik desenler veya nesneler semboller olarak kullanırlar.
19. yüzyılda matematikçiler, simetri modunun arkasındaki matematiksel yapıyı sistematik olarak incelemeye başladılar. 20. yüzyılda matematik Grup teorisi Modern fiziği anlamak için en önemli araçlardan biri olun. Peki grup nedir? Simetri ile nasıl ilişkilidir?
2
Simetri, matematikçiler tarafından incelenen önemli bir özelliktir.Matematikçiler bir nesnenin simetriye sahip olup olmadığını tarif ederken, aslında Nesnenin bazı işlemlerden veya hesaplamalardan sonra değişmeden kalıp kalamayacağı . Örneğin, bir kare döndürme ve yansıtma işlemlerinde güçlü simetriye sahipken, bir dikdörtgenin bu iki işlem altında zayıf bir simetrisi vardır.
Örnek olarak en basit ve en tanıdık geometrik yapı-eşkenar üçgenleri alın Eşkenar üçgenlerin simetrik dönüşümünü bulmak, eşkenar üçgenleri değişmeden tutabilen tüm katı hareketleri özetlemektir. Bundan önce, ilk olarak eşkenar üçgenin üç köşesini 1, 2 ve 3 olarak işaretleyebiliriz.
İlk bariz simetri hiçbir şey yapmamaktır - buna Kimlik dönüşümü ; İkinci simetri, üçgenin merkezi civarındadır 120 ° saat yönünün tersine döndür , Bu işlemi tekrarlamak eşkenar üçgeni olduğu gibi koruyabilir. Bu tür üç dönüş yapıldığında, eşkenar üçgen tamamen orijinal konumuna geri dönecektir.
Eğer kullanırsan ben Sürekli değişim anlamına gelir, R 120 ° saat yönünün tersine dönüş anlamına gelir, ardından üçgeni orijinal şekline geri döndürmek için üç dönüş basitçe R³ = I olarak ifade edilebilir. Bu ilişki, saat yönünün tersine veya saat yönünde döndürülmesine bakılmaksızın geçerlidir.
Eşkenar üçgenin başka bir simetrik dönüşümü eksen üzerinde gerçekleştirilir. Çevir Bu çevirmeyi temsil etmek için T harfini kullanabiliriz. Şekilde gösterildiği gibi, köşe 1'in orta çizgisi boyunca çevirirseniz, köşe 1 değişmeden kalır ve köşe 2 ve 3'ün konumları değişir.
Simetrik bir dönüşümün, başka bir simetrik dönüşümün tamamlanmasından sonra, bu kombinasyonun sonucu da simetrik bir dönüşüm olmalıdır. Örneğin, önce döndürme dönüşümünü R yapın ve ardından ters dönüşümü T yapın, sonra bu işlemden sonra (TR yazarak),
Bu işlemin sırası RT olarak değiştirilirse, yani ilk olarak çevirme dönüşümü T yapılır ve daha sonra dönüş değişikliği R yapılırsa, bu kez sabit orta hat bu kez sağ tepe noktasından merkeze olan olur.
Görülebileceği gibi TR ve RT simetrik dönüşümler olmasına rağmen, TR RT Simetrik değişikliklerin bu kombinasyonu birbirinin yerine kullanılamaz , Farklı dönüşüm emirleri farklı sonuçlar verecektir.
Eşkenar üçgenlerde şu ana kadar altı simetri olduğunu bulmak zor değil:
Bu 6 çifti temel alarak ve her birini diğer simetrik dönüşümlerle birleştirerek 36 kombinasyon elde edilebilir.
Bunları tabloda tek tek listeleyin ve ilk sütundaki simetrik dönüşümü ilk satırdaki simetrik dönüşümle birleştirin. Örneğin, ilk dönüşüm R² olduğunda (saat yönünün tersine iki kez 120 ° dönüş), ikinci dönüşüm TR'dir (Saat yönünün tersine 120 ° döndürün ve sonra ters çevirin), ardından R² ve TR kombinasyonu TRR² ve RR² = R³ = I olacaktır, bu nedenle TRR² kombinasyonu T'ye eşdeğerdir.
Bu masanın adı Cayley tablosu İngiliz matematikçiye dayanmaktadır Arthur Cayley Adlandırıldı.
Eşkenar üçgenlerin simetrisinin Cayley tablosundan, I kimlik dönüşümünü elde etmek için R simetrisinin sürekli olarak 3 kez dönüştürülmesi gerektiğini görebiliriz; R²'nin de 3 kez sürekli dönüştürülmesi gerekir, yani üç kez saat yönünün tersine 240 ° dönüş elde edilebilir. Eşkenar üçgenin orijinal durumuna dönmesine izin verin; T simetrisi, kimlik dönüşümünü elde etmek için iki ardışık dönüşüm gerektirir ... Matematikte bu Simetrik bir dönüşüm, özdeşlik dönüşümü için gereken sefer sayısını elde etmek için kendisiyle birleştirilebilir. denir " Sipariş ". Bu örnekte, R'nin sırası 3, R²'nin sırası 3 ve T'nin sırası 2 ...
3
Düzen, grup teorisinde temel bir kavramdır. Peki grup nedir? Bir tanım vermeden önce, bu makalede tartışılan eşkenar üçgenin tüm simetrileri gibi, aşağıdaki simetrilerden oluşan bir grup olan bir dizi nesneyi ele almamız gerekir:
- Her iki simetri birleştirilerek üçüncü bir simetri oluşturulabilir;
- Kimlik dönüşümü olarak adlandırılan simetrik dönüşüm, başka herhangi bir simetri ile birleştirildiğinde herhangi bir değişikliğe neden olmayacaktır;
- Her simetrinin ters simetrisi, yani bir simetri kendi ters simetrisi ile birleştirildiğinde, özdeşlik simetrisi de elde edilecektir;
- Bu simetriler birleşme yasasını karşılar: Örneğin, A, B ve C üç simetrik dönüşümdür, bu durumda (AB) C = A (BC).
Şimdi 6 ayaklı ve 6 küçük ayaklı bu rakamı örnek olarak alalım. Merkez etrafında saat yönünün tersine 60 ° dönen bir simetri r'ye sahiptir, bu nedenle r², r³, r ve r, r = I olan simetrisidir. Küçük ayakların varlığı, ters simetri T'yi kaybetmesine neden olur, bu nedenle bu grafiğin simetri grubu {I, r, r², r³, r, r} ve Cayley tablosu:
Eşkenar üçgende olduğu gibi, bu simetri grubunda 6 element vardır, ancak fark şudur: Bu simetri grubunda dönüşüm sırası farklılık yaratmaz. R² x r³ = r³ x r² gibi. Emirleri değiştirilebilen gruplar çağrılır Abel Grubu Norveçli bir matematikçi Abel (Niels Henrik Abel) adlı.
Yaygın geometrik şekillerde, kare ve dikdörtgen arasındaki simetri arasındaki fark nedir?
Bir kare 8 çeşit simetriye sahiptir, özdeşlik dönüşümüne ek olarak 90 °, 180 ° ve 270 ° dönme simetrisine, yatay merkez çizgisine ve dikey merkez çizgisine göre ters simetriye ve köşegen etrafında iki çevirme simetrisine sahiptir. Bu 8 simetri bir grup oluşturur ve sonra Bu simetrik dönüşümleri grupta birleştirin ve sonuç grupta zaten var olan belirli bir simetrik dönüşüm olacaktır ve gruptaki her simetri ters simetriye sahiptir. .
Bir kareye kıyasla, bir dikdörtgenin bitişik kenarlarının farklı uzunlukları olduğundan, sadece 4 tür simetriye sahiptir: kimlik dönüşümü, 180 ° dönme simetrisi ve yatay ve dikey yönlerde ters simetri. Bu 4 simetri dikdörtgen bir simetri grubu oluşturur; Benzer şekilde, gruptaki herhangi iki dönüşümü birleştirmek 4 simetriden diğerini alabilir.
Bu Cayley tablosundan, bir dikdörtgen için her simetrinin kendi ters simetrisi olduğunu, dolayısıyla dikdörtgenin simetri grubunun da bir Abelian grubu olduğunu bulacağız.
4
Lagrange teoremi Grup teorisi için hayati önem taşıyan bir teoremdir, sağlayabilir Alt grup Alakalı bilgiler. Bir alt grup, grubun içerdiği küçük bir gruptur.Alt gruptaki herhangi iki öğeyi birleştirmek, bu alt gruptaki bir öğeyi alabilir ve alt gruptaki her bir öğenin ters öğesi de bu alt gruptadır. .
Lagrange teoremi diyor ki: Alt grubun sırası, grubun sırasına göre bölünebilir. Bir simetri grubunun sırası, grupta bulunan elemanların sayısı olarak tanımlanabilir. Örneğin, yukarıdaki örnekten, eşkenar üçgenin simetri grubunun sırasının 6, karenin 8 ve dikdörtgenin 4 olduğunu bilebiliriz.
Eşkenar üçgenin simetri grubunu tekrar örnek olarak alırsak, Cayley tablosundaki {I, R, R²} alt küme alt gruplardan biridir: {I, R, R²} 'deki herhangi iki öğeyi birleştirerek elde edin {I, R, R²} alt kümesindeki herhangi bir öğe; {I, R, R²} 'deki her bir öğenin ters öğesi bu alt kümededir, çünkü R ve R² birbirinin ters öğeleridir. {I, T}, bir eşkenar üçgenin simetri grubundaki bir alt grubun başka bir örneğidir.
Bir eşkenar üçgenin simetri grubunun sırası 6'dır ve {I, R, R²} alt grubunun sırası 3'tür, 3, 6'yı bölebilir; {I, T} alt grubu 2. düzeydedir ve 2 de 6'yı bölebilir. Lagrange teoremi, alt grupların boyutuna güçlü bir kısıtlama getirir.Bir eşkenar üçgenin simetri grubunun, 4 veya 5 dereceli alt gruplara sahip olmayacağı görülebilir.
Bu teoriden çok önemli bir çıkarım yapılabilir, yani Bir gruptaki herhangi bir öğenin sırası, grubun sırasına göre bölünebilir . Örneğin, bir eşkenar üçgenin simetri grubunda, 1., 2. ve 3. dereceden elemanlar vardır ve hepsi 6'yı bölebilir. Herhangi bir grupta, gruptaki herhangi bir elemanın kendisiyle olan kombinasyon sayısı grubun sırası olduğunda, bir kimlik dönüşümü elde edilecektir - açık anahtar kriptografisinin temelini oluşturan bir sonuç.
5
Herkese Sonlu basit grup Sınıflandırma, 20. yüzyılda matematik alanında büyük bir başarıdır. Sonlu basit gruplar, diğer tüm grupları oluşturmak için kullanılabilen bir grup türüdür ve diğer parçalara ayrıştırılamazlar. Asal sayılar ve tamsayılar olarak basit grupları gruplara göre karşılaştırabiliriz, tam sayılar için her tam sayı asal sayılardan oluşur, ayrıca her grubun basit gruplardan oluştuğunu söyleyebiliriz.
Bu makalede, sadece birkaç basit sonlu grubu listeledik ve sonsuz grupları içermedik - örneğin, herhangi bir açıda merkez etrafında dönebilen ve değişmeden kalan bir çemberin simetrisi ... Bu örnek de Çok var. Gruplar ve diğer cebirsel yapılar, geometri ve topoloji gibi birçok alanda çok önemlidir. Fiziksel sistemlerdeki grupları da görebiliriz Örneğin, mekanikte, bazı temel denklemlerin simetrisi, parçacık fiziğinin standart modelinde olduğu gibi, korunan miktarlara da karşılık gelir.
Referans kaynağı:
https://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/symmetries-and-groups
