Simetrinin var olamayacağı boyutlar
1977'de ne zaman Robert Kammoor (Robert Zimmer) Chicago Üniversitesi'nde öğretmenlik yapmaya gittiğinde, Harvard Üniversitesi'nde yüksek lisans yaparken başladığı işe devam etti. Araştırması, dinamik (tekrarlanan dönüşümlerin incelenmesi) ve Lie teorisi (simetriyi inceleyen matematik alanı) arasındaki ilişkiyi içerir.
Chicago Üniversitesi'nde matematik profesörü olarak Jin Moore, ergodik teori ve diferansiyel geometriyi de içeren araştırmasını mükemmelleştirdi ve nihayet 1980'lerin başlarında şimdi denilen şeyi özetledi. Kam Moore Programı (Zimmer programı) çalışmaları şunları içerir: Jinmoore Varsayımı .
Jin Moore, 2006'dan beri Chicago Üniversitesi'nin başkanı olarak görev yapıyor ve bundan sonra dokuz rakamlı bağışlarıyla manşetlere çıktı ve kampüste konuşma özgürlüğünü savunmak için köşe yazıları yazdı. Arkasında ciddi bir araştırma bıraktıktan çok sonra, başlattığı araştırma projesi sonunda meyvesini verdi.
Bir yıl önce, geometrik uzayda belirli bir simetri türünün varlığıyla ilgili olan Jin Muer varsayımını üç matematikçi çözdü. Kanıtları, son yılların en büyük matematiksel başarılarından biridir. Jin Muer, "Beş yıl boyunca, her gece yatağa gittiğimde bu sorunu düşünüyordum. Beni büyüledi. İnsanların bu sorunu çözdüğünü görmek harika."
Şimdilerde Chicago Üniversitesi'nin başkanı olan Jin Moore, yaklaşık 40 yıl önce Jin Moore varsayımını önerdi. | Resim kaynağı: Chicago Üniversitesi
Genel olarak geometrik bir alan Boyut Ne kadar çok varsa o kadar çok simetri . Örneğin, iki boyutlu bir düzlemdeki bir daireyi üç boyutlu bir yöne uzanan bir topla karşılaştırdığınızda, bir topu döndürmenin bir daireyi döndürmekten daha fazla yolu olduğunu görebilirsiniz. Topun ekstra boyutu ekstra simetri yaratır.
Jin Muer'in varsayımı çağrılmayı içerir " Daha yüksek sıralı kafes (Yüksek dereceli kafes) "özel simetri, geometrik uzayın boyutluluğunun bu simetri türlerinin uygulanabilirliğini sınırlayıp sınırlamayacağını sorar. Bu kez Jin Mooreun varsayımının ispatının yazarı Chicago Üniversitesi'nden Aaron Brown , Sebastian Hurtado-Salazar Ve Indiana Üniversitesi David Fisher , Kanıtladılar Belli bir boyutun altına düştüğünde, bu özel simetri bulunamaz. . Başka bir deyişle, Jin Moore'un varsayımını doğruladılar.
Çalışmaları uzun süredir devam eden ve önemli bir sorunu çözdü, diğer birçok sorunun incelenmesinin yolunu açtı ve geometrik uzayın derin bir iç doğasını ortaya çıkardı. Simetri, bu alanı anlamanın en temel özelliklerinden biridir. Bu yeni araştırma, bu simetrilerin bir uzayda var olabileceğini, ancak başka bir yerde var olamayacağını kesin bir şekilde gösteriyor. Bundan önce, bu varsayımın ilerlemesi onlarca yıldır durmuştu.
Chicago Üniversitesi'nde Matematikçi Amie Wilkinson Bu yılın başında, bu yeni sertifikasyonla ilgili bir konferans düzenlendi. Dedi ki: "Bu sorunu nispeten basit bir şekilde çözdüler."
simetri
Simetri, çocukların matematikte karşılaştığı ilk geometrik kavramlardan biridir. Uygulamalı operasyonlar sayesinde, şekli döndürebildiklerini, çevirebildiklerini ve hareket ettirebildiklerini ve nihayet orijinal şekline geri dönebildiklerini keşfettiler. Değişen nesne aynı özellikleri korur Bu, evrende derin bir düzen olduğunu ima eder.
Matematikçilerin simetriyi incelemek için kendi resmi dilleri vardır. Bu dil, onlara belirli bir geometrik uzay için geçerli olan tüm farklı simetrileri düşünmek için kısa bir yol sağlar. Örneğin, bir karenin sekiz simetrisi vardır - bir kare elde etmek için onu sekiz şekilde çevirebilir veya döndürebilirsiniz. Buna karşılık, bir daire herhangi bir açıda döndükten sonra da daire olabilir ve sonsuz simetriye sahiptir. Matematikçiler, belirli bir geometrik nesnenin veya alanın tüm simetrisini tek bir yerde toplarlar " grup (Grup) ".
Grubun kendisi de araştırmanın amacıdır. Gruplar genellikle belirli geometrik uzayları incelerken görünürler, ancak tamamen geometrik olmayan bağlamlarda da görünürler.Örneğin, bir sayılar koleksiyonu bir grup oluşturabilir. Jin Muer, "Prensipte, gruplar çeşitli şeylerin simetrisi olarak görünebilir." Dedi.
İlkokulda öğrendiğimiz çeşitli simetrilere ek olarak, daha egzotik simetri biçimleri de var. Örneğin, kristal kafesin simetrisi düşünülebilir. En basit kafes iki boyutlu bir ızgaradır. Düzlemde, kafesi herhangi bir sayıda kare kadar yukarı, aşağı, sola veya sağa hareket ettirebilirsiniz ve son kafes başlangıçtaki ile tamamen aynıdır. Kafesi ızgaradaki herhangi bir kareye de eşleyebilirsiniz. Kafesli bir uzayda sayısız farklı kafes simetrisi vardır.
İki boyutlu kafesin simetrisi. | Resim kaynağı: Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine
Kristal kafes herhangi bir boyutsal uzayda var olabilir. Üç boyutlu uzayda kafes, kareler yerine küplerden oluşabilir. Dört boyutlu veya daha yüksek boyutlu uzayda, kafesi tanımlayamayız, ancak çalışma prensibi aynıdır ve matematikçiler onu doğru bir şekilde tanımlayabilir.
Jinmuer varsayımı, belirli yüksek boyutlu uzaylarda var olan özel "üst düzey" kafesleri içeren grupları inceler. Hurtado-Salazar, "Bu tuhaf ızgarayı görürseniz, ben göremesem de çok güzel olduklarını göreceksiniz, ama sanırım çok güzel olmalı."
20. yüzyıl boyunca matematikçiler, grupların yalnızca geometride değil, aynı zamanda sayı teorisi, mantık ve bilgisayar bilimlerinde de ortaya çıktığını keşfettiler. Yeni gruplar keşfedildiğinde, insanlar doğal olarak şu soruyu sorarlar: Bu belirli simetri kümelerini ne tür bir alan sunacak?
Bazen bazı grupların bir alana uygulanamayacağı açıktır. Örneğin, bir çemberin simetri grubunun bir kareye 10 derece kare döndüren bir kareye uygulanamayacağının, orijinal kareyi alamayacağının farkına varmak sadece biraz zaman alır. Ancak sonsuz simetriye sahip bir grup ile çok boyutlu bir mekanın birleşimi, grubun bu mekana uygun olup olmadığının belirlenmesini çok zorlaştıracaktır. Jin Muer, "Daha yüksek boyutlardaki daha karmaşık gruplar için bu sorunlar çok daha karmaşık hale gelecektir." Dedi.
Gevşek bağlantı
Simetriyi düşündüğümüzde, saat yönünde 90 derece döndürülmüş bir kare gibi genel bir şeklin döndürüldüğünü hayal ederiz. Bununla birlikte, ince bir düzeyde, simetri aslında noktaların hareketiyle ilgilidir. Mekanı simetri ile dönüştürmek, uzaydaki her noktayı alıp uzayda başka bir noktaya taşımak demektir. Bu durumda, bir kareyi saat yönünde 90 derece döndürmek aslında şu anlama gelir: karedeki her noktayı alın, saat yönünde 90 derece döndürün ve son olarak bu noktalar başlangıç konumundan farklı konumlarda görünür.
Aşağı yukarı bu noktaları katı bir şekilde hareket ettirebiliriz. En yaygın simetrik dönüşümler - köşegen boyunca bir kareyi aynalama veya kareyi 90 derece döndürme - çok katıdır. Bu dönüşüm katıdır çünkü noktaları bozmazlar. Ayna dönüşümünden önceki köşeler olan noktalar, dönüşümden sonra hala köşelerdir, ancak bunlar sadece farklı köşelerdir; ayna dönüşümünden önce kenarları oluşturan noktalar, dönüşümden sonra hala kenarları oluşturur, ancak bunlar sadece farklı kenarlardır.
Bununla birlikte, daha gevşek ve daha esnek simetrik dönüşüm türleri vardır ve bunlar Jinmuer varsayımının konularıdır. Bu dönüşümlerde, noktalar daha kapsamlı bir şekilde yeniden düzenlenir.Dönüşüm uygulandıktan sonra, noktalar birbirleriyle önceki ilişkilerini mutlaka sürdürmeyebilirler.
Örneğin, her noktayı çevre boyunca üç birimlik bir kare üzerinde hareket ettirebilirsiniz bu, simetrik dönüşümün temel gerekliliğini karşılar, ancak uzaydaki her noktayı yeni bir konuma taşır. Jin Moore varsayımının ispatının yazarlarından biri olan Aaron Brown, bu sefer, bu daha gevşek dönüşümün bir küre için nasıl görüneceğini anlattı: "Topun kuzey ve güney kutuplarını zıt yönlere çekebilirsiniz ve topun noktaları ve mesafeleri değişecektir. Uzaklaştı. "
Izgara için, ızgara yalnızca düzlem üzerinde hareket ettirmekle kalmaz, aynı zamanda deforme edilebilir, bazı yerlerde uzatılabilir ve başka yerlerde sıkıştırılabilir, böylece dönüştürülen ızgara artık orijinal ızgarayla mükemmel şekilde örtüşmez. Bu tür bir dönüşüm daha az katıdır ve Diffeomorfizm (Diffeomorfizm).
Rijit dönüşüm ve rijit olmayan dönüşüm. | Resim kaynağı: Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine
Jinmuer varsayımında bu daha gevşek simetri biçimini kullanmanın iyi nedenleri var. 1960'larda, Grigory Margulis (Grigory Margulis) ilk önce Zimmer'in varsayımına dahil olan özel yüksek dereceli kafesi inceledi ve bu araştırma sonucu için Fields Madalyası kazandı. Margulis, yalnızca katı dönüşümlere izin verildiğinde bu yüksek dereceli kafesler tarafından hangi tür uzayların dönüştürülebileceğinin tam bir tanımını verdi.
Jin Moore'un varsayımı, Margulis'in çalışmalarının doğal bir devamıdır. Margulis tarafından keşfedilen bir dizi boşluk gibi, üst düzey kafeslerin hareket edebileceği bir dizi boşlukla başlar ve ardından kafeslerin daha az katı bir şekilde çalışmasına izin verilirse boşluk dizisinin genişleyip genişlemeyeceğini sorar.
Yeni çalışmada, üç matematikçi, yüksek dereceli kafes simetrisini uygularken, genişletilmiş simetri tanımının aslında hiçbir şeyi değiştirmediğini kanıtladı. Kafeslerin uzayı çok düzensiz yollarla (kesme, bükme ve gerdirme yoluyla) dönüştürmesine izin verilse bile, kafesler hala kesinlikle hareket edebilecekleri alanla sınırlıdır.
Fisher, "Soruna eklenen esneklik nedeniyle, doğrudan sezgi elbette bu kafeslerin çalışabileceğidir. Ancak şaşırtıcı bir şekilde cevap hayırdır. Bazı durumlarda yapamazlar."
David Fisher, Jin Muer varsayımını kanıtlayan üç matematikçiden biri. | Resim kaynağı: Eric Rudd, Indiana Üniversitesi
Matematikçiler, mekansal simetri olarak hizmet edebilecek uzamsal boyutlar ile kafes boyutları (veya sıralar) arasında kesin bir ilişki kurmuşlardır. Genel olarak konuşursak, kafesin derecesi ne kadar yüksekse, ona uyum sağlayacak bir alanın boyutunun da o kadar yüksek olduğunu kanıtladılar. Alanın nasıl dönüştürüleceğine dair önemli ölçüde esneklik olmasına rağmen, yüksek sıralı kafes dönüşümleri hala yüksek boyutlu uzaylarla sınırlıdır.
Jin Muer'in varsayımı, daha genel bir taslağa doğru atılan ilk adımdır. Bu varsayımı yanıtlayarak, bu yeni araştırmanın işbirlikçileri, üst düzey kafeslerin hareket edebileceği alanı kabaca sınırladılar. Sonraki daha iddialı aşama, kafesin göründüğü alanlara odaklanmak ve ardından bu kafeslerin alanı dönüştürdüğü tüm farklı yolları sınıflandırmaktır.
Jin Muer, "Nihayetinde, bu program tüm yolları sınıflandırabilmeli. Gördüğünüz şey, kafesin belirli yerlerde çalışmadığı, ancak ilginç sorunların bunların çok ötesine geçtiği." Dedi.
Referans bağlantısı:
https://www.quantamagazine.org/a-proof-about-where-symmetries-cant-exist-20181023/
