Bir kişi için 1,6 milyar dolar! Piyango bileti satın almak gerçekten zenginlik özgürlüğü sağlayabilir mi?
Yazar: Jing sub (Amerika Birleşik Devletleri Vassar College Yardımcı Doçent)
Son zamanlarda, Amerika Birleşik Devletleri'ndeki Mega Millions ikramiye miktarı, 23 Ekim'deki çekiliş tarihinden önce tarihin en yüksek seviyesine ulaştı: 1,6 milyar USD ! Hayatın her kesiminden insanlar piyango bileti almak için piyango noktasına gitti ve birçok kişi sosyal medyada piyango bileti fotoğraflarını yayınladı. Son olarak, Güney Carolina'dan bir süper koi 6 sayının hepsini seçti. Ayrıca, piyango kalabalığındaki altı sayıyı da kazanan tek kişi TA oldu, bu yüzden 1.6 milyar dolarlık ödülü elinden aldı.
Piyango bileti satın almak, ulusal bir eğlence etkinliği olarak tanımlanabilir. Genel olarak, kumar işine aktif olarak katkıda bulunan bir grup insan her zaman vardır, bir gecede zengin olmayı, finansal özgürlüğe ulaşmayı ve hayatın zirvesine ulaşmayı düşünüyorlar. Arada bir, bazı kumar oynamak potun büyümesi nedeniyle birdenbire manşetlere çıkacak, daha fazla spekülatör çekecek, böylece pot daha da genişleyecek ve ikramiye gittikçe artacak. Piyango bileti alan kişiler de bunu takip edecek. Rüzgar gelir gelmez pot gittikçe büyüyordu, erdemli bir çemberdi! Bu sefer Mega Millions tam olarak böyledir. Asla piyango bileti almam, ancak belirsiz bir şekilde hatırlıyorum ki 2016'nın başlarında Amerikan Powerball Oyununun birincilik ödülü 1.5 milyar ABD doları kadar yüksekti.O zamanlar genel halkın tepkisi şu anki Mega Milyonlar gibiydi ...
Bununla birlikte, bir istatistik profesörü olarak, böyle anlarda, etrafındaki insanların çılgınlığına her zaman mantıklı bir şekilde bakar. 2016'daki Powerball Oyununu hatırlamamın nedeni, o sırada lisans öğrencilerine bir olasılık sınıfını öğretmeyi yeni bitirmiş olmamdır.Kış tatilinde dürüst davrandım, ancak sınıftaki çocuklara da bir e-posta yazdım ve onlar için piyangoyu hesapladım. nın-nin Beklenen getiri Ve not edildi Piyango bileti satın almak her zaman kaybedilen bir iştir . Daha sonra, e-postamı okuduktan sonra, bir kızın beş bahis daha almaya gittiğini görünce şaşırdım ... Yani ah, insanların spekülasyonları küçümsenmemeli!
Mega Millions satın almaya değer mi? Bu, önce Mega Millions'un oynanışını anlamamızı gerektirir. En temel kural 2 dolar harcayıp 6 sayı seçmenizdir. Bu 6 sayıdan 5'i için 1'den 70'e kadar tam sayılardan 5'i seçebilirsiniz (aşağıdaki şekilde üstteki beyaz alan); 6. sayı için 1'den 25'e ( Aşağıdaki resimde alt mavi alan).
Son çekiliş de bu çizim yöntemine dayanmaktadır (1'den 70'e 5'i, 1'den 25'e 1'i seçin). 6 tanesini de kazanabilirseniz, birincilik ödülünü kazanabilirsiniz.İlk ödül miktarı önceden belirlenmez: birden çok kez çekerseniz ve birincilik kazanılmazsa, bir sonraki büyük ikramiyenin birikeceği anlamına gelir. Daha büyük.
Birincilik ödülü dışında, diğer ödüllerin miktarı önceden belirlenmiştir: örneğin, ilk 5 kazanır ve son 1 kaçırırsa (yani "5 + 0") 1 milyon dolar kazanabilirsiniz; ilk 5 kazanır 4 Sonuncusunda (yani "4 + 1"), 100.000 $, sonuncudan ilk 5'in 4'ü (yani "4 + 0"), 500 $ vb. Kazanabilirsiniz. ( Ayrıntılar için aşağıdaki şekle bakın). En düşük ödül, kaçırılan ilk 5, sonuncusu ise satın aldığınız her piyangonun maliyeti olan 2 dolar kazanabilirsiniz. Tabii ki, en kötü durumda, altı da kaçırılırsa, piyango bileti için 2 dolar harcanacaktır.
Bonusların sayısı açısından bakıldığında, "5 + 0" ın "4 + 1" den daha değerli olduğu açıktır (1 milyon dolara karşı 10.000 $), çünkü "5 + 0" olasılığı "4 + 1" olasılığından daha yüksektir. İndir. Aynı 6 üzerinden 5 olasılığında neden böyle bir fark var? Bakın, bonusun 100 katı boşluk var! Sonra "4 + 1" olasılığı "5 + 0" olasılığından gerçekten 100 kat daha yüksek mi?
Aslında her durumun olasılığını hesaplamak zor değil. Lise matematik dersinde öğretildi " Permütasyonlar "Kavram, burada ihtiyaç duyulan şey" kombinasyon ". Örneğin: 1'den 5'e kadar 3 sayı seçmek istediğinizi varsayalım. Kaç farklı seçenek var? En temel numaralandırma yöntemini kullanarak tüm olasılıkları listeleyebiliriz:
Numaralandırma yöntemi bize 10 farklı seçim yöntemi olduğunu söyler. Ancak "kombinasyon" kavramını ve formülünü kullanırsak doğru yanıtı daha hızlı alabiliriz. Kombinasyon, farklı seçeneklerin sayısını hesaplar Örneğin, "53'ü seçin" olan 5 sayıdan 3'ünü seçebilirsiniz. Yüksek parantezlerin üstüne 5 ve altına 3 yazabilirsiniz, örneğin:
Belirli bir algoritma, kullanmanız gereken faktöryel kavramı. "N!" Olarak yazılan "n faktöriyeli", n tamsayı ve ardından ünlem işareti, bir satırdaki n farklı öğenin düzenleme sayısını temsil eder, algoritma formülü şöyledir:
Yani, n! Eşittir tam sayı n'den 1'e azalır ve tüm tam sayıları çarpılır. Örneğin, 1'den 3'e kaç tane düzenleme yolu olduğunu görmek istiyorsanız, cevap 3'tür! Birinci pozisyon için 3 olasılık ve ikinci pozisyon için 2 olasılık olduğu anlaşılabilir (çünkü ilk pozisyon zaten Bir sayı koyun), üçüncü konumun yalnızca bir olasılığı vardır, bu nedenle toplam düzenleme yöntemi sayısı 3 × 2 × 1 = 6 = 3!
Bununla birlikte, soru 1'den 3'e kadar 3 sayının nasıl seçileceğiyse, yani "3'te 3", bu bir düzenleme probleminden bir kombinasyon problemine dönüşmüştür. Kombinasyon ve düzenleme arasındaki fark şudur: Düzenleme sırayı dikkate alır, ancak kombinasyon dikkate almaz . Yani 1'den 3'e düzenlemek istiyorsanız, sıra anlamlı, cevap 3 !; ama sadece 1'den 3'e kadar birleştirmek istiyorsanız, sıra anlamsız, sıralamayı kaldırmalıyız, cevap 3! ÷ 3 !, bölme işareti Sırayı dikkate almayan bir algoritmadır.
İsteğe bağlı 3 sayı ile 5 sayıdan oluşan önceki kombinasyon problemi, önce 5 sayıyı arka arkaya düzenlemeye ve ardından düzenlenmiş 5 sayıyı iki gruba ayırmaya eşdeğerdir: ilk grupta 3 sayı, ikinci grupta 2 sayı var numara. Gruplara ayrıldıktan sonra, ilk gruptaki 3 sayı 3! Ve ikinci gruptaki 2 sayı 2! Kombinasyon sırayı dikkate almadığından, 3! Ve (5-3)! 'Ü kaldırmamız gerekiyor, bu nedenle aşağıdaki formül var ve sonunda 10 seçim yöntemi elde ediliyor, bu da numaralandırma yönteminin sonucuyla aynı.
Basit bir piyango oyunu varsa, kural 5'ten 3'ü seçmektir ve hepsini doğru seçerseniz kazanırsınız.Daha sonra bir piyango bileti kazanma olasılığınız 1/10, çünkü 5'ten 3'ü seçmenin 10 yolu vardır , Ve her seçim yönteminin olasılığı eşit derecede büyük.
Bundan bahsetmişken, bu "5 seçim 3" ün Mega Millions oyununa çok benzediğini fark etmiş olabilirsiniz. Sadece Mega Millions'da ilk 5 sayı 1'den 70'e kadar seçilmelidir ki bu "5 üzerinden 70", yani toplam 12103014 farklı seçim yöntemi anlamına gelir. Ve son sayı 1'den 25'e kadar seçilir, sonra 25 farklı seçim yöntemi olan "251'i seç" olur.
"5 + 0" olasılığını "4 + 1" olasılığıyla karşılaştırma sorusuna geri dönelim. "5 + 0" iki bölümden oluşur. İlk bölüm, 70'in 5'ini seçtiğinizde 5'in de kazanılmış olmasıdır.Yani, son çekilişteki 5 sayı, seçtiğiniz sayılarla tamamen aynı, yani seçilmemiş 65 numaradan hiçbirini seçmediniz. Bu bölümün olasılığı:
İkinci kısım, 25'ten 1'i seçtiğinizde, son çekilen sayılardan birini seçmemişsinizdir, bu da seçilmeyen 24 sayıdan birini seçmiş olduğunuz anlamına gelir. Bu bölümün olasılığı:
Son olarak, bu iki bölüm birlikte "5 + 0" elde etme olasılığınızı belirler. Bu iki parçayı çarpıp şunu elde etmeliyiz:
Bu, "5 + 0" alma olasılığının 0,00000008'e yakın olduğu anlamına gelir. Aynı hesaplama yöntemini kullanarak, "4 + 1" satın alma olasılığı yaklaşık 0,000001'dir, bu da "5 + 0" olasılığının yaklaşık 13,5 katıdır, bu da 100 katlık bonustan uzaktır ... Bilmiyorum "5+" 0 "bonusu nazikçe artırıldı veya" 4 + 1 "bonusu kasıtlı olarak düşürüldü.
O zaman Mega Millions satın almanın iyi bir yatırım olup olmadığını görelim. Burada, aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi, beklenen getiri kavramını, yani bonus çarpı olasılık kavramını tanıtmamız gerekiyor:
Büyük ikramiye miktarı genellikle bilinmediğinden, önce bilinen diğer bonusların beklenen getirisini düşünün.Toplam 0.2286273, yani bir piyango bileti için harcadığınız her 2 $ için beklenen getiriniz 0.23 $ 'dır, bu bir iş kaybıdır! Ancak Mega Millions jackpotu 23 Ekim'de 1.6 milyar $ 'a çıktığında, beklenen toplam getiri 5.516566'ya ulaşabilir ki bu oldukça etkileyici! Ne yazık ki, büyük ikramiyeyi kazanma olasılığınız çok zayıf: yaklaşık 0.000000003 veya her 300 milyonda bir. Dahası, birden fazla aday varsa, yine de diğerleriyle eşit olarak ayrılmanız gerekir ... Sadece bu değil, kazananların sonunda yüksek vergiler ödemesi gerekecek! Yani piyango nihayetinde hükümet maliyesi açısından zengindir !
Son olarak, farklı kazanma kategorilerinin olasılığını hesaplayan olasılık dağılımlarını, yani Hipergeometrik dağılım . Örneğin, K kırmızı ve (N-K) mavi olmak üzere toplam N adet top vardır.Şimdi, eğer n adet rastgele seçilmişse, k kırmızı top olasılığı hipergeometrik dağılıma uyar. Olasılık kütle fonksiyonu:
Tanıdık geliyor mu? İlk 5'i kazanma olasılığına tekrar dönüp bakalım:
Gerilimin istatistik versiyonu bize şunu söylüyor: Küçük bir kumar mutludur, ancak lütfen piyangodan bir servet kazanabileceğinizi düşünmeyin. Ailenizi desteklemek için sahada para kazanmak daha güvenilirdir.
