Doğal sabit e neden önemlidir?
Bu makale kamu hesabından geliyor: Süper Matematiksel Modelleme
WeChat Kimliği: süper modelleme
Doğada 0, 1, i, , e gibi bazı çok önemli sabitler olduğunu biliyoruz. Onların varlığı, çalışmamızı ve yaşamımızı büyük ölçüde etkiliyor Bugün daha derine ineceğiz.Neden e doğal sabiti? Çok önemli?
Doğal sabit e nedir?
Doğanın sabiti matematiğin bir kuralıdır. Yaklaşık 2.71828, yani formül lim (1 + 1 / x) x, x veya
lim (1 + z) 1 / z, z 0, sonsuz, tekrar etmeyen bir ondalık sayıdır, bu aşkın bir sayıdır.
Bu açıklama insanlara bunun çok yüksek (zhuang) uç (bi) olduğu izlenimini veriyor ve matematikte iyi olmayan insanlar için sadece aşağıdaki reaksiyonla açıklanabilir:
Birkaç ay önce beklenmedik bir şekilde süpermodel Jun doğdu.Sadece bir makale ile e'nin anlamını anlaşılması kolay bir şekilde açıkladı.Matematiksel engelim bile bir bakışta net olabilir.
Banka mevduatlarımızın faizi vardır ve mevduattan kazanılan faiz daha fazla faiz kazanmak için anapara ile birleştirilmeye devam edilebilir. Tabi bankalar hayırsever değiller, çok sık faiz ödüyorlar, sadece yılda bir hatta üç yılda bir ödeme yapıyorlar.Başka bir deyişle, bir veya üç yılda kazanılan faiz, kazanmamıza yardımcı olamaz Daha fazla ilgilen.
Şimdi ideal bir durumu düşünün, yani böyle bir banka olduğunu, bir yıllık mevduat faiz oranının% 100 olduğunu (1 olarak kısaltılır) ve faiz ödeme sayısını özgürce seçmemize izin verdiğini varsayalım. Bankaya 1 yuan yatırırsak, bir yılda en fazla ne kadar para kazanabiliriz?
(1) Faiz, yıl sonunda yalnızca bir kez ödenirse, bir yıllık faiz oranı 1 olduğu için, bir yıl sonra faiz ve anapara ile 2 yuan alabiliriz.
(2) Faizin altı ayda bir ödenmesini zorunlu kılarsak, altı aylık faiz oranı 1/2 olduğu için, bir yıl sonra sermaye ve kârla 2.25 yuan alabiliriz.
(3) Faizin her ay ödenmesini zorunlu kılarsak, bir ayın faiz oranı 1/12 olduğu için, o zaman anapara ve bir yıl sonra kârla 2.61 yuan alabiliriz.
(4) Faiz ödeme süreleri arttıkça yıl sonunda daha fazla gelir elde edeceğiniz görülmektedir. Büyük bir beynimiz varsa ve bankanın her zaman bizim için faiz ödemesini istiyorsak, yani faiz ödeme sayısı sayısız kez olursa, o zaman sonsuz gelir elde edebilir ve para sayma ve kramp yapma hayalini gerçekleştirebilir miyiz?
Maalesef bu imkansız! Çünkü nihai gelirimiz aslında aşağıdaki formül,
Matematikçilerin hesaplamaları, bu formülün değerinin aslında sonlu olduğunu ve boyutunun 2,718281828 ... olduğunu gösterdi, bu da sonsuz, tekrar etmeyen bir ondalık sayıdır. Kullanım kolaylığı için, onu temsil etmek için e'yi kullanırız. ve bu yüzden, e, bileşik faizin sınırıdır veya daha genel olarak, büyüme sınırı olmalıdır .
Eski ve lnx neden bu kadar yaygın?
Bununla birlikte, e doğal sabitinin ne olduğunu anlasam bile, ileri matematik final sınavı ve lisansüstü sınavından utandığım için, hala şu sorularım var:
Büyümenin sınırı değil mi? Beni sınır için test etmek istemezsin, ex ve lnx'in türev integralleri ile neyi kastediyorum?
Önceki bilgileri tekrar okurken, aslında bu iki işlevin burada yer aldığını öğrendim. Özel doğa .
her şeyden önce Üstel fonksiyon . Hepimizin bildiği gibi, üstel işlev gerçek dünyamızda önemli bir rol oynar (hissetmeme rağmen), o zaman kaçınılmaz olarak üstel işlevi türetmemiz gerekir.
Üstel fonksiyonun türevi y = ax
Görülüyor ki y = ax türevini elde etmek için ikinci sınır gereklidir, ancak x 0 doğrudan ayarlanmışsa sınır elde edilemez, ne yapmalıyım? Burada düşüncemizi değiştiriyoruz, bu sefer a x-1 = 1 / n, sonra x = loga (1 + 1 / n) olsun
Haha, bu sefer e'nin tanımının kullanışlı olduğunu keşfettik. Can sıkıcı limit sembolünü kaldırın, alabiliriz
Obsesif kompulsif bozukluğu olan kişiler için son sayı gerçekten rahatsız edici görünüyor Bu sayı ne zaman kaldırılabilir? Cevap, a = e olduğunda, çünkü bu sefer sayı 1 oluyor. Son olarak, bu özel üstel işlevi diğer üstel işlevlerden farklı kılarak seçtik.
Üstel fonksiyondan bahsettiğimiz için, diğer yarısının y = logax olduğunu belirtmek zorundayız. İki sadece doğal bir çift değildir, y = logax, y = ax'den daha az önemli değildir, y = logax'ın türevine bakalım.
Ayrıca a = e'ye izin verirsek, sabit logae'nin 1'e eşit olduğu ve logaritmik fonksiyonun türev formunun da en basit olduğu görülebilir. Bu nedenle, a = e olduğunda, ister üstel bir fonksiyon, ister logaritmik bir fonksiyon olsun, türev formu en basitidir.
Buna ek olarak, e'nin logaritmik fonksiyonunu diğer logaritmik fonksiyonlardan ayırmak için, insanlar ona doğal logaritma denen başka bir isim bile verdiler ve onu y = lnx olarak kaydetti, Doğal logaritmanın önemi .
Şu anda birisi sorabilir, ya y = 2x veya y = log2x kullanmak istersem? Önemli değil, ona bir facelift verebilir ve y = exln2 veya y = log2elnx'e dönüştürebiliriz ve hesaplama yöntemi esasen değişmedi.
eski ile lnx Pratik önemi
Yukarıdaki analiz sayesinde, e'nin üstel fonksiyonunun ve logaritmik fonksiyonunun tanıtıldığını görebiliriz çünkü karşılık gelen türev son derece basit bir forma sahiptir. Euler ve diğer büyük matematikçiler sınavlarda çok fazla baskı altında olduğumuzu tahmin etmiş olabilir mi? Sınavlarda türev hesaplamaları yapmamızı kolaylaştırmak için doğal sabit e'yi getirdik? Yani ... asla bu kadar önemli olduğumuzu hissetmeyin. !
Haha, belli ki öyle değil!
Aslında, e'nin işlevi, gerçek dünyada şu özelliklerle çok fazla sorun yaşadığımız için sık sık ortaya çıkar: yani, bir miktarın değişimi kendi boyutuyla ilgilidir. Ve bu türden tüm sorular bizi e'nin üstel fonksiyonunu veya logaritmik fonksiyonunu tanıtmaya zorlar.
-
İdeal ortamda nüfus büyüklüğü
Biyolojik alanda basit ve klasik bir problem, ideal bir ortamda nüfus değişimleri yasasıdır. Nüfus ne kadar büyükse, nüfusun büyüme hızı o kadar hızlıdır. Nüfusun değişim hızı mevcut nüfus y ile ilişkilidir, bu nedenle basitçe şu şekilde tanımlanabilir:
Türevi kendisine eşit olan fonksiyonun y = et olduğunu zaten biliyoruz. Ancak sağ tarafta bir orantı sabiti l olduğu için, y = aebt + c (a 0) genel ilişkisine uygun olarak y popülasyon sayısının t zamanı ile değiştiğini varsayabiliriz, bu nedenle
Sol ve sağ uçları eşit yapmak için c = 0 ve b = l'nin gerekli olduğu, dolayısıyla nüfus miktarının değişen yasasının y = aelt'e uygun olduğu görülebilir. Gerçekte kaynakların sonsuz olamayacağını ve nüfus sayısının sonsuza kadar artamayacağını biliyoruz, ancak yukarıda bahsedilen yasa, erken aşamada belirli bir nüfusun sayısındaki değişiklikleri incelememiz için bize iyi bir yaklaşım sağlar.
Ek olarak, radyonüklitlerin bozunması da yukarıdaki kurallara uygundur. Bir radyonüklidin bozunma hızı, mevcut çekirdek sayısı N ile ilgilidir, yani,
Sonunda, N = N0e-lt doğrultusunda radyonüklitlerin sayısında değişikliklere de yol açacaktır.
-
Yay vibratörünün hareketi
Yay vibratörünün hareketine tekrar bakalım. Yay vibratörünün kuvveti, kendi yer değiştirmesi ile orantılıdır ve hareket yönünün tersidir. Newtonun ikinci yasasına göre,
X = et'in türevinin kendisine eşit olduğunu zaten biliyoruz, bu nedenle elbette ikinci dereceden türevi, üçüncü dereceden türevi ve hatta daha yüksek dereceden türevlerinin hala kendisi olduğunu da bilebiliriz. Yani burada kesinlikle x = aebt + c (a 0) olduğunu varsayabiliriz, böylece
Sol ve sağ uçları eşit yapmak için, c = 0, b2 = -k / m, yani
Yani yay vibratörünün hareketi
E'nin üstel fonksiyonunu ve logaritmik fonksiyonunu tanıttıktan sonra, gerçekte birçok problemin başarıyla çözüldüğü görülebilir. Elbette, yukarıdaki problemlere ek olarak, LC osilatör devreleri, atomik yörüngeler, vb. Gibi bazı problemler de vardır. Bu problemleri çözmek için doğal sabit e tanıtılmalıdır. Bu nedenle, doğal sabit e'nin tanıtımı, insanların doğal olayları anlamaları için kaçınılmaz bir seçimdir ve tersine, doğal sabit e'nin de insan uygarlığının gelişimi üzerinde önemli bir etkisi vardır. Burada, derin bir kavrayışa sahip olan ve doğal sabit e'yi cesurca tanıtan matematiksel öncüleri takdir etmeliyiz.
E'nin bazı ilginç özellikleri
Buna ek olarak, e'nin yaygın bir şekilde uygulanmasıyla, insanlar e'nin doğasının yukarıda bahsedilen basitlerden çok daha fazla olduğunu, ayrıca birçok ilginç özelliğe sahip olduğunu keşfettiler.
E'nin hikayesi bitti. Kısa bir özet, insanların yaşamlarında sıklıkla kendi boyutlarıyla ilgili sorunlarla karşılaştıklarıdır.Bu tür sorunları çözmek için, e'nin üstel fonksiyonu ve logaritmik fonksiyonu tanıtılmalıdır ve e = lim (1 + 1 / x) x (x ) ve e'nin tanımı, bu değerin aslında büyümenin sınırı olduğunu gösterir.
Şahsen, matematiği öğrenirken kafamızın karışmasının sebebinin öğretmenimizin bize sadece matematik teorisinden bahsetmesi, ancak gerçekte bazı pratik problemlerle birleşmemesi olduğunu hissediyorum. Ve bu durumu iyileştirmenin en iyi yolu bizim için Düşünmekte gayretli, özetlemede iyi Ve gelecek nesli eğitirken onların da bizimkiyle aynı kafa karışıklığına sahip olmalarına izin vermeyin.
Editör: loulou
En Yeni 10 Popüler Makale
Görüntülemek için başlığa tıklayın
