Riemann'ın varsayımı kanıtlandı mı? abc hala bir varsayım mı?
Bugün okuyuculardan çok yorum aldım Riemann varsayımı Kanıtlanmış mı, çünkü ünlü matematikçi Michael Attia (Michael Atiyah) Riemann'ın varsayımını kanıtlama yöntemini 24 Eylül'de Heidelberg Ödüllü Forum'da açıklayacağını duyurdu.
Heidelberg kazananlar forumunun resmi Twitter hesabı bu haberi doğruladı. Belki de editörü çok heyecanlıydı ve 24'ünü 25'ine çevirdi.
Riemann'ın varsayımı, ortaya çıkışından bu yana, matematikçileri bir yüzyıldan fazla bir süredir şaşırttı. Riemann'ın varsayımının şüphesiz matematikçilerin hayali olduğunu kanıtlamak. Yani birçok insan için bu haber hem heyecan verici hem de şüpheli. Atiyah'ın cevabının doğru olup olmadığını veya ispat sürecinin diğer matematikçiler tarafından hızla sindirilecek kadar zarif ve öz olup olmadığını bilmiyoruz. Başkalarının bir karar vermesi birkaç yıl alabilir. Örneğin, matematiksel fizik alanında kısa süre önce bahsettiğimiz 13 zor problemdeki "kuantum Hall etkisi" çözüldü ve akademik camia tarafından tanınması uzun yıllar aldı (bakınız: "Çözüldü!" Sonunda, 13 zor problemden biri tamamen çözüldü! ").
Daha fazla bilgi almadan önce Riemann'ın varsayımının kanıtlanıp kanıtlanmadığını hala bilemiyoruz. Ama sonuç ne olursa olsun, bu dört gözle beklemeye değer bir gün.
Ve bugünün tartışmasının da konusu olan gişe rekorları kıran bir haber, bir zamanlar bir sansasyondu. abc varsayımı Kanıt - tarihin en büyük zorluğuyla karşı karşıya gibi görünüyor!
2. ABC hala bir tahmin mi?2012'de Kyoto Üniversitesi, Japonya Mochizuki Shinichi (Shinichi Mochizuki) Toplam uzunluğu 500 sayfadan fazla olan dört makalede, sayı teorisindeki en kapsamlı sorunlardan biri olan abc varsayımının ispat yöntemi gündeme getirildi. Ancak, geliştirdiği matematiksel araçları kullandığı için neredeyse hiç kimse makalelerini anlayamıyor. Kendisi dışında, matematik dünyasında hiç kimse Mochizuki Shinichi'nin kanıtını yargılayamaması için buna aşina değil.
Ama daha dün, yeni Fields Madalyası kazananı Peter Scholze Ve matematikçi Jakob Stix Başlıklı çevrimiçi bir makale yayınladı "Neden abc hala bir tahmin" , Abc varsayımıyla kanıtlanmış "ciddi, onarılamaz bir çatlak" bulduğunu iddia ederek!
Solda: Peter Scholze; sağda: Mochizuki Shinichi, video aracılığıyla herkesin şüphelerini yanıtladı.
Peter Scholze ve Mochizuki iki büyük matematik ustasıdır, ikisi de devrim niteliğinde katkılarda bulundular, yeni bir çerçeve açtılar ve büyük problemleri çözdüler. Aradaki fark, Peter Scholze'nin fikirlerinin matematik topluluğu tarafından çabucak özümsenmesi, Mochizuki'nin teorisinin ise ana akım matematik topluluğu tarafından tam olarak anlaşılmaması ve tanınmamasıdır.
Bu kanıtı derinlemesine inceleyen bir düzineden fazla matematikçi bunun doğru olduğunu düşünse de, matematikçiler Brian Conrad Geçen yıl Aralık ayında yapılan bir blog tartışmasında, sadece "Mochizuki çevresi" ndeki matematikçilerin ispatın doğru olduğunu iddia ettiği, diğerlerinin ise gayri resmi durumlarda bile Mochizuki Shinichi'ye olan inancını ifade etmeye istekli olmadığı yorumlandı. Tamamlandı.
Chicago Üniversitesi Frank Calegari Aralık ayında bir blog gönderisinde şöyle yazdı: "Matematikçiler, Mochizuki Shinichinin argümanının sorunlu olduğunu söyleme konusunda çok isteksizler çünkü net hatalara işaret edemiyorlar."
Şimdi işler tersine döndü. Scholze ve Stix, Mochizuki'nin dört makalesinin üçte birinde " Sonuç 3.12 İspatın sonunda, temelde yanlış olan bir argüman satırı vardır: Bu çıkarım, Mochizukinin abc ispatının özüdür.
Scholze, "Bence abc varsayımı hala açık bir soru ve herkesin bunu kanıtlama şansı var."
Scholze ve Stix'in vardığı sonuçlar, yalnızca bu makaleler üzerine yaptıkları araştırmaya değil, aynı zamanda bu kanıtı Mochizuki ve meslektaşı Yuichiro Hoshi ile tartışmak için bu yıl Mart ayında Kyoto Üniversitesi'ni ziyaret etme deneyimlerine de dayanıyor. Scholze, bu hafta süren ziyaretin kendisine ve Stix'e itirazın temel nedenlerini ortaya çıkarmada yardımcı olduğunu söyledi. Raporda, "sonucun (abc varsayımı) bunu kanıtlamadığını" yazdılar.
Ancak toplantıları tatmin edici bir sonuç vermedi: Mochizuki, Scholze ve Stix'i argümanının sağlam ve güvenilir olduğuna ikna edemedi ve ikisi Mochizuki'yi kanıtının yanlış olduğuna ikna edemedi. Şimdi, Mochizuki Shinichi, Scholze ve Stix raporlarının yanı sıra kendi çürütme raporlarının birçoğunu web sitesinde yayınlıyor.
Çürütmede Mochizuki, Scholze ve Stix'in eleştirisini çalışmasının "bazı temel yanlış anlamalarına" bağladı.
Mochizuki'nin son derece yüksek itibarı, matematikçilerin çalışmalarını abc varsayımına yönelik ciddi bir girişim olarak görmelerine neden olacağı gibi, Sholze ve Stix'in statüsü de matematikçilerin söylediklerine dikkat etmelerini sağlayacaktı. Henüz 30 yaşında olmasına rağmen, Scholze hızla alanının zirvesine çıktı ve Ağustos ayında, matematikteki en yüksek onur olan Fields Madalyası ile ödüllendirildi. Bu arada Stix, Mochizuki Shinichi tarafından araştırıldı. Uzak Abelian Geometri (Anabelian geometri) uzmanları.
Jakob Stix, Abelyen geometri alanında uzmandır. | Resim kaynağı: MFO
Abc varsayımı nedir?
Abc varsayımı, sayı teorisi alanındaki en önemli problemlerden biridir. Aslen bir Fransız matematikçi tarafından geliştirilmiştir. Joseph Oesterlé Ve İngiliz matematikçiler David Masser 1985'te ortaya çıkan tamamen matematiksel bir problem. Adı basit bir denklemden türetilmiştir a + b = c , Fakat logaritmaların doğal özelliklerinin en derin keşfini içerir ve sayıların temel özelliklerine doğrudan vurur. Matematikçiler uzun zamandır bu varsayımın doğru olduğuna inanıyorlardı, ancak hiç kimse bunu kanıtlayamadı.
Denklemde, a, b ve c üç sayısının tümü pozitif tam sayılardır ve ortak bir asal faktör yoktur. Bu nedenle, 8 + 9 = 17 veya 5 + 16 = 21 gibi denklemleri düşünebiliriz, ancak 6 + 9 = 15 değil, çünkü 6, 9 ve 15'in tümü 3 asal sayısıyla bölünebilir.
Böyle bir denklem verildiğinde, aynı anda üç sayı ile bölünebilen tüm asal sayıları bulabiliriz Örneğin, 5 + 16 = 21 denklemi için, tüm asal sayılar 5, 2, 3 ve 7'dir. Bu asal sayıları çarpmak, orijinal denklemdeki sayılardan çok daha büyük olan 210 ile sonuçlanır. Buna karşılık, 5 + 27 = 32 denklemi için tüm asal sayılar 5, 3 ve 2'dir ve bunların çarpımı 30'dur, bu da orijinal denklemde 32'den küçüktür. Ürün çok küçük çünkü 27 ve 32 sadece küçük asal çarpanlardır (sırasıyla 3 ve 2) birçok kez çarpılır.
Diğer abc üçlülerini aramaya başlarsanız, ikinci durumun çok nadir olduğunu göreceksiniz. Örneğin, 1 ile 100 arasında a ve b kullanılarak oluşturulabilen 3044 farklı üçlü için, sadece 7 denklem bu asal sayıların çarpımını c'den küçüktür. İlk olarak 1980'lerde önerilen abc varsayımı, bu tür üçlülerin nadiren ortaya çıktığı şeklindeki bu sezgiyi kanıtlamaya çalıştı.
Daha spesifik olarak, 5 + 27 = 32 örneğine geri dönersek, 32, 30'dan büyüktür, ancak yalnızca biraz daha büyüktür. 32, 30 ^ 2 veya 30 ^ 1.5'ten küçük ve hatta 30 ^ 1.02'den küçüktür (yaklaşık olarak 32.11'e eşittir). Abc varsayımı, 1'den büyük herhangi bir x üssü seçilirse, yalnızca sonlu sayıda abc üçlüsü olduğunu ve böylece c'nin asal çarpanların çarpımının x kuvvetinden daha büyük olduğunu söyler.
Oxford Üniversitesi Minhyong Kim Deyin ki: "abc varsayımı, çarpma ve toplamayla ilgili çok temel bir ifadedir." Bu, "bir sayı sisteminin çok temel bir yapısını, daha önce hiç görmediğiniz bir yapıyı açığa çıkarıyor gibi görünüyorsunuz."
A + b = c'nin basitliği, diğer birçok sorunun bu varsayımın kapsamına girebileceği anlamına gelir. Örneğin, Fermat'ın Son Teoremi X ^ n + y ^ n = z ^ n biçiminde bir denklem hakkındadır (n için > 2 pozitif bir tamsayıdır, denklemi doğru yapan üç pozitif tam sayı x, y, z yoktur); ve Katalan Varsayımı 8 = 2 ^ 3 ve 9 = 3 ^ 2'nin pozitif tamsayı üsleri olan iki ardışık tamsayı olduğunu, yani x ^ m + 1 = y ^ n denkleminin çözümü ile ilgili problem olduğunu varsayalım. (Spesifik form) abc varsayımı, bu iki teorem için yeni kanıtlar sağlayacak ve bir dizi ilgili açık problemi çözecektir.
Kolombiya Üniversitesi Dorian Goldfeld Abc varsayımının "her zaman bilinen ve bilinmeyen arasındaki sınırda göründüğünü" yazar.
Mochizuki Shinichi'nin makalesi. Mochizuki Shinichi, cebirsel unsurları geometri ile birleştiren bir teori olan Inter-Universal Teichmüller Theory (IUT) adlı yeni bir matematik formu geliştirdi. Yaklaşık 10 yıldır ve bunu ABC varsayımını çözmek için kullandı. | İmaj Kredisi: Jacob Aron / NewScientist
Abc varsayımının ispatının çok sayıda olası sonucu, sayı teorisyenlerini bu varsayımı kanıtlamanın çok zor olabileceğine ikna eder. Dolayısıyla 2012'de Mochizuki Shinichi'nin zaten bir kanıt sunduğu söylendiğinde, birçok teorisyen hevesle çalışmalarına adadı, ancak alışılmadık dil ve alışılmadık ifadelerle engellendi. Tanım birkaç sayfaya yayılır ve sonra aynı uzunluktaki teoremler belirtilir, ancak bu teoremlerin ispatları esasen sadece "tanıma göre hemen elde edilebilir" der.
Scholze, Mochizuki'nin makalesinin ilk okuyucularından biriydi. Matematiği hızlı ve derinlemesine özümseme yeteneğiyle tanınır ve birçok sayı teorisyeninden daha ileri gider. Dört ana makale yayınlandıktan kısa bir süre sonra, "kaba okuma" adını verdiği şeyi tamamladı. Scholze, makul ama kırılgan olduğunu düşündüğü uzun teoremler ve kısa kanıtlarla şaşkına döndü. Daha sonra ortadaki iki makalenin içeriğinin çok küçük göründüğünü yazdı.
Ardından, Scholze üçüncü makalede sonuç 3.12'ye ilerledi. Matematikçiler genellikle önceki daha önemli teoremin ikincil sonucuna atıfta bulunmak için "çıkarım" kullanırlar, ancak Mochizuki Shinichi'nin çıkarımı 3.12 için matematikçiler bunun abc varsayımını kanıtlamanın özü olduğuna inanırlar, bir zamanlar Calegari'nin yazdığı gibi, eğer yoksa Sonuç, "Hiç bir kanıt yok, bu çok önemli bir adım."
Bu çıkarım, ortadaki iki makaledeki ispat süreci birkaç satırı aşan tek teoremdir - tam dokuz sayfayı kaplar. Scholze kanıtı okuduğunda, mantığa ayak uyduramadığı bir şey vardı.
O zamanlar sadece 24 yaşında olan Scholze, bu çıkarımın kanıtının kusurlu olduğunu düşündü, ancak çoğu zaman doğrudan fikirleri sorulmadıkça bu makalelerin tartışılmasından uzak durdu. Belki başka matematikçilerin gazetede kaçırdığı önemli fikirleri bulacağını düşündü. Ya da belki onunla aynı sonuca varacaklar. Her durumda, matematik topluluğu bu problemleri çözebilmelidir.
Escher Merdivenleri
Aynı zamanda, diğer matematikçiler de bu yoğun kağıtları incelemek için çok çalışıyorlar. 2015'in sonunda Oxford Üniversitesi'nde düzenlenen Mochizuki semineri için pek çok insan büyük umutlar besliyor, ancak Mochizuki Shinichi'nin birkaç yakın işbirlikçisi ispatın ana fikrini açıklamaya çalıştığında, "bir sis bulutu" izleyiciyi kuşatmış gibiydi. Vücut. Conrad toplantıdan kısa bir süre sonra bir raporda şunları yazdı: "Mochizuki'nin çalışmasını anlayanların aritmetik geometrilerle daha iyi iletişim kurması gerekiyor, kanıtı etkili kılan şey."
Conrad makaleyi yayınladıktan birkaç gün sonra, üç farklı matematikçiden (biri Scholze idi) e-postalar aldı ve bunların hepsi aynı hikayeyi ifade etti: bu makaleleri belirli bir bölüme kadar anlayabildiler. Conrad daha sonra şöyle yazdı: "Kafalarını karıştıran yer çıkarım 3.12'dir."
Başka bir matematikçiden Kim, şimdi Kyoto Üniversitesi'nde Teruhisa Koshikawa Orada Çıkarım 3.12 ile ilgili benzer sıkıntılar duydum. Stix de aynı yerde kafası karışmıştı. Birçok sayı teorisyeni yavaş yavaş bu çıkarımın sorunun özü olduğunu fark etti, ancak argümanın kusurlu olup olmadığı veya Mochizuki'nin mantığını daha iyi açıklaması gerekip gerekmediği açık değil.
2017'nin sonunda söylentiler yayıldı ve birçok teorisyen şok oldu - Mochizuki'nin makalesi, Matematiksel Analiz Enstitüsü Yayıncılık Bölümü (PRIMS) tarafından yayınlanmak üzere kabul edildi ve Mochizuki'nin kendisi de bu derginin genel yayın yönetmeniydi. Calegari bu düzenlemeyi "çok uygunsuz" olarak değerlendiriyor, ancak editörler bu tür durumlarda genellikle bundan kaçınıyor. Bununla birlikte, birçok sayı teorisyeni için daha sıkıntılı olan, bu makaleleri okumanın hala zor olmasıdır.
Chicago Üniversitesi Matthew Emerton "Argümantasyon sürecini anladığını iddia eden uzmanların hiçbiri, kafası karışmış birçok uzmana kanıtları başarılı bir şekilde açıklayamaz" diye yazdı.
Calegari bir keresinde bir blogda bunun "tam bir felaket" olduğunu söylemişti. "Şimdi, saçma bir durumdayız. Kyoto'da bu abc teoremi ve başka yerlerde abc varsayımı."
PRIMS, basından gelen sorulara bu belgelerin gerçekte kabul edilmediğini belirterek hızla yanıt verdi.
Scholze, bu kanıtın etrafındaki tüm tartışmanın "fazla sosyal" hale geldiğine inanıyor. Herkes bunun bir kanıt gibi hissetmediğinden bahsediyor, ancak kimse "aslında bu noktada bunu kimse anlamıyor" demedi. kanıtlamak".
Dolayısıyla, Calegari'nin blog gönderisinin altındaki yorum bölümünde Scholze, çıkarımın ispatı 3.12'de "Şekil 3.8'den sonraki mantığı tamamen anlayamadığını" yazdı. "İspat sürecini anladığını iddia eden matematikçiler daha fazla açıklama olması gerektiğini kabul etmeye isteksizler."
Mochizuki Shinichi'nin Kyoto Üniversitesi'ndeki meslektaşı, Fields Madalyası sahibi Mori Shigefumi (Shigefumi Mori), Scholze'ye yazarak Mochizuki ile tanışmasını önerdi. Scholze, Stix'i buldu ve ikisi, insanları Mochizuki Shinichi ve Hoshi ile karıştıran kanıtları tartışmak için Mart ayında Kyoto'ya geldi.
Mochizuki Shinichinin abc varsayımına çözümü, sorunu bir Eliptik eğri Soru, bu x ve y içeren iki değişkenli özel bir tür Kübik denklem . Bu dönüşüm süreci çok basittir ve Mochizukinin çalışmasından önce iyi biliniyordu - her bir abc denklemini x ekseni noktaları a ve b ve orijinden geçen eliptik bir eğri ile ilişkilendirmek - ancak matematikçilerin kullanmasına izin veriyor Eliptik eğrilerin zengin yapısı, çünkü eliptik eğriler sayı teorisini geometri, entegrasyon ve diğer matematiğin dalları ile birleştirir. Aynı dönüşüm süreci, 1994 yılında Andrew Wiles tarafından kanıtlanan Fermat'ın son teoreminin özüdür.
Daha sonra, abc varsayımı, eliptik eğri ile ilgili iki miktar arasında kesin bir kanıt sağlamak için kaynatılır. eşitsizlik . Mochizuki Shinichinin çalışması bu eşitsizliği başka bir biçime dönüştürdü, diyor Stix, bu iki setin hacmini karşılaştırmak olarak düşünülebilir. Sonuç 3.12'de Mochizuki bu yeni eşitsizliği ispatlamaya çalışır, eğer bu sonuç doğruysa, abc varsayımını ispatlayabilir.
Scholze ve Stix, bu ispatın iki setin ciltlerini iki farklı gerçek sayı kopyasında gözlemlemeyi içerdiğini belirttikten sonra, bu iki farklı gerçek sayı kopyası, altı farklı gerçek sayı kopyasından oluşan bir dairenin parçası olarak temsil edildi. Ayrıca, çemberdeki gerçek sayının her bir kopyasının komşularıyla nasıl ilişkili olduğunu açıklayan bir eşleme içerir. Koleksiyonun ciltlerinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu takip edebilmek için farklı nüshalardaki hacim ölçümlerinin nasıl ilişkili olduğunu anlamak gerekir.
Stix, "İki değişken eşitsizlik varsa, ancak ölçüm cetveli kontrol edilemeyen faktörler nedeniyle biraz küçülürse, eşitsizliğin gerçek anlamının kontrolünü kaybedersiniz" dedi.
Scholze ve Stix, yanlış olduklarının bu argümanın kilit noktasında olduğuna inanıyor. Mochizuki Shinichi'nin haritalamasında, ölçüm ölçekleri yerel olarak birbirleriyle uyumludur, ancak bir dairenin etrafından dolaşırsanız, son ölçüm ölçeği başka bir yoldan sapmanın sonucundan farklı görünecektir. Stix, bu durumun Escher'in yukarı tırmanıp ardından tırmanan, ancak başlangıç pozisyonunun altına düşen ünlü döner merdivenine benzediğini söyledi.
Escher merdivenleri. | Resim kaynağı: Quanta Magazine için Klaus Kremmerz
Scholze ve Stix, hacim ölçümündeki uyumsuzluğun, nihai eşitsizliğin iki yanlış büyüklük arasındaki bir karşılaştırma olduğu anlamına geldiğini iddia etti. Bununla birlikte, hacim ölçümünü genel olarak uyumlu hale getirmek için ayarlamalar yapılırsa, eşitsizlik anlamsız hale gelir.
Mochizuki'nin makalesini okuyan bir matematikçi Kiran Kedlaya Scholze ve Stix'in "Mochizuki Shinichi'nin argümanının geçerli olamayacağını göstermenin bir yolunu belirlediklerini, bu nedenle argüman doğruysa, bazı farklı ve daha ince ispatların yapılması gerektiğini" söyledi.
Mochizuki, bu kanıtla daha ince şeyler yapılabileceğini savunuyor. Scholze ve Stix'in hatasının, birbirlerinden farklı olması gereken matematiksel nesneleri keyfi olarak ayırt etmeleri olduğunu yazdı.
Matematikçiler artık Scholze ve Stix'in argümanını ve Mochizuki'nin cevabını özümsemelidir. Ancak Scholze, Mochizuki'nin ilk makale serisinin aksine, bu argümanın uzun süreli bir süreç olmaması gerektiğini umuyor, çünkü onların muhalefeti çok teknik olmadığını kanıtlıyor. Diğer sayı teorisyenleri "bu hafta Mochizuki Shinichi ile yaptığımız tartışmalara tam anlamıyla ayak uydurabilir."
Mochizuki'nin olaylara bakış açısı tamamen farklı. Ona göre, Scholze ve Stix'in eleştirisi, "tartışılan matematiksel problemler hakkında derinlemesine düşünmek için yeterli zamanın olmamasından" kaynaklanıyor, buna belki de "derin bir rahatsızlık duygusu veya bir tuhaflık duygusu eşlik ediyor, çünkü bu bir aşinalıktır. Matematiksel nesneler hakkında yeni bir düşünme şekli. "
Kim, Mochizuki'nin abc varsayımını kanıtlama sürecinden şüphe duyan matematikçilerin Scholze ve Stix'in raporunu hikayenin sonu olarak kabul edebileceğini söyledi. Kimin zaten başladığı gibi diğerleri de yeni raporu incelemek isteyecek. E-postada, kararını vermeden önce sertifika sürecini daha dikkatli bir şekilde kişisel olarak kontrol etmenin gerekli olduğunu yazdı.
Son birkaç yılda, birçok sayı teorisyeni Mochizuki'nin makalelerini anlamaktan vazgeçti. Ancak Mochizuki ve takipçileri, Scholze ve Stixin resimlerinin neden çok basit olduğuna dair ayrıntılı ve tutarlı bir açıklama sunabilirlerse (öyleymiş gibi yapalım), "Bu çok fazla yorgunluk yaratabilir ve belki İnsanların abc varsayımını tekrar incelemeye daha istekli olmasına izin verin, "dedi Kedlaya.
Aynı zamanda, Scholze şunları söyledi: "Mochizuki Shinichi çok önemli değişiklikler yapana ve bu kritik adımı daha iyi açıklayana kadar, çalışmalarının bir kanıt olarak görülmemesi gerektiğini düşünüyorum. Bunu gerçekten görmedim. Bizi abc varsayımını kanıtlamaya yaklaştıran anahtar bir fikre. "
Nihai tartışmanın sonucu ne olursa olsun, Mochizukinin argümanının bu özel kısmı daha fazla açıklığa sahip olmalıdır. Kim, "Scholze ve Stix'in yaptığı şey, matematik camiasına önemli bir yardım. Ne olursa olsun, bu raporun net bir sonuç alma sürecinde bir ilerleme olacağına inanıyorum.
Referans kaynağı:
https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/
