Heisenberg modelinin spektrumu ne kadar güvenilir?
Yazar: Mencius Yang (Institute of Physics Research Associate)
Menşei
Güvenilir olsun ya da olmasın, bu düşünmeye değer bir soru.
Bu soru sadece Hamlet'in yaşam paradoksunu sorgulamasıyla ilgili değildir.Aslında yoğunlaştırılmış madde fiziğindeki kuantum çok cisim probleminin dinamik özelliklerinin hesaplanmasında, yüce ideallere sahip birçok insanı Yunan trajedisiyle iç geçiren metafizik bir önerme de vardır.
Sözde dinamik özellikler temel olarak, kuantum manyetik sistemlerdeki spin dalgası magnonlarının enerji spektrumu gibi ilgili elektronik sistemlerdeki kuasipartiküllerin enerji spektrumu gibi spektroskopi davranışlarına atıfta bulunur. Bu tür enerji ve momentuma bağlı spektral fonksiyonlar, insanlara kuantum çok-cisim sistemleri hakkında birçok temel bilgi verebilir ve bunlar, modern yoğun madde fiziğinin deneysel yöntemleriyle doğrudan ilişkilidir. Örneğin, açı çözümlemeli fotoelektron spektroskopi teknolojisi, katı malzemelerin elektronik yapısını (yani yarı parçacık enerji spektrumu) ölçerken, nötron saçılım teknolojisi, kuantum manyetik malzemelerdeki spin dalgası magnonlarının enerji spektrumunu ölçer. Yarı parçacık spektrumundan, Fermi yüzeyinin şeklini ve yüksek sıcaklık süper iletkenlerindeki Fermi yayı gibi Fermi yüzeyindeki yarı parçacıkların ağırlıklarının dağılımını ve topolojik izolatörler ve yarı metallerdeki Dirac'ı görebilirsiniz. Dirac konisi. Sistemin spin düzenlemesi spin dalgası magnon spektrumundan görülebilir ve spin dalgası magnonun dağılım ilişkisi J spin değişim etkileşiminin boyutunu belirlemek için görülebilir. Diğer bir örnek, insanların şu anda aradıkları kuantum spin sıvı malzemesindeki sürekliliğin arkasındaki süreklilik ve fraksiyonel spinon element uyarımıdır.Bu spektroskopik davranışlar, Landau'nun ötesine geçen topolojik düzeni bulmak ve belirlemek içindir. Simetri, çerçevenin fiziksel biçiminin doğrudan kanıtını bozar.
Spektrumun çok önemli olduğu ve spektrumun sonuçlarının güvenilir olması gerektiği görülebilir. Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, Yunan trajedisinin önermesi, yoğun madde kuantum çok cisim probleminin dinamik özelliklerinin titiz bir şekilde hesaplanmasının teorik olarak oldukça zor olduğu anlamına gelir. Kuantum çok cisim problemlerinin dinamik özellikleri, çok cisim sistemlerinin zaman evrimini içerir.Üstel çoklu serbestlik derecelerine sahip güçlü bir şekilde ilişkili bir sistem için, enerji, düzen parametreleri ve çeşitli korelasyon fonksiyonları gibi statik özelliklerinin doğru hesaplanması zordur. Dinamik özelliklerin hesaplanması, yani etkileşimin katlanarak birçok serbestlik derecesinin tam olarak hesaplanması, tamamlanması neredeyse imkansız bir görev olan zaman içinde gelişir. Bu, bir Yunan trajedisindeki bir kahraman gibidir, asil bir karaktere ve eşsiz bir yeteneğe sahip olduğunuz sürece, kaderiniz her zaman karşı konulamaz, tıpkı Oidipus ve Antigone gibi.
Bireysel problemlerde, kesinlikle çözülebilir modellerimiz var, ancak esas olarak tek boyutlu kuantum sistemlerine odaklanıyoruz. İki boyutlu veya daha yüksek boyutlu kuantum çoklu cisim sistemleri için, analitik yöntemler, kuantum manyetik sistemlerdeki dönme dalgası teorisi ve onun yüksek dereceli düzeltmeleri, gerçekten titiz hesaplamalar gibi, pertürbasyon teorisi anlamında yalnızca yaklaşımlar sağlayabilir. Yine de sayısal hesaplama yöntemleri geliştirmeye ihtiyaç var. Şimdiye kadar, antiferromanyetik Heisenberg modelinin spin eksitasyon spektrumu gibi görünüşte temel olan birçok konu tam olarak anlaşılamamıştır. Alanın mevcut sınırı, kuantum çoklu cisim sisteminin temel modelinin dinamik özelliklerini kademeli olarak hesaplamak ve ardından hesaplama sonuçlarının güvenilir olup olmadığını doğrulamak için deneysel sonuçlarla karşılaştırmaktır.
Doktora öğrencisi Qin Yanqi, Yardımcı Araştırmacı Meng Ziyang, Çin Bilimler Akademisi, Pekin Bilgisayar Bilimleri Merkezi'nden Dr. Shao Hui, Toulouse Üniversitesi'nden Doçent Araştırmacı Stefano Chesi, Profesör Sylvain Capponi ve Boston Üniversitesi'nden Profesör Anders Sandvik. Kuantum çoklu cisim probleminin dinamik özellikleri açısından faydalı girişimlerde bulunulmuştur. İki boyutlu kare antiferromanyetik Heisenberg modelinin dinamik davranışını incelemek için kuantum Monte Carlo (QMC) ve stokastik analitik devamlılığı (SAC) birleştiren bir dizi hesaplama yöntemi uyguladılar. Kuantum manyetik sistemin en temel modeli olan Heisenberg modelinin tam enerji spektrumu elde edilir. Aşağıdaki Şekil 1 ve Şekil 2'de gösterildiği gibi, sonuçları Cu (DCOO) 2.4D2O malzeme nötron saçılmasının en son deneysel sonuçlarıyla karşılaştırılabilir ve ayrıca Heisenberg modelinin yüksek enerjili spin enerji spektrumunu ortaya çıkarır. Heisenberg modeli ile kapsanma kuantum kritik davranışı arasında derin bir bağlantı kurmak için spinon uyarımının izleri parçalara ayrılır. Bu bulgu, sınırlama kuantum kritik davranışı ve ona eşlik eden fraksiyonel spinon uyarımlarının aslında manyetik sistemin temel modelinde var olduğunu ve Landau'nun simetri kırma ve sıralama parametrelerini aşan diller olduğunu göstermektedir. Kuantum fazlarının ve kuantum faz geçişlerinin daha eksiksiz bir açıklaması.
Şekil 1. (Üst) İki boyutlu kare kafes antiferromanyetik Heisenberg modeli ve Neil durum. (Orta) Cu (DCOO) 2.4D2O nötron saçılma deney sonuçları, bu sistem iki boyutlu antiferromanyetik Heisenberg modelini, spin uyarma spektrumunu ve (aşağıda) Quantum Monte Carlo + Rastgele çözüm Analiz ve devamın sonuçları tutarlıdır ve (orta) ve (alt), sistemin spin eksitasyon spektrumu momentuma (, 0) yakın sürekli bir spektruma sahiptir.
Rastgele analitik devam
Burada, öncelikle bu Quantum Monte Carlo + Random Analytic Extension (QMC + SAC) yönteminin sürecini kısaca tartışıyoruz.
Kuantum Monte Carlo hesaplamalarında, kuantum çok cisim probleminin gerçek zamanlı korelasyon fonksiyonunu elde etmek kolay değildir, ancak sanal zaman korelasyonu kesin olarak hesaplanabilir.Örneğin, fiziksel gözlemlenebilir O için sanal zaman korelasyon fonksiyonu
onların arasında
, Sanal zaman
. Gerçek zamanlı korelasyon ve spektral fonksiyon arasındaki Fourier dönüşümü ilişkisinden farklı olarak, sanal zamandan gerçek frekans (yani enerji alanı) spin eksitasyon spektrumunu elde etmek için ortada bir analitik uzatma adımı vardır.
Bunların arasında, S () spektral fonksiyondur ve bunu bilerek sanal zaman korelasyon fonksiyonu G () elde edebilirsiniz. Ancak bu problemin karmaşıklığı, sahip olduğumuz bilginin gerçekte kuantum Monte Carlo tarafından istatistiksel hatalarla hesaplanan G () olmasıdır.Deney ile doğrudan karşılaştırılabilecek enerji spektrumu S () elde etmek için, Denklem (2) 'yi tersine çevirmemiz gerekiyor. Bu, matematiksel fizikte sıklıkla ortaya çıkan karmaşık bir ters problemdir (burada Laplace dönüşümünün ters süreci): S () 'yi bilmek kolaydır, çünkü buna neden ve sonuç neden olur; ve G'yi bilin () S () 'yi bulmak kolay değildir, çünkü etkiye ve nedene bağlıdır.Ayrıca, bu etki G () hala istatistiksel hatalar içermektedir. Karşı çözümün varlığı, benzersizliği ve istikrarı için hiçbir garanti yoktur. Kuantum çoklu cisim probleminin analizi ve genişletilmesinin zor olduğu yer burasıdır. Bu sorunu çözmek için insanlar birçok yöntem denemişlerdir.Rastgele analiz ve uzatma en başarılı olanlardan biridir.
Adından da anlaşılacağı gibi, rastgele analitik devamlılık, spektral işlevi tersine çözme sürecini rastgele bir sürece dönüştürmek ve ardından spektral işlevin dağılımını ve istatistiksel anlamda en olası beklenen değerini beklemek için Monte Carlo yöntemini kullanmaktır.
Teknik detaylar bir kenara bırakılırsa tüm süreç bu şekildedir. Spektral fonksiyonun frekans uzayında aşağıdaki forma sahip olduğunu varsayıyoruz,
Bunlar arasında, {ai, i} parametreleri spektral fonksiyonun tüm bilgilerini tanımlar (N çoklu fonksiyon pozisyonları ve yükseklikleri) Bu varsayım, spektral fonksiyonun mümkün olduğu kadar çok serbestlik derecesini kapsar. Daha sonra Denklem (2) 'den, bu parametreler kümesi altında sanal zaman korelasyon fonksiyonu G () elde edilebilir. Onun ve kuantum Monte Carlo tarafından elde edilen doğru sanal zaman korelasyonu arasındaki ilişki "uyum iyiliği" olarak kullanılabilir. 2 açıklamak için,
Burada {G_i}, kuantum Monte Carlo (yani ortalama) ile elde edilen ortalamadan sonra sanal zaman korelasyon fonksiyonunun değeridir ve
Monte Carlo verileri arasındaki korelasyon ve istatistiksel hata gibi bilgileri içeren kuantum Monte Carlo verileri arasındaki kovaryans matrisidir. N, sanal zaman noktalarının sayısıdır ve NB, Monte Carlo tarafından ölçülen bölmelerin sayısıdır.
Bu yapı altında, analitik devamlılık problemi, Denklem (2) ve Denklem (4) 'ü karşılayan bir optimizasyon problemine dönüştürülür. Yukarıda bahsedildiği gibi, bu ters bir problemdir. Basit ve deterministik bir optimal çözüme sahip olması gerekmez. Bu problemin doğru anlaşılması, bu dağılımın istatistiksel ortalaması olan {S ()} dağılımını bulmamız gerektiğidir. (Topluluk ortalaması) en uygun çözümü oynar ve dağılımın hatası bize bu optimal çözümü tartışmak için güven aralığının ne kadar büyük olabileceğini söyler. Bu noktada her şey netlik kazanmıştır.Doğru bir dağıtım bulmak, konfigürasyonu güncellemek, örnekleme yapmak ve buna göre topluluk ortalamasını almak Monte Carlo yönteminin denenmiş ve test edilmiş yöntemidir.
Bu nedenle, rastgele analiz ve genişletme sürecinin kendisi bir Monte Carlo sürecidir. Yukarıda bahsedildiği gibi, Boltzmann dağılımını yazmak için Denklem (4) 'te 2 kullanabiliriz,
Bunlar arasında, P (S) belirli bir spektral fonksiyon S () konfigürasyonunun ağırlığıdır ve ağırlığın karşılık gelen enerjisi 2 ve sıcaklığı vardır. Bu şekilde, analitik devamlılık problemi istatistiksel fiziğin tadına sahiptir. İstatistiksel fizik problemlerini çözmek için Monte Carlo yöntemlerini kullanmanın genel sürecinden farklı değildir. Spesifik olarak, Denklem (3) 'te bir dizi {ai, configurationi} bir yapılandırma olarak alırız ve ardından yapılandırma güncellemesini başlatırız, örneğin,
i i + d
D'nin frekanstaki rastgele bir değişiklik olduğu ve ardından Denklem (5) 'e göre konfigürasyon güncellemesinin geçiş olasılığını hesaplayın: konfigürasyonun ağırlığı artarsa, güncelleme alınmalıdır; konfigürasyonun ağırlığı azalırsa, o zaman belirli bir olasılıkla ( Exp (-2 / 2)) alımdır. Metropolis örnekleme süreci devam ederken, S () dağılımını alabiliriz ve topluluk ortalamasının sonucu, aradığımız spektral fonksiyondur. Daha fazla ayrıntı ve farklı sorunlar için benimsenen farklı güncelleme yöntemleri için okuyucular lütfen literatüre bakın.
Güvenilir spektrum
Bu şekilde QMC + SAC, büyük bir kuantum sınıfının dinamik özelliklerinin hesaplanmasına birçok cisim problemi ile devam edebilir. Adım, yarı parçacık sanal zaman korelasyon fonksiyonu (yani dinamik Yeşil fonksiyonu) ve spin korelasyon fonksiyonu gibi yüksek kaliteli sistemin sanal zaman korelasyon fonksiyonunu elde etmek için ilk olarak kuantum Monte Carlo hesaplamasının kendisini gerçekleştirmektir.Bu adım nispeten büyük miktarda hesaplama gerektirir. , Genellikle yüksek performanslı bir bilgi işlem platformunda büyük ölçekli paralel bilgi işlem gerçekleştirmek gerekir. Ardından rasgele analiz ve genişletme gerçekleştirin Bu adımın Monte Carlo işlemi nispeten basittir ve yerel olarak tamamlanabilir. Bu şekilde elde ettiğiniz şey güvenilir bir enerji spektrumudur.
Referans olarak, iki boyutlu antiferromanyetik Heisenberg modelinin spin enerjisi spektrumunu inceledik ve ana sonuçlar Şekil 1 ve Şekil 2'de özetlenmiştir. Sistemin temel durumunun antiferromanyetik uzun bir düzene sahip olduğu ve dönme dalgası magnonun momentum noktasında (, ) enerji boşluğunun olmadığı görülebilir.Bu, Heisenberg modeli spin sürekliliğine karşılık gelen Goldstone modudur. Simetri kendiliğinden bozulur ve magnonun enerji spektrumu (, ) temelde bir delta fonksiyonudur ve spektral ağırlığın% 90'ından fazlası bu delta fonksiyonundadır. Bu sonuç, Cu (DCOO) 2.4D2O malzemesinin nötron saçılımının deneysel sonuçları ve doğrusal spin dalgalarının analitik hesaplaması ile tutarlıdır.
Bununla birlikte, daha ilginç olan, QMC + SAC'nin hem deney hem de hesaplama sonuçlarının, momentum noktasının (, 0) yakınında, magnonun pozisyonunun, yani ilk uyarılmış durumun enerji boşluğunun, doğrusal spin dalgasının hesaplanmasından önemli ölçüde daha küçük olduğunu bulmasıdır. Sonuç, Şekil 2'de (üstte) gösterilmiştir. Dahası, spin dalgası manyetonunun delta fonksiyonunun üzerinde, (, ) 'daki duruma aykırı olan oldukça geniş bir süreklilik vardır.Süreklilik spektral ağırlığın yaklaşık% 60'ını kaplarken, sadece delta fonksiyonu % 40. (, 0) spektral çizginin zirvesinin üzerinde, sistem ayrıca yeterince genişletilmiş bir spektral ağırlığa sahiptir. Bu spektral ağırlıklar spin dalgası teorisi ile açıklanamaz. Bu% 60 sürekliliğin kökeni nedir diye sormadan edemeyiz.
Şekil 2. (Üstte) Rastgele analitik devamlılık (QMC + SAC) ile hesaplanan magnon dağılım ilişkisi (topluluk ortalama değeri) ile Cu (DCOO) 2.4D2O malzemesinin nötron saçılım deney sonuçları arasındaki karşılaştırma ve uyum neredeyse mükemmel. Aynı zamanda lineer spin dalgasının (Lineer SWT) hesaplama sonucu, antiferromanyetik uzun programın tanımı için (, ) noktasının yakınında bir problem olmamakla birlikte (, 0) noktası yakınında geçersizdir. Bunun nedeni, spin dalgası hesaplamasının fraksiyonel spinon uyarımını dikkate alamamasıdır. (Alt) (, 0) ve ( / 2, / 2) noktalarında rastgele analitik devamlılık (QMC + SAC) ve Cu (DCOO) 2.4D2O malzeme nötron saçılım deney sonuçları ile hesaplanan enerji spektrumunun detayları Karşılaştırıldı. Gördüğünüz gibi ( , 0), delta işlevine ek olarak, yüksek enerjili süreklilik önemli bir spektral ağırlık kaplar; ve ( / 2, / 2) nokta, ana ağırlıklar delta fonksiyonunda yoğunlaşmıştır.
(, 0) civarındaki sürekliliği daha iyi anlamak için burada sistemin dinamik özelliklerini dikkatlice inceledik ve Heisenberg modelinin dinamik hesaplama sonuçlarını ve JQ modelini kuantum kritik nokta sınırlama ile karşılaştırdık. Ciddi bir karşılaştırma yapın. Kısıtlama kuantum kritik noktası ve J-Q modeli ile ilgili olarak, lütfen Referanslara bakın. Burada sadece karşılaştırma sonuçları verilmiştir. Şekil 3'te (solda) gösterildiği gibi, JQ modelinde, Q / J arttıkça, sistem kuantum kritik noktayı sınırlamak için antiferromanyetik uzun programın temel durumundan kademeli olarak yaklaşır.Burada açıkça görülebilmektedir. , 0) noktasındaki magnon spektrumunun ağırlığı, Q / J artışıyla birlikte hızla kaybolur, bu da uzun antiferromanyetik programda bile, nokta (, 0) yakınında S = 1 magnonun olduğunu gösterir. , S = 1/2 ile sürekli olarak spinonlara bölünür. Bu fenomen daha önce keşfedilmemişti ve bizim QMC + SAC hesaplamamız bu garip süreci ortaya çıkardı. Bu keşif, Heisenberg modelinin spin dalgası teorisinin ötesinde (, 0) noktasına yakın garip davranışını anlamamıza yardımcı olur: kuantum kritik noktasının habercisi olarak, tamsayı spinli magnon (S = 1) buradadır. İşlem fraksiyonu, neredeyse sınırlı olan yarım tamsayı spin (S = 1/2) döndürücüye dönüştürülür. Spinonlar arasında ve spinonlar ile magnonlar arasında etkileşimler vardır.Bu etkileşimler enerji spektrumunun şeklini (, 0) civarında değiştirerek doğrusal spin dalgasından sapmasına neden olarak onu sürekli hale getirir. Spektrum. Antiferromanyetik uzun programdan kuantum kritik noktaya kadar tüm süreç boyunca sistem dinamiklerinin ayrıntılı evrimi üzerine daha fazla araştırma yapıyoruz. Landau'nun simetri kırma çerçevesinin ötesinde, yoğunlaştırılmış madde fiziğindeki yeni faz geçiş teorisi paradigmasının aslında aşina olduğumuz temel modelde yer aldığı açıktır, ancak daha önce QMC + SAC gibi sahip değildik. Güçlü bir araç, güvenilir bir güç spektrumu elde edemez.
Şekil 3. (Sol) (, 0) ve ( / 2, / 2) noktalarında QMC + SAC tarafından hesaplanan spin dalgası enerji spektrumunun davranışı. (a) magnonun spektral zirvesinin pozisyonudur, (b) magnonun spektral ağırlığıdır. Q / J artışıyla (sistem kuantum kritik noktaya yaklaştıkça yaklaşır), magnon spektrumunun (, 0) noktasındaki ağırlığının hızla kaybolduğu ve sistemin düşük enerjili uyarılmasının tamsayı spininden (S = 1) değiştiği görülebilir. Magnon, fraksiyonel spinli bir spinon haline gelir (S = 1/2). ( / 2, / 2) noktasında böyle bir değişiklik yoktur. (Sağda) Brillouin bölgesinin yüksek simetri çizgisinde QMC + SAC ile hesaplanan JQ modelinin spin enerjisi spektrumu değişir. Q = Q / (J + Q) kuantum kritik noktaya (qc) yaklaştıkça görülebilir. ~ 0.6), (, 0) nokta sürekli spektrum gittikçe daha belirgindir ve sistemdeki manyetik uyarmanın fraksiyonel davranışının ve sınır tanıma davranışının giderek daha belirgin olduğunu göstermektedir.
diğer uygulamalar
Açılış bölümünde bahsedildiği gibi, kuantum çok-cisim probleminin dinamik bilgisinin titiz bir şekilde hesaplanması çok zor bir problemdir, ancak utanç verici olan şey, dinamik özelliklerin doğrudan modern yoğun madde fiziği deneysel yöntemleriyle gözlemlenebilmesidir. Bu nedenle, teori ve deney arasındaki boşluk, alanın sürekli gelişimini engelleyen metafiziksel bir boşluk haline geldi. Aynı zamanda, yoğunlaştırılmış madde fiziğindeki yeni fenomenler ve yeni problemler, örneğin etkileşimli topolojik madde formları, Landau'nun simetri kırma çerçevesinin ötesinde madde sınıflandırma teorisi, kuantum kritik noktalarının ayrılması ve kuantum spin sıvılarında ortaya çıkan ayar alanları Seyir halindeki elektronların kuantum faz geçişi ve eşlik eden Fermi olmayan sıvı davranışı ... sürekli ortaya çıkıyor ve buna eşlik eden yeni yoğunlaştırılmış madde fiziğinin paradigması ortaya çıkmak üzere. Bu fenomenlerin dinamik özelliklerinin hesaplanması, sadece deneysel fenomenlerin birikimini açıklamakla kalmaz, aynı zamanda teorinin daha da gelişmesini de teşvik eder ve önemi söylemeye gerek yok. Felsefi bir problem ne kadar zor olursa olsun, üstesinden gelmenin bir yolunu bulmalıyız.
Burada açıklanan QMC + SAC yöntemi, bazı güçlü korelasyon modellerinde güvenilir enerji spektrumları elde edebilir ve uygulama olasılıkları çok geniştir.Örneğin, kuantum spin buz modelinde, insanlar uzun yıllardır gösterge alanı fotonlarının uyarılma spektrumlarını tartışmışlardır. QMC + SAC tarafından görüldü. Umarım yakın gelecekte, güvenilir ya da güvenilmez, nesillerdir şair ve filozofları rahatsız eden bu sorun artık bizi rahatsız etmeyecektir.
Referanslar
Kare-kafes spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet'te neredeyse dekondrese spinon uyarılmaları,
Hui Shao, Yan Qi Qin, Sylvain Capponi, Stefano Chesi, Zi Yang Meng, Anders W. Sandvik,
Fizik Rev. X 7 041072 (2017)
Kare-kafes kuantum antiferromagnetinde fraksiyonel uyarımlar,
B. Dalla, M. Mourigal, N. B. Christensen, G.J. Nilsen, P. Tregenna-Piggott, T.G. Perring, M. Enderle, D. F. McMorrow, D.A. Ivanov, H. M. Rønnow,
Doğa Fiziği 11 , 6268 (2015)
Kuantum Monte Carlo verilerinin analitik devamı için stokastik yöntem,
Anders W. Sandvik,
Fizik Rev. B 57 , 10287 (1998)
Maksimum entropi yöntemini, stokastik analitik devamlılığın özel bir sınırı olarak tanımlama
Kevin S. D. Beach,
arXiv: cond-mat / 0403055
Çeşitli belirgin spektral özellikler ile stokastik analitik devamı,
Hui Shao ve Anders W. Sandvik,
yakında çıkacak
Sınırlandırılmış kuantum kritik nokta ile bozonik topolojik geçiş arasındaki ikilik,
Yan Qi Qin, Yuan-Yao He, Yi-Zhuang You, Zhong-Yi Lu, Arnab Sen, Anders W. Sandvik, Cenke Xu, Zi Yang Meng,
Fizik Rev. X 7 , 031052 (2017)
Sistine Şapeli'nde ikili dönüşüm
Bir model kuantum spin buzundaki topolojik uyarımların dinamiği,
Chun-Jiong Huang, Youjin Deng, Yuan Wan, Zi Yang Meng,
arXiv: 1707.00099
Teşekkürler
Yazar, Pekin Hesaplama Bilimi Araştırma Merkezi'nden iş arkadaşım Dr. Shao Hui'ye, bu metinle ilgili yorumlarda bulunduğu için teşekkür eder; Dr. Bilgi işlem tarafından sağlanan kaynaklar ve teknik destek. Bu makaleyi ortak çalışanlara, güçlü bağlantılı elektronik sistemlerin sayısal hesaplama alanında tanınmış bir bilim adamına ve Profesör Anders W. Sandvik'e Fizik Enstitüsüne katılarak yazarın bir meslektaşı olmaya davet etmek için kullanmak istiyorum. Kuantum çok-cisim problemlerinin büyük ölçekli sayısal hesaplamasında fizikten daha güvenilir çalışmaların ortaya çıkmaya devam edeceği düşünülebilir.
Editör: The Little Novice Monk of Shan Temple
En Yeni 10 Popüler Makale
Görüntülemek için başlığa tıklayın
