Fizikteki en zor denklemlerden biri
Mike
Fizik, mikrokozmostaki parçacıkların makrokozmosun evrimine olan davranışını tanımlayan birçok denklem içeren bir disiplindir. Tüm fiziksel denklemler arasında, matematikte son derece zorlayıcı olduğu düşünülen ve Clay Mathematical Research tarafından yedi "Milenyum Büyük Ödül Sorusu" ndan biri olarak listelenen ve sıvıların nasıl aktığını açıklamak için kullanılan bir dizi denklem vardır. Vier-Stokes denklemi (kısaltılmış NS denklemi ).
Resim kaynağı: Quanta Magazine
"Yüzyılın Bir Muammasını Yeniden Düşünmek" başlıklı makalede, NS denklemiyle ilgili bazı önemli araştırma gelişmelerinden bahsetmiştik. Yeni araştırmadan herhangi bir aydınlanma elde edebilirsek, bu sorunun beklenenden daha zor olmasıdır. Hortumdan su akışı, aşina olduğumuz ve artık aşina olamayacağımız bir olgudur, ancak Bu tür bir fenomeni tanımlayan denklem neden matematiksel olarak Einstein'ın alan denklemini anlamaktan daha zor?
Bunun nedeni Türbülans . Türbülans, düzenli bir şekilde akan bir sıvının (sıvı veya gaz) görünüşte öngörülemeyen bir girdaba dönüşmesini ifade eder. Örneğin, bir sigara ucundan yükselen mavi bir duman bulutu havaya yayılır, bir nehir bir taşı çevrelemektedir ve süt ve kahve. Hayattaki karışık, birçok tanıdık fenomen türbülansla ilgilidir. Bununla birlikte, aşinalık bilgi üretmedi. Şunu söylemek abartı olmaz: Türbülans, fiziksel dünyanın anlaşılması en zor kısımlarından biridir.
Kuantum mekaniğine büyük katkılar sağlamış bir fizikçi olan Werner Heisenberg bir keresinde şöyle demişti: "Tanrıyı gördüğümde ona iki soru sormak istiyorum: Neden bir görelilik teorisi var? Neden türbülans var? İlk sorunun cevabını bulacağına inanıyorum. "Bu hikaye uydurma olsa da, çoğu bilim insanının türbülans hakkında ne hissettiğini anlatıyor.
Türbülanssız akışa bir örnek, nehrin her bölümünün aynı oranda aynı yönde hareket ettiği pürüzsüz bir nehirdir. Türbülans, nehrin farklı bölümlerinin farklı yönlerde farklı hızlarda hareket etmesini sağlayan bu nehrin çatlamasıdır. Fizikçiler ilk olarak türbülans oluşumunu düzgün akan bir girdap, ardından girdapta oluşan küçük bir girdap ve daha sonra küçük girdapta oluşan daha ince bir girdap olarak tanımlar, bu da akışkanın birçok ayrık parçaya bölünmesi için farklılaştırılmıştır. Ayrılın, etkileşim kurun ve ayrı hareket edin.
Resim kaynağı: Lucy Reading-Ikkanda / Quanta Magazine
Araştırmacıların anlamak istediği, pürüzsüz bir akışın nasıl türbülansa bölündüğü ve daha sonra türbülanslı bir sıvının şekil evriminin nasıl simüle edileceğidir. Ancak Milenyum Ödülü, matematikçilerin daha ihtiyatlı ve temel problemleri çözmesini gerektirir: Denklemin çözümünün her zaman var olduğunu kanıtlayın . Başka bir deyişle, keşfetmek Denklem türetilebilir mi Herhangi bir başlangıç koşuluyla ve herhangi bir sıvının sonsuz tanımıyla başlayın.
Princeton Üniversitesi'nde matematikçi olan Charlie Fefferman şunları söyledi: "İlk adım, bu denklemlerin bazı çözümler üretebileceğini kanıtlamaya çalışmaktır. Bu, sıvının davranışını gerçekten anlamamıza izin vermemesine rağmen, bu adım olmadan hiçbir şey bilmeyiz."
Peki çözümün varlığını nasıl kanıtlıyorsunuz? Bunu tersine çevirebilir ve denklemin çözümünü neyin varolmayacağını düşünerek başlayabiliriz. Yukarıda bahsedildiği gibi, NS denklemi akışkan içindeki basınç, sürtünme ve hızdaki değişiklikleri içerir. Matematikçiler bu durumun ortaya çıkmasından endişe duyuyorlar: Bu denklemleri çalıştırıyoruz ve bir süre sonra denklem sonsuz hızda hareket eden bir parçacık olarak görünüyor. Bu sorunlara yol açar çünkü sonsuz bir değerdeki bir değişikliği hesaplayamayız (başka bir deyişle, sonsuzluk değerini türetemeyiz). Matematikçiler bu duruma " patlama "(Patlama), bir patlama durumunda denklem başarısız olur ve çözüm artık mevcut değildir.
Patlamanın meydana gelmediğini (ve çözümün her zaman var olduğunu) kanıtlamak, akışkan içindeki herhangi bir parçacığın maksimum hızının sonlu bir sayının altında tutulması gerektiğini kanıtlamaya eşdeğerdir. Sıvıdaki en önemli miktar kinetik enerji .
Sıvıyı modellemek için NS denklemini kullandığımızda, sıvının belirli bir başlangıç enerjisi olacaktır. Ancak türbülanslı bir akışta, bu enerji yoğunlaştırılabilir - yani kinetik enerji nehirde eşit olarak dağılmaz, ancak herhangi bir küçük girdapta toplanabilir ve teorik olarak girdaptaki bu parçacıklar sonsuz hızda hızlandırılabilir. hız.
Bir önceki yazıda bahsettiğimiz matematikçi Vlad Vicol, "Araştırmamız gittikçe küçüldükçe kinetik enerjinin çözelti üzerindeki kontrol etkisi gittikçe azalacak. Benim çözümüm istediğimi yapabilir. , Ama onu nasıl kontrol edeceğimi bilmiyorum. "
Matematikçiler NS gibi kısmi diferansiyel denklemleri sonsuz küçük ölçeklerde başarısız olma derecelerine göre sınıflandırırlar. NS denklemleri her türden uç noktadadır. Bu denklemin matematiksel zorluğu, bir anlamda tanımlamaları gereken türbülansın karmaşıklığının doğru bir yansımasıdır.
Vicol şöyle dedi: "Matematiksel açıdan belirli bir noktaya yakınlaştırdığınızda, çözüme ilişkin bilgiyi kaybedersiniz. Ancak türbülansın tam olarak tanımladığı şey, kinetik enerjinin daha büyük bir ölçekten daha küçük bir ölçeğe geçme şeklidir. Aktar, bu yüzden yakınlaştırması gerekiyor. "
Mobil uygulama "Rüzgar Tüneli" tarafından oluşturulan türbülans diyagramı. | Resim kaynağı: Quanta Magazine
Fiziksel denklemlerden matematiksel bir bakış açısından bahsettiğimizde, doğal olarak şunu bilmek isteriz: Bunlar fiziksel dünyaya bakışımızı değiştirecek mi? Yaklaşık 200 yıllık deneylerden sonra, bu denklemlerin geçerli olduğunu açıkça görebiliriz: NS denklemi tarafından tahmin edilen akış, deneyde gözlemlenen akışla her zaman tutarlıdır. Deneysel bir fizikçiyseniz, belki bu tutarlılık yeterlidir. Ancak matematikçiler bundan daha fazlasını bilmek istiyorlar - bu denklemleri her zaman takip edip edemeyeceğimizi, herhangi bir ilk konfigürasyonda sıvının anında nasıl değiştiğini tam olarak görmek ve hatta türbülansın başlangıcını tam olarak saptamak istiyorlar. .
Fefferman şunları söyledi: "Sıvıların davranışı birçok sürpriz getiriyor. Teorik olarak bu sürprizler, sıvının nasıl hareket ettiğini açıklayan temel denklemlerle, ancak sıvının sıvının gerçek hareketinin herhangi bir açıklamasına nasıl hareket ettiğini bize söyleyen denklemlerle açıklanıyor. Hala çok gizemli. "
Genişletilmiş okuma: "" Yüzyıl Matematik Problemini Yeniden Düşünmek ""
Derleme: Mengda komutanı
Orijinal bağlantı:
https://www.quantamagazine.org/what-makes-the-hardest-equations-in-physics-so-difficult-20180116/
